Контрольная. Сопр.Мат.. Контрольная (СОПР.МАТ). Рассечем стержень произвольным сечением 1 Верхнюю часть отбросим

• Название: Рассечем стержень произвольным сечением 1 Верхнюю часть отбросим
• Анкор: Контрольная. Сопр.Мат
• Дата: 20.05.2020
• Размер: 64.79 Kb.
• Имя файла: Контрольная (СОПР.МАТ).docx
• Тип: Задача; #124233

Задача №1

В соответствии с заданной схемой нагружения стержня определить

внутренние силы; построить эпюры распределения этих сил по длине стержня; построить эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня, определив их значения для характерных точек по длине стержня. При этом учитывая внешние нагрузки, действующие на стержень и собственный вес стержня. Значение веса единицы объема принять равным 77 кН/м 3.

Дано:

А = 0,0012 м²

а = 3,0 м

b = 3,0 м

с = 3,0 м

F =1,0 м

= 77 кН/м³


Для построения эпюр внутренних сил, используем метод сечений. Грани-цами являются концевые сечения, места изменения поперечного сечения и точки приложения сил.

Рассечем стержень произвольным сечением 1-1. Верхнюю часть отбросим.

Рассмотрим 1 (первый) участок (1-1).

Участок 1 – 1.

Для определения силы N₁ составим уравнение по оси Y:

_y = 0;

N₁ - A · x₁ = 0;

N₁ = A · x₁;

0 < х₁ < с

⁼⁰= A

^=с= A · c = 0,0012 · 77 · 3 = 0,2772 кН
Рассмотрим 2 участок стержня, рассеченный произвольным сечением 2-2. Верхнюю часть отбрасываем.

Участок 2 – 2.

Определяем силы N₂ и составим уравнение по оси Y:

_y = 0;

N₂ - F - A · c - 2A · x₂ = 0

⁼⁰= F+ A · с -2 A · x₂ = 0

0 < х₂ < b

⁼⁰= F+2A · x₂ = 1+2 · 0,0012 · 3 =

1,0072 кН

^=b= F+ A · с -2 A · b = 0,8316 кН
Рассмотрим 3 участок стержня, рассеченный произвольным сечением 3 - 3.

Участок 3 – 3.

Определяем силы N₃ и составим уравнение по оси Y:

_y = 0;

N₃- F - A · c - 2A · b -A · x₃ = 0

⁼⁰= F+ A · с + 2 A · b + A · x₃ = 0

0 < х₂ < a

⁼⁰= F+ A · с + 2 A · b = 0,8316 кН

^=a= F+ A · с + 2 A · b + A · a =

= 1,5544 кН
Определяем напряжения на участках стержня:

₁ = 0 мПа;

₂ = N₁/A =0,2772 / 0,0012 = 231 мПа;

₃ = N₂/A = 0,8318 / 0,0012 = 693 мПа;

₄ = N₂/2A = 0,8316 / 2 · 0,0012 = 346,5 мПа;

₅ = N₃/A = 1,5544 / 0,0012 = 1295 мПа.

Задача № 2

Исходя из условий прочности и жесткости, при растяжении, предложить рациональное сечение стержня нагруженного внешними силами если известны:

Дано:

F₁ = 50 кН; с = 0,35 м;

F₂ = 20 кН; n_р. = 2

F₃ = 90 кН; n_сж. = 1,5

a = 0,4 м; = 0,002 м;

b = 0,8 м;


Стержень разделим на 3 в зависимости от изменения внешней нагрузки и площади поперечного сечения. Применим метод сечений и определим продольную силу на каждом участке.

На участке 1: N₁ = F₁ = 50 кН ;

На участке 2: N₁ = F₁ + F₂ = 50 + 20 = 70 кН ;

На участке 3: N₁ = F₁ + F₂ – F₃ = -20 кН ;
Найдем напряжения на участках стержня.

На участке 1: ₁ = = кПа

На участке 2: ₂ = = кПа

На участке 3: ₃ = = кПа

Наибольшее растягивающее напряжение на участке 2 - ₂ == кПа, наибольшее сжимающее напряжение – на участке 3 - ₃ = кПа. С учётов этих данных расчет произведем на самый нагруженный участок – на участок 2. Для этого используем условие прочности на растяжение данного участка:

_мах.р. = ≤ ; = ; А = =

где, = 125 МПа для стали Ст3;

= 190 МПа для стали Ст3;

Напряжение на участке 1:

₁ = кПа.

Тогда ₃ = ≤ .

А ≤ = = 0,4 м² 400 мм².

Напряжение на участке 2:

₂ = Па.

Тогда ₂ = ≤ .

А ≤ = = 5,6 м² 56 мм².
Напряжение на участке 3:

₃ = Па.

Тогда ₃ = ≤ .

А ≤ = = 1,0525 ≈ 1 м² 10 мм².

Данные расчеты нам показывают, что = ₂ =1. По условию задачи n_р.=2. Следовательно, применим формулу с применением коэффициента запаса прочности при растяжении:

= ;

≤ ; ≤ = 2 70 10³ = 140 10³ Па

≤ ; ≤ = 1,5 20 10³ =

= 30 10³ Па
Значение запаса прочности примем по наибольшему значению нагрузок -

Проверим условие прочности: ≥ n_расч. = = = 2.

Условие запаса прочности выполнено.

Тогда,

Тогда ₂ = ≤ .

А ≤ = = 11,2 м² 112 мм².

Необходимую площадь сечения примем из условия прочности при растяжении:

А ≤ 11,2 м² 112 мм².

При заданном соотношении а₁ / а₂= 2 площадь поперечного сечения можно записать, как А = а₁ а₂ = . Размеры поперечного сечения будут равны:

а₂ = = = 7,48 мм;

а₁ = 2а₂ = 2 7,48 = 14,96 мм.
Находим площадь поперечного сечения из условия жесткости

При расчете на жесткость следует учитывать, что перемещение точек будет равно сумме деформаций всех участков стержня.

Величину абсолютной деформаций для каждого участка найдем по формуле:



или .

где, N_i – продольная сила, на i-ом участке стержня;

l_i - длина, на i-ом участке стержня;

А_i – площадь поперечного сечения, на i-ом участке стержня;

Е – модуль упругости первого рода.

Для стали Ст3: Е=2,1 10⁵

На участке 1: = = м.

На участке 2: = = м.

На участке 3: = = м.

Абсолютная деформация всего стержня:

= + + = = + + = м.

Из условия жёсткости: ∆l≤ [∆l], [∆l] =2 м, найдем

≤ 2 , откуда

А ≥ = = 3,2 · 10^-4 м² 32 мм²

Учтём значение запаса прочности при сжатии:

Запас прочности при сжатии [n_сж.] = 1,5;

Применим для расчета формулу:

= .

А ≥ [А] = .



3,2 · 10^-3·190 ·10⁶ = 60,8 · 10³ Па

; 60,8 · 10³ · 1,5 = 90,75 · 10³ Па

N ≤ [N] = A ·

A = ; A = = 4,78 · 10³ м² 48 мм².

Размеры поперечного сечения будут равны:

а₂ = = = 4,9 мм;

а₁ = 2а₂ = 2 7,48 = 9,8 мм.

Сопоставляя результаты расчета на прочность и жесткость, принимаем большее значение площади поперечного сечения А = 112 мм².

Задача №3

Для заданной схемы двухопорной балки требуется:

1. Определить опорные реакции и произвести их проверку.

2. Написать аналитические выражения изгибающего момента М.

3. Построить эпюры изгибающих моментов М. На эпюре указать

численные значения ординат для характерных сечений.

4. По максимальному изгибающему моменту подобрать стальную

балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом

напряжении [σ]=160 МПа.

5. Принять длину одного пролета балки l = 1 м.
Д ано:

М₁ = 3 кН·м

М₂ = 1,5 кН·м

F₂ = 3,5 кН

[σ]=160 Мпа

1. 
   Из условия равновесия балки, взяв сумму моментов относительно
   

точек А и Б, находим реакции в опорах:

∑M_A=0, M₁ + M₂ – F₂ · 2l + R_B · 4l = 0

R_B = 0,625 Кн
∑M_Б=0, -R_A · 4l+M₁+ M₂+ F₂ · 2l = 0

R_А = = 2,875 Кн
Проверка ∑y=0; -R_A – F₂ + R_Б =2,875-3,5+0,625 = 0, реакции найдены верно.

2. 
   Аналитические выражения изгибающих моментов М:
   

Ⅰ участок: 0 ≤ Z₁ ≤ l; l = 1 м.

M_Ⅰ = K_A · Z₁. При Z₁ = 0; M_Ⅰ = 0; при Z₁ = 1м; M_Ⅰ = 2,875 · 1 =2,875 кН·м

Ⅱ участок: l ≤ Z₂ ≤ 2l; 1м ≤ Z₂ ≤ 2м.

M_Ⅱ = R_A · Z₂ – М₁. При Z₂ = 1м; M_Ⅱ = 2,875 · 1 – 3 = -0,125 кН·м

При Z₂ = 2м; M_Ⅱ = 2,875 · 2 – 3 = 2,75 кН·м

Ⅲ участок: 0 ≤ Z₃ ≤ l; 0 ≤ Z₃ ≤ 1м.

M_Ⅲ = R_Б · Z₃. При Z₃ = 0; M_Ⅲ = 0; Z₃ = 1м; M_Ⅲ = 0,625 · 1 = 0,625 кН·м

Ⅳ участок: l ≤ Z₄ ≤ 2l; 1м ≤ Z₄ ≤ 2м

M_Ⅳ = R_Б · Z₄ +М₂. При Z₄ = 1м; M_Ⅳ = 0,625 · 1 + 1,5 = 2,125 кН·м

При Z₄ = 2м; M_Ⅳ = 0,625 · 2 + 1,5 = 2,75 кН·м

Строим эпюру моментов.

Построение эпюры поперечных сил:

Ⅰ участок: 0 ≤ Z₁ ≤ l; Q_Ⅰ = R_A = 2,875 Кн –const;

Ⅱ участок: l ≤ Z₂ ≤ 2l; Q_Ⅱ = R_A = 2,875 Кн –const;

Ⅲ участок: 0 ≤ Z₃ ≤ l; Q_Ⅲ = -R_A= -0,625Кн –const;

Ⅳ участок: l ≤ Z₄ ≤ 2l; Q_Ⅳ = -R_B = -0,625Кн –const;
Определение размеров поперечного сечения балкиW_z из условия прочности.

По эпюре находим наибольший изгибающий момент, возникающий в сечениях балки М_{z max} = 3 кН·м. Используя условие прочности:

V_max ≤ [V]

Определим момент сопротивления:

W_z = ≥ = 18,75 · 10^-6 м³ = 18,75 см³.

Определив W_z, находим размеры поперечного сечения.

Для прямоугольного сечения:

W_z = ,

где h = 2b.

Следовательно, W_z = b³ = 18,75 см³.

Отсюда b = = 3 см. h = 2·b = 18 см.

По таблице сортамента ( ГОСТ 8239-72 ) подбираем стальную

балку двутаврового поперечного сечения ( W_z = 18,75 см³ ) - № 10 с моментом сопротивления W_z = 39,7 см³ и площадью сечения А = 12 см².
Проверяем выполнения условия прочности при подобранных размерах:

;

= 75,56 Мпа

Следовательно: =75,56 Мпа ≤ [σ]=160 МПа.

Условие прочности выполняется.