Шпаргалка по линейной алгебре. Рассказать о векторах на плоскости и в пространстве. Дать определение модуля вектора, нулевого вектора, коллинеарных векторов. Определить сложение и вычитание векторов. Дать определение произведения вектора на число
 Скачать 0.81 Mb.
|
|
5)Произведение (  * )* где первые 2 вектора перемножаются векторно а их результат скалярно на 3-ий есть смешанное произведение.Векторы икомпланарны только тогда когда их смешанное произведение равно нулю ( 0 0 0) =0 6)Если >0 то правая троика <0 левая троика Объем параллелепипеда V=  а треугольной пирамиды V= 7)Любые 3 некомпланарных упорядоченных вектора образуют базис в 3-х мерном пространстве .Любой вектор в пространстве можно единственным образом разложить по 3-м неколлинеарным векторам  = + + Координаты вектора = Длина вектора определяется по формуле  Угол между векторами cos(угол между ) =  8)Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.  если найдется число такое, что = =*.Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде =х+угде где х и у — некоторые числа, то векторы компланарны.9)Уравнение вида Ах+Ву+С=0 называется общим уравнением прямой где А,В,С произвольные числа причем А,В не равно нулю одновременно. (х;у) коорд. т. на плоскости. Наидем ур-ие прямой проходящей через т.  ( ; ) перпендикулярно вектору  =(А;В).Возьмем на прямой т. М(х;у)и рассмотрим вектор  =(х-;у-)Поскольку  то *=0 т.е А(х-) + В(у-)=0.Обозначив С= -А-Вокончательно имеем Ax + By + C = 0.10) Уравнение вида Ах+Ву+С=0 называется общим уравнением прямой где А,В,С произвольные числа причем А,В не равно нулю одновременно. (х;у) коорд. т. на плоскости. Случай1  :  х+ у+ =0  {;} :  х+ у+ =0  {;} Нормали образуют теже углы что и сами прямые поэтому cos=+/ если т.е  /= /+=0Случай 2  угол наклона к оси Ох угол наклона к оси Ох =- tg(-)=tg= - /1+*: х+ tg=:х+ tg=Если =*=-111)Дано (;) и  : Ax + By + C = 0. Расстояние от точки до прямой d= 12)Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz+D=0 ур-ие определяет в системе координат Охуz некоторую плоскость. Случаи неполного ур-ия: 1)D=0 то ур-ие примет вид Ax + By + Cz=0 ему удов. т.О(0;0;0) значит плоскость проходит через начало координат 2)С=0 то нормальный вектор (А;В;0) оси Оz, пл-сть оси ОzВ=0 то пл-сть оси ОуА=0 то пл-сть оси Ох3)С= D=0 то пл-сть проходит через О(0;0;0) и оси Оz т.е пл-сть проходит через ось Оz А= D=0 через ось Ох В= D=0 через ось Оу 4) А= В=0 то z= - D/С т.е пл-сть пл-сти ОхуС= В=0 Оуz А= С=0 Охz 5) А= В=D=0 то z =0 т.е это ур-ие пл-сти Оху А= С=D=0 Охz С= В=D=0 Оуz Канонического ур-ия плоскости не существует 13)Под углом меж двумя пл-тями понимается один из двугранных углов образованных ими. Угол между нормальными векторами =(;;) и =(;;) плоскостей  и  равен одному из этих углов поэтому cos= .Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.Если то и т.е /=/=/ это усл. Если то и следов. *=0т.е ++=0 это усл. Пусть (;; ) иQ: Ax + By + Cz+D = 0. Расстояние от точки до прямой d= |