Шпаргалка по линейной алгебре. Рассказать о векторах на плоскости и в пространстве. Дать определение модуля вектора, нулевого вектора, коллинеарных векторов. Определить сложение и вычитание векторов. Дать определение произведения вектора на число

• Название: Рассказать о векторах на плоскости и в пространстве. Дать определение модуля вектора, нулевого вектора, коллинеарных векторов. Определить сложение и вычитание векторов. Дать определение произведения вектора на число
• Анкор: Шпаргалка по линейной алгебре.doc
• Дата: 13.05.2018
• Размер: 0.81 Mb.
• Имя файла: Шпаргалка по линейной алгебре.doc
• Тип: Документы; #19187
• Категория: Математика
• страница: 4 из 5

26)Квадратной матрице А порядка n можно составить число del A число которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: del A=где i=1,2…n где Мiк – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца.

27)Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле:из вычитаем

Если D = |A| - определитель порядка n, то минором Mij элемента называют определитель порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Под алгебраическим дополнением Aij элемента понимают минор Mij, домноженный на, т.е. Aij = Mij

где Мiк – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца, т.е сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения равна значению определителя.

28)Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

29)Определитель имеющий 2 одинаковых ряда равен нулю. Если к одной строке прибавить другую умноженную на число то определитель не изменится.

30)Определитель с 2-мя одинаковыми строками равен нулю.

31) Эл-ные преобразования:

1) перестановка местами 2-хрядов матрицы(опред меняет знак)

2)умножение строки на число(опред умножается на противоположное число)

3)прибавление к одной строки другой умноженной на число. (опред не меняется)

32)Минор некоторого эл-та определителя n-го порядка назыв. Опред (n-1)-го порядка полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых стоит выбранный эл-т. Mij

Алгебраическим дополнением элемента определителя назв. его минор, взятый с (+) если i+j четное и с (-) i+j нечетное Aij=Mij.

Разложение определителя

По элементам i-й строки: =++…++=

33)Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию А*=*А=Е.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1)Найти определитель матрицы A.

2)Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу, элементами которой являются числа Aij.

3)Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на 1/

34)Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию А*=*А=Е.

Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.
35)Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Формулы Крамера. В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

= Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

36)Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Система имеет бесконечное число решении если есть свободные неизвестные.

37)Квадратная матрица назыв. невыраженной если опред del A0.

38)Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Система имеет единственное решение если все неизвестные главные

39) Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

Система не имеет решений если главный эл-т расположен в последнем столбце.
40)Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличный от нуля есть ранг матрицы r(A) или rangA. Метод нахождения ранга: 1) Приводим матрицу к ступенчатой число ненулевых и есть ранг.

Т.к ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы, то для однородной системы ранг расширенной матрицы равен рангу основной поэтому система всегда совместна.

41)Комплексное число z=x+iy можно изобразить т. М(х;у) пл-сти Оху где х=Rez y=Imz. На комплексной плоскости изображаются комплексные числа.Ось абсцисс – действительная ось,оси ординат – мнимая ось. Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости. Алгебраическая форма z=x+iy.

Сумма 2-х компл. чисел z=x+iy и =+i есть компл число опред равенством z+=(x+)+i(y+)

Вычитание z-=(x-)+i(y-)

Произведение z=(x- y)+i(ху) ; = -1

42)Комплексное число z=x+iy можно задать с помощью радиус-вектора =(х;у).Длина назыв. модулем этого числа и обозначается или r.Два компл. числа отличающиеся лишь знаком мнимой части назыв. сопряженными.

43)Деление определяется как действие обратное умножению.Частное 2-х компл. и 0 есть z=/еслиz= Если z=x+iy, =+i и =+iто из равенства (+i)( x+iy)= +i следует таким образом z=/=+i на практике частное находят путем умножения числителя и знаменателя на число сопряженное знаменателю.

Для тригонометрической формы: =/(cos(-)+isin(-))

44)=1 (1) ==1 =arg(1)=cos0; 1=1(cos0+isin0).(2) Модуль всех корней =1 (3)Угол между корнями /n 2п/3 (4)арг. 1-го корня 0/3 (5) =1(cos0+isin0) =1(cos2п/3+isin2п/3) =1(cos-2п/3+isin-2п/3)

45)Модуль и арг. компл. числа можно рассматривать как полярные координаты вектора изображающего компл. число тогда х=r cos у=r sinт.е Тригонометрическая форма числа z=r(cos+i sin). Модуль r ==Аргумент определяется из формул cos=x/r, sin= y/r, tg= x/y

47)Формула Муавра, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:

==(cos n+isin n),где r — модуль, а - аргумент комплексного числа. Корнем n-й степени из компл числа z назыв. компл. число w удов. нер-ву =z. Если положить z=r(cos+isin),a w=p(cos+isin), то по опред корня и формуле Муавра получаем z== (cos n+isin n)=r(cos+isin).Отсюда = r, n=+2пk.Поэтому равенство =w принимает вид:=(cos+isin),k=0,1…,n-1.Итак, для любого z0 корень n-й степени из числа z имеет ровно n различных решении.