Рассмотрим равновесие тела, опирающегося на плоскость и подвешенного на нити. Заменим тело точкой
![]()
|
Задание 1 Определить графоаналитически и графически реакции плоскостей и стержней, удерживающих шар в равновесии (рисунок 1). ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 1 Заданная система Решение: Рассмотрим равновесие тела, опирающегося на плоскость и подвешенного на нити. Заменим тело точкой О, совпадающей с центром тяжести. Приложим к точке О активную силу, которой является собственный вес тела G. Направим ее вниз. Мысленно отбросим связи – плоскости. Заменим их действие на точку О реакциями связей. Реакция плоскости R1 проходит по нормали к плоскости в точке А, а реакция плоскости R2– по нормали к плоскости в точке B. Обе реакции и вес тела или линии их действия должны пересекаться в точке O (рисунок 2). ![]() Рисунок 2 Замена сил реакциями Изобразим действующие силы в виде системы трех сходящихся сил. Выберем положение системы координат. Начало координат совмещаем с точкой О. Ось Х совмещаем с направлением линии действия реакции R1, а ось Y направим перпендикулярно оси X (рисунок 3). ![]() Рисунок 3 Равновесие шара Составим уравнения равновесия для системы сил. ![]() ![]() ![]() ![]() Из уравнения (2) найдём ![]() ![]() ![]() Из уравнения (1) найдём ![]() ![]() ![]() Для решения задачи графическим методом выбираем масштаб сил ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 4 Графическое решение Задание 2 Для заданной балки определить опорные реакции в точках А и В (рисунок 5). ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 5 Заданная балка Решение: Заменяем равномерно распределённую нагрузку равнодействующей. На балку действуют нагрузки разной интенсивности, поэтому для каждой из них находим равнодействующую. ![]() ![]() Рассмотрим равновесие балки. Проведём координатные оси XY и изобразим действующие на раму силы: пару сил с моментом М; силу ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 6 Балка, освобождённая от связей Составим уравнения равновесия ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Сделаем проверку, составив уравнение равновесия ![]() ![]() ![]() ![]() Равенство выполняется, следовательно, реакции опор определены верно. Задание 3 Определить опорные реакции пространственно нагруженного бруса (рисунок 6). ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 6 Заданная схема пространственно нагруженного бруса Решение: Освобождаем конструкцию от опор, заменив действие опор их реакциями. В заделке реакцию заменяем тремя составляющими – ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Имеем шусть неизвестных. Составим систему из шести уравнений равновесия сил и моментов. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Из уравнения (1) найдём ![]() ![]() ![]() Из уравнения (2) найдём ![]() ![]() Из уравнения (3) найдём ![]() ![]() ![]() Из уравнения (4) найдём ![]() ![]() ![]() Из уравнения (5) найдём ![]() ![]() ![]() Из уравнения (6) найдём ![]() ![]() ![]() Задание 4 Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение свободного конца бруса. Двухступенчатый стальной брус (рисунок 7), нагружен силами ![]() ![]() Площади поперечных сечений ![]() ![]() Модуль упругости ![]() ![]() ![]() Рисунок 7 Заданный нагруженный брус Решение: Разбиваем брус на участки (I, II, III). Границами участков являются переходные по размерам поперечные сечения бруса и сечения, в которых приложена внешняя нагрузка – сосредоточенные силы ![]() ![]() Для каждого участка, начиная с противоположного от защемления конца бруса, применяя метод сечений, определяем ординаты эпюры N на участках бруса (рисунок 8, б). Участок I Определяем силу ![]() ![]() ![]() Участок II Определяем силу ![]() ![]() ![]() Участок III Определяем силу ![]() ![]() ![]() По результатам расчетов строим эпюры продольных сил (рисунок 8, в). Определяем нормальные напряжения на каждом участке. ![]() ![]() ![]() По результатам расчетов строим эпюры нормальных напряжений (рисунок 8, г). Определим абсолютные удлинения каждого участка. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Перемещение свободного конца бруса ![]() Брус растянут на 47,3 мкм. ![]() Рисунок 8 Построение эпюр Задание 5 Для стального вала круглого поперечного сечения (рисунок 9), вращающегося с угловой скоростью, определить значения внешних моментов соответствующих передаваемым мощностям, и уравновешивающий момент. Построить эпюру крутящих моментов по длине вала. Определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Допускаемое напряжение кручения ![]() Допускаемый угол закручивания ![]() Модуль упругости при сдвиге ![]() ![]() Рисунок 9 Заданная схема вала Решение: Определяем величины скручивающих моментов ![]() ![]() ![]() Найдем уравновешивающий момент ![]() ![]() Разбиваем вал на участки (рисунок 10, а). Вал имеет три участка, границами которых являются сечения, в которых приложены внешние моменты. В пределах каждого участка значение крутящего момента сохраняется постоянным. Определяем крутящие моменты в поперечных сечениях вала с помощью метода сечений. Участок I ![]() ![]() крутящий момент отрицательный Участок II ![]() ![]() крутящий момент отрицаельный Участок III ![]() ![]() крутящий момент отрицательный Строим эпюру крутящих моментов (рисунок 10, б). ![]() Рисунок 10 Построение эпюр Определяем диаметр вала для опасного участка, из условий прочности и жесткости. Опасным сечением является участок I. ![]() Определение диаметра вала из условия прочности Из условия прочности ![]() Найдем момент сопротивления при кручении ![]() Учитывая, что момент сопротивления при кручении для круглого сечения определяется по формуле ![]() Определим диаметр вала ![]() ![]() Определение диаметра вала из условия жесткости Из условия жесткости ![]() Определим полярный момент инерции сечения ![]() Учитывая, что момент сопротивления при кручении для круглого сечения определяется по формуле ![]() Найдем диаметр вала ![]() ![]() Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных диаметров выбираем большее. Требуемый диаметр вала получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный, округлив до ближайшего стандартного по ГОСТ6636-69. Окончательно принимаем ![]() Задание 6 Для заданной двухопорной балки (рисунок 11) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать поперечное сечение стальной балки в виде двух швеллеров и поперечное круглое сечение деревянной балки. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Допускаемое напряжение изгиба для стального проката ![]() Допускаемое напряжение изгиба для деревянной балки ![]() ![]() Рисунок 11 Заданная схема балки Решение: Обозначим реакции опор ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проверим правильность определения реакций опор, составив уравнение проекций всех сил на ось ![]() ![]() ![]() Равенство выполняется, следовательно, опоры определены верно. Разобьем балку на участки нагружения (рисунок 12, а). Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние нагрузки. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По полученным значениям строим эпюры поперечных сил (рисунок 12, б). ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для определения экстремального значения момента в сечении K, где ![]() ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По полученным значениям строим эпюры изгибающих моментов (рисунок 12, в). ![]() Рисунок 12 Построение эпюр Используя условие прочности при изгибе, подберём поперечное сечение для стальной балки в виде двух швеллеров. Опасное сечение ‒ сечение балки, где действует максимальный момент ![]() Подбираем размеры балки в опасном сечении по условию прочности ![]() Найдем момент сопротивления ![]() По таблицам сортамента ГОСТ 8240-89 выбираем швеллер №16. Осевой момент сопротивления ![]() Для двух швеллеров ![]() Используя условие прочности при изгибе, подберём поперечное сечение для деревянной круглой балки ![]() Найдем момент сопротивления ![]() Найдём диаметр круглого сечения ![]() ![]() Задание 7 Для стального вала круглого поперечного сечения с одним зубчатым колесом (рисунок 13) определить диаметр вала в опасном сечении. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Допускаемое напряжение ![]() ![]() Рисунок 13 Заданная схема вала Решение: Строим расчётно-графическую схему нагружения вала (рисунок 14, а). Проводим оси координат. Ось Х параллельна окружной силе ![]() ![]() Определим момент, передаваемый валом, и крутящий момент ![]() ![]() Строим эпюру крутящих моментов (рисунок 14, б). Определим окружную силу ![]() ![]() Определим радиальную силу ![]() ![]() Строим расчётно-графическую схему нагружения вала от окружной силы (рисунок 14, в) и определяем реакцию подшипников от окружной силы ![]() ![]() ![]() ![]() Проверим правильность определения реакций опор, составив уравнение проекций всех сил на ось ![]() ![]() ![]() Равенство выполняется, следовательно, опоры определены верно. Строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рисунок 14, г) ![]() ![]() ![]() ![]() Строим расчётно-графическую схему нагружения вала от радиальной силы (рисунок 14, д) и определяем реакцию подшипников от радиальной силы ![]() ![]() ![]() ![]() Проверим правильность определения реакций опор, составив уравнение проекций всех сил на ось ![]() ![]() ![]() Равенство выполняется, следовательно, опоры определены верно. Строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рисунок 14, e) ![]() ![]() ![]() Рисунок 14 Построение эпюр Вычисляем эквивалентный момент в сечении С По гипотезе наибольших напряжений ![]() По гипотезе потенциальной энергии формообразования ![]() Определим требуемые размеры вала ![]() ![]() ![]() ![]() Окончательно принимаем ![]() Задание 8 Определить параметры привода: угловые скорости, вращающие моменты, мощности на валах, передаточные отношения, КПД. Описать назначение, принцип работы, устройство привода. Мощность электродвигателя ![]() Частота вращения электродвигателя ![]() Числа зубьев конических колёс ![]() ![]() ![]() Рисунок 15 Схема привода Решение: Привод двухступенчатый. Первая ступень – закрытая червячная передача. Вторая ступень – цепная передача. Определим общий КПД привода ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Требуемая мощность двигателя Общее передаточное отношение привода равно произведению частных передаточных чисел ступеней передачи. ![]() ![]() ![]() Производим разбивку передаточного отношения по ступеням. Передаточное отношение цепной передачи ![]() Передаточное отношение червячного редуктора ![]() Передаточное число привода ![]() Вычисляем частоту вращения валов: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Угловые скорости на валах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Мощности на валах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычисляем вращающие моменты на валах ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Литература: 1. Андреев В. И., Паушкин А. Г., Леонтьев А. Н. Техническая механика. – М.: Издательство АСВ, 2013 2. Аркуша А. И. Техническая механика. – М.: КД Либроком, 2015 3. Вереина Л. И. Техническая механика. – М.: Академия, 2015 4. Михайлов А. М. Техническая механика. – М.: Инфра-М, 2018 5. Олофинская В. П. Техническая механика. – М.: Инфра-М, 2018 6. Петровский В. В. Техническая механика. – М.: Издательство МГИУ, 2008 7. Эрдеди А. И. Техническая механика. – М.: Академия, 2012 |