Уравнения в целых числах. Разложение на множители
![]()
|
Уравнения в целых числах Разложение на множители Пример: Решить в целых числах (x-1)(y+3)=19. Так как 19 – простое число, то оно может быть представлено как произведение двух целых чисел в четырёх различных вариантах: 19=19·1; 19=1·19; 19=(-19)·(-1); 19=(-1)·(-19), таким образом, (x-1)(y+3) =19 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Упражнения (x-1)(y+15)=3 Ответ:(4;-14),(2;-12),(0;-18),(-2;-16) (2х+3)(у-1)=7 Ответ:(2;2),(-1;8),(-5;0),(-2;-6) (1-х)(22+у)=971 Ответ:(972;-21),(0;949),(2;-993), (972;-23) х(23у-98)=0 Ответ:(0;z) , z ![]() (х+2000)(у-2000)=2 Ответ:(-1998;2001),(-1999;2002), (-2001;1998), (-2002;1999) Прежде чем решать некоторые примеры подобным способом, их надо разложить на множители. Например, х + у = ху. Первым действием перенесём все слагаемые в одну часть: ху-х-у=0,далее, чтобы разложить пример на множители обычно к каждой из частей добавляют удобное целое число. В нашем примере постараемся получить произведение (х-1)(у-1), добавив к каждой из частей уравнения 1,то есть ху-х-у+1=1. Разложив на множители, получим (х-1)(у-1)=1,откуда х=0,у=0 или х=2, у=2. Немного более сложной является задача 3х2+4ху-7у2=13. Разложением на множители получим (х-у)(3х-7у)=13, заметим, что в данном случае ничего не прибавляем к обеим частям уравнения. Так как 13=13·1=1·13=-13·(-1)=-1·(-13), то получим совокупность четырёх систем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решая системы, получаем, что системы (2) и (3) решений в целых числах не имеют, а ответами систем (1) и (4) являются соответственнох=2,у=1 и х=-2, у=-1. Решая подобные задачи важно знать, сколько делителей имеет число. Теорема: если произвольное число a=pmqn , гдеpи q– простые числа, а m,n ![]() Доказательство: запишем по горизонтали все натуральные делители числа pm, по вертикали – все делители натурального числа qn: n+1 раз ![]() Получили прямоугольник, найдем недостающие делители. Таким образом, общее число натуральных делителей есть площадь прямоугольника со сторонами (n+1) и (m+1), то есть (m+1)(n+1). Иногда предлагается решать уравнения только в простых числах. Пример. Решить уравнение 19х-уz=1995, причём x, y, z - простые числа. Решение: так как 1995 делится нацело на 19, то разложим данное уравнение на множители следующим образом: 19х-уz=1995 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ:(107;19;2), (107;2;19). Делимость чисел Отдельную группу уравнений, решаемых в целых числах, представляют собой уравнения, решения которых в той или иной степени связаны с делимостью. Повторим некоторые признаки делимости, которые нам известны: На 2 делится нацело число, если его последняя цифра чётная. На 4 делится нацело число, если его последние две цифры образуют число, делящееся на 4. На 3 делятся нацело те числа, у которых сумма цифр делится на 3; на 9- те у которых сумма цифр делится на 9. На 5 делятся нацело те числа, у которых последняя цифра 0 или 5. На 6 делятся нацело те числа, которые одновременно делятся на 2 и 3. На 8 делится нацело число, если три последние его цифры образуют число, делящееся на 8. Пример. Решим уравнение: у2 = 5х2 +6. Решение. Предположим, что х ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Выражение одной переменной через другую Многие целочисленные уравнения решают, выражая одну переменную через другую. Решим уравнение: 2х2 – 2ху +9х +у =2. Решение. Выразим у через х, получим, что у = ![]() ![]() ![]() у = х +5 + ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: (1;9), (2;8), (0;2), (-1;3). Решите самостоятельно уравнение: x2 + 5y2 = 20z +2. ( Ответ: решений нет) ( решение. x2 + 5y2 = 20z +2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решим уравнение: x2 + 9y2 =3z +2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Использование чётности – нечетности Решим уравнение 2х- 15 = у2 в натуральных числах. Рассмотрим два случая: x=2k+1; k ![]() x=2k; k ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: (6;7), (4;1). В некоторых случаях, решая подобные уравнения, можно найти очевидные корни и доказать, что других нет. Например, в уравнении y2+1=2x любой решающий без особого труда укажет очевидные решения: (0;0), (1;1), (1;-1). Далее рассматривается два случая: x -нечетный, тогда 2x ![]() ![]() А 2х ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: (0;0), (1;1), (1;-1). Четность переменных должна также учитываться при решении уравнений вида 2x2 – 5y2 = 7: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Задача. Найти три целых решения и общий вид решений уравнения x2 – 51y2 = 1. Выразим у2 через х2: у2 = ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: (1;0), (-1;0), (50;7), ( ![]() ![]() ![]() ![]() Метод преобразования уравнения в сумму квадратов. Оценки Решим уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: (0;2), (0;0), (1;1),(-1;1). Собственно само преобразование в сумму квадратов выглядит следующим образом: x + y = x2 – xy + y2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Ответ: (2;2),(1;2), (0;0), (1;0), (0;1),(2,). Уравнения вида ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решим уравнение: ![]() ![]() ![]() Вынесем 202 = 400 из-под радикала: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, y=5k2 : k ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: (5 ![]() Уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() k + m = 12; k ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: (0;2304), (16;1936), …, (2304;0). Решите самостоятельно: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |