Ибрахим Саид 4 тему (1). Развитие математических методов теории эволюции 3 Роль компьютера в математическом анализе жизни 4

• Название: Развитие математических методов теории эволюции 3 Роль компьютера в математическом анализе жизни 4
• Дата: 06.04.2023
• Размер: 0.68 Mb.
• Имя файла: Ибрахим Саид 4 тему (1).docx
• Тип: Реферат; #1042357
• страница: 7 из 7

Клеточные автоматы

В 1940-е годы Станислав Улам и Джон фон Нейман впервые описали метод моделирования, известный под названием метод клеточных автоматов. Улам изучал рост кристаллов, а фон Нейман впервые рассмотрел с теоретической точки зрения бесполое размножение, которое он назвал самовоспроизведением. Улам и фон Нейман встретились в лаборатории Лос-Аламоса, где была создана первая атомная бомба и где в те годы работал еще один их гениальный современник – Алан Тьюринг.



Рисунок 13 Джон фон Нейман

Клеточные автоматы – это модели, позволяющие описать тот же класс ситуаций, который описывается дифференциальными уравнениями. Однако клеточные автоматы имеют некоторые преимущества: при их использовании необязательно знать какое-либо уравнение, описывающее явление или систему, они не требуют мощного компьютера и позволяют быстро получить результат. При этом прогноз будущего состояния системы, то есть искомое решение, представляется в графическом виде. Так, модель «реакция – диффузия», с помощью которой Тьюринг описал узоры на шкуре позвоночных, можно описать (и наглядно представить на компьютере) с помощью клеточных автоматов без использования уравнений.

В 1970 году англичанин Джон хортон Конвей сделал клеточные автоматы популярными, создав игру «Жизнь». Сегодня эта игра покинула стены лабораторий и обосновалась на множестве домашних компьютеров. В 2002 году Стивен Вольфрам, создатель программы Mathematica и один из тех, кто занимался изучением клеточных автоматов, написал книгу «Новый вид науки», вокруг которой развернулась бурная полемика. Вольфрам предсказал рождение новой физики, основу которой будут составлять клеточные автоматы. В настоящее время клеточные автоматы позволяют моделировать столь непохожие явления, как кольца планет (в частности, кольца Сатурна), столбы дыма (а, следовательно, агрегацию частиц), поведение групп муравьев, рост кристаллов, узоры на шкуре позвоночных, форму раковин моллюсков и даже электоральные предпочтения.



Рисунок 14 Конфигурации из игры «Жизнь»

На экране изображены некоторые классические конфигурации из игры «Жизнь», созданной Джоном хортоном Конвеем. Различные формы или узоры, образованные этими автоматами, – это решения, альтернативные тем, которые можно получить с помощью дифференциальных уравнений.

Клеточный автомат – это решетка ячеек, находящихся в одном из множества возможных состояний. К примеру, если возможны всего два состояния, то ячейки могут находиться либо в состоянии 1 (черный цвет; «вкл»), либо в состоянии 0 (белый цвет; «выкл»). Ячейки называются конечными автоматами. К примеру, светофор – это конечный автомат с тремя возможными состояниями: зеленый, желтый, красный. Каждая ячейка имеет так называемое соседство, куда обычно входят ячейки, смежные с ней. Существует множество разновидностей соседства. Одно из возможных соседств состоит из клеток, расположенных выше, ниже, слева и справа от данной ячейки, включая ее саму.

В любой модели начальное состояние ячеек (t = 0) решетки определяется согласно некоторому критерию. Затем по заранее установленным правилам определяется актуальное состояние ячеек (t + 1). При этом учитывается как текущее состояние рассматриваемой ячейки, так и состояние ее соседей. Этот процесс повторяется снова и снова, пока моделирование не будет завершено. На решетке клеточного автомата образуются узоры, порой имеющие удивительную форму. Эти узоры можно считать решением модели, то есть они представляют собой отпечаток будущего состояния изучаемой системы.

Клеточные автоматы в природе

В одном из классических примеров математической биологии рассматриваются моллюски родов Conus и Cymbiola. Их раковины имеют характерные узоры, образованные пигментами – активаторами и ингибиторами, которые, по всей видимости, подчиняются так называемому правилу 30 – одному из правил, изученных Стивеном Вольфрамом. Неудивительно, что некоторые считают этих моллюсков прекрасным примером клеточных автоматов в природе.



Рисунок 15 Экземпляр моллюска Conus Textile

Рисунки на раковине моллюска напоминают узор, получаемый при рассмотрении клеточного автомата, который описывается правилом 30.

В игре «Жизнь» каждый конечный автомат имеет восемь соседей, расположенных выше, ниже, справа, слева и по диагоналям от нее. Будем считать, что каждый конечный автомат имеет всего два возможных состояния – 0, или «мертв», и 1, или «жив», – которые мы будем обозначать разными цветами. Суть игры в том, чтобы последовательно определять состояния конечных автоматов по установленным правилам перехода.

Правило № 1: Будущее состояние конечного автомата равно предыдущему, если число соседей конечного автомата в состоянии 1 равно 2.

Правило № 2: Конечный автомат переходит из состояния 0 в состояние 1, если число его соседей в состоянии 1 равно 3.

Правило № 3: Третье правило моделирует соседство с большим или малым числом «живых» автоматов, то есть автоматов в состоянии 1. Если число соседних автоматов в состоянии 1 меньше 2, то есть 1 или 0, либо больше 3, то есть 4, 5, 6, 7 или 8, то конечный автомат «умирает», то есть переходит из состояния 1 в состояние 0.

Последовательно применяя правила перехода для всех конечных автоматов клеточного автомата, мы увидим, как в процессе эволюции постепенно появляются характерные шаблоны и фигуры.

Модель «хищник - жертва» и клеточные автоматы

Модель «хищник – жертва» Лотки -Вольтерры стала одной из первых математических моделей в биологии и, возможно, одной из самых важных в математической биологии. Как мы уже отмечали, одно из преимуществ клеточных автоматов заключается в том, что для их использования не требуется знать дифференциальное уравнение, описывающее явление или систему. Модель «хищник – жертва» Лотки-Вольтерры была представлена в 1984 году Александром Дьюдени в статье «Акулы и рыбы ведут экологическую войну на тороидальной планете Ва-Top» (Shark and Fish Wage an Ecological War on the Toroidal Planet Wa-Tor). He используя ни одно из уравнений, представленных Лоткой и Вольтеррой, Дьюдени получил похожие результаты на компьютере со стандартными для 1980-х годов характеристиками. Целью Дьюдени было найти подходящие значения параметров модели, допускавшие сосуществование на небольшой решетке популяции хищников (акул) и жертв (рыб). Дьюдени рассмотрел следующие параметры:

• 
  число жертв (рыб);
  
• 
  временной порог размножения рыб: если рыба выживает в течение определенного числа циклов (или заранее установленного времени моделирования) и ячейка остается свободной, в ней рождается рыба;
  
• 
  число хищников (акул);
  
• 
  максимальное время голодания хищников: если акула не может поймать рыбу в течение определенного числа циклов (или заранее установленного времени моделирования), она умирает;
  
• 
  временной порог размножения акул: этот параметр определяется аналогично соответствующему параметру для рыб, однако значения этих параметров необязательно совпадают.
  

Рисунок 16 Фрагмент статьи Александра Дьюдени, посвященной модели «хищник – жертва» и опубликованной в декабрьском номере американского журнала Scientific American за 1984 год.

Клеточный автомат модели имеет тороидальную форму, выбранную для того, чтобы устранить границы решетки и обеспечить схожесть с настоящим морем. Ячейки имеют всего три состояния: 1) в ячейке находится рыба; 2) в ячейке находится акула; 3) ячейка свободна. Рыбы (цветные ячейки) «плавают» случайным образом в направлении одной из четырех соседних ячеек (на север, юг, запад или восток), если одна из них или более свободны (не имеют цвета). Акула «съедает» рыбу, если они находятся в смежных ячейках. Если в соседних ячейках нет рыбы, акула плывет в свободную ячейку.

Динамика эксперимента аналогична той, что описывается уравнениями модели «хищник – жертва» Лотки–Вольтерры. Если акул немного, численность рыб быстро увеличивается. С увеличением числа рыб численность акул также возрастет, что ведет к постепенному снижению числа рыб. В зависимости от численности акул и их расположения на тороидальной решетке рыбы могут полностью исчезнуть. В этом случае популяция акул в отсутствие пищи, то есть рыб, также быстро вымрет. Какими должны быть условия сосуществования акул и рыб, необходимые для сохранения обеих популяций? Приглашаем читателя поиграть с моделью Ва-Тор и самостоятельно определить наиболее подходящие параметры.

Марковские матрицы, ДНК и биоинформатика

Одна из самых перспективных областей биоинформатики, дающая ответ на вопрос об эволюции видов, – это изучение генома отдельных видов, то есть совокупности генетической информации, записанной в ДНК его клеток. Для анализа генома используются матрицы, элементами которых являются вероятности. Отметим, что вероятность – это величина, характеризующая частоту, с которой наблюдается определенный результат или исход того или иного события. Вероятность – число, заключенное в интервале от 0 до 1. Если результат эксперимента невозможен, говорят, что его вероятность равна 0. Если результат эксперимента наблюдается всегда, его вероятность равна 1. К примеру, при броске кубика вероятность получения любого результата {1, 2, 3, 4, 5, 6} равна 1/6. Вероятность того, что выпадет четное число очков {2, 4, 6}, равна 1/2.

Одна из особенностей подобных экспериментов заключается в том, что кубик или монета не имеют памяти, то есть исход эксперимента не зависит от предыдущих результатов. Математик Андрей Марков изучил последовательности случайных событий, обладающие памятью, которые получили название цепей Маркова. В них вероятность того или иного исхода зависит от предыдущих результатов. Таким образом, цепи Маркова описывают эксперименты или явления, в которых последний результат влияет на последующие. К примеру, вероятность того, что в определенный момент в будущем, t+1, определенный участок цепочки ДНК будет содержать то или иное азотистое основание {А, Т, Г, Ц} (аденин, тимин, гуанин или цитозин), зависит от того, какое основание занимало этот участок цепочки ДНК в момент времени t.

Если учесть все возможные перестановки или мутации определенного азотистого основания ДНК, получится следующая матрица:



В соответствии с этой матрицей для некой молекулы ДНК вероятность того, что в определенном участке цепочки аденин А сменится цитозином Ц, равна Р_Ац.

Цепи Маркова используются при изучении структуры белков, для прогнозирования областей генома, которыми кодируются белки, а также при изучении эволюции видов путем анализа цепочек ДНК.

Заключение

Современная математическая биология использует различный математический аппарат для моделирования процессов в живых системах и формализации механизмов, лежащих в основе биологических процессов. Имитационные модели позволяют на компьютерах моделировать и прогнозировать процессы в нелинейных сложных системах, каковыми являются все живые системы, далекие от термодинамического равновесия. Базовые модели математической биологии в виде простых математических уравнений отражают самые главные качественные свойства живых систем: возможность роста и его ограниченность, способность к переключениям, колебательные и стохастические свойства, пространственно-временные неоднородности. На этих моделях изучаются принципиальные возможности пространственно-временной динамики поведения систем, их взаимодействия, изменения поведения систем при различных внешних воздействиях - случайных, периодических и т.п. Любая индивидуальная живая система требует глубокого и детального изучения, экспериментального наблюдения и построения своей собственной модели, сложность которой зависит от объекта и целей моделирования.

1^ (Electronic Numerical Integrator and Computer – «электронный числовой интегратор и вычислитель»),

2^ (сокр. от англ. Automatic Computing Engine – «автоматическая вычислительная машина»)

3^ (от Electronic Discrete Variable Automatic Computer – «универсальный автоматический компьютер с дискретными переменными»)

4^ (Electronic Delay Storage Automatic Computer – «электронный автоматический вычислитель с памятью на линиях задержки»)

5^ (Universal Automatic Computer – «универсальный автоматический компьютер»)

6^ (General System Theory: Foundations, Development, Applications)