РГР Эконометрика регрессия и корреляция. Эконометрика ргр. Регрессия и корреляция

• Название: Регрессия и корреляция
• Анкор: РГР Эконометрика регрессия и корреляция
• Дата: 12.08.2022
• Размер: 146.77 Kb.
• Имя файла: Эконометрика ргр.docx
• Тип: Документы; #644716
• страница: 2 из 5

Парная регрессия и корреляция

1. Построим уравнения парной линейной регрессии вида для переменных y, x₁.

Параметры b₀ и b₁ уравнения линейной регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:



Для нахождения параметров b₀ и b₁ используем ППП «Анализ данных» MS Excel. Результаты расчетов приведены в приложении 1.

Уравнения регрессии имеют вид:

Для пары признаков y, x₁

(1)



Рис. 1. Линия регрессии на корреляционном поле.

2. Оценим полученное уравнение регрессии через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента.

Найдем среднюю относительную ошибку аппроксимации по формуле:

.

Для вычисления составим расчетные таблицы (см. приложение 2).



Т.к. значения средней относительной ошибки аппроксимации для уравнения парной линейной регрессии > 12%, уравнениe не даёт хорошую точность.

Исследование статистической значимости уравнения регрессии в целом проводится с помощью F-критерия Фишера. Выдвинем гипотезу Н₀ о том, что уравнение в целом статистически незначимо, при конкурирующей гипотезе Н₁: уравнение в целом статистически значимо. Расчетное значение критерия находится по формуле:

.

Для парного уравнения p=1.

Табличное (теоретическое) значение критерия находится по таблице критических значений распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости по уровню значимости α и двум числам степеней свободы k₁ = p = 1 и k₂ = n - p - 1 = 51.



Если F_расчтабл (2), то гипотеза Н₀ принимается, а уравнение линейной регрессии в целом считается статистически незначимым (с вероятностью ошибки 5%).

Для уравнения (1) F_расч = 54,737, неравенство (2) невыполняется.

Проверим статистическую значимость оценок параметров уравнения b₀, b₁ с помощью t‑критерия Стъюдента. Выдвигается гипотеза Н₀: параметр b_j = 0 (j = 0, 1) (статистически незначим, случайно отличается от 0), при конкурирующей гипотезе Н₁: параметр b_j ≠ 0 (статистически значим, неслучайно отличается от 0). Находится расчетное значение критерия

,

где среднеквадратические ошибки параметров b_j равны

,

.

Теоретическое значение критерия t_табл находится по таблице критических значений распределения Стъюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы k = n - p - 1 . Если t_bj > t_табл , то гипотеза Н₀ отвергается с вероятностью ошибки α , т.е. оценка коэффициента регрессии b_j признается статистически значимой, в противном случае (t_bj < t_табл) - незначимой.

Табличное значение критерия для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы k = n - 2 = 51 равно



Найдем доверительные интервалы для параметров b₀ и b₁ уравнения (1).

∆b₀= t_табл·m_b0=2,007·1,1=2,30;

∆b1 = t_табл·m_b1 =2,007·0,9=1,82.

Сами доверительные интервалы имеют вид:

;

.

6,515-2,30=4,22

6,515+2,30=8,81

6,702-1,82=4,88

6,702+1,82=8,52

Результаты расчетов (см. приложение 1) приведены в таблицe 1.

Таблица 1. Проверка критерия Стъюдента

	Уравнение регрессии
Параметр уравнения bj	Среднеквадратическая ошибка параметра	Расчетное значение критерия	Табличное значение критерия tтабл	Вывод о статистической значимости	Границы доверительных интервалов
					левая	правая
b0	1,1	5,69	2,007	значим	4,22	8,81
b1	0,9	7,40		значим	4,88	8,52

Доверительный интервал для параметра b₀ имеет одинаковые знаки, что подтверждает вывод критерия Стъюдента о его статистической значимости.

3. Коэффициент корреляции находится по формуле:











Коэффициент корреляции для пары признаков y и x₁ r=0,719 (см. приложение 1) . Следовательно, между показателями y и x₁ практически нет линейной связи.

Коэффициент детерминации для пары признаков y и x₁:

R²=r²=(0,719)²=0,52

Т.е. всего 52% изменчивости y объясняется показателем x₁.

4. Найдем прогнозное значение y_пр путем подстановки значения x_1пр в уравнение регрессии



x_пр = 1,07*1,05 = 1,125



Стандартную ошибку прогноза найдем по формуле

= 4,45

Результаты расчетов приведены в приложении 2.

5. Определим с помощью коэффициентов эластичности силу влияния признаков x_j на результирующий признак y.

Для парного линейного уравнения регрессии средний коэффициент эластичности находится по формуле:





Для признаков y и x₁ уравнение регрессии имеет вид





При росте фактора «Удельный вес рабочих в составе ППП» (X₁) на 1%, рентабельность (Y) увеличивается на 0,49%.

Частные коэффициенты эластичности находятся по формулам

.

Расчеты эластичности приведены итоговой таблице 2.

Таблица 2.

№ предприятия	Х1 - удельный вес рабочих в составе ППП	Частный коэффициент эластичности Э1
1	1,23	0,56
2	1,04	0,52
3	1,8	0,65
4	0,43	0,31
5	0,88	0,48
6	0,57	0,37
7	1,72	0,64
8	1,7	0,64
9	0,84	0,46
10	0,6	0,38
11	0,82	0,46
12	0,84	0,46
13	0,67	0,41
14	1,04	0,52
15	0,66	0,40
16	0,86	0,47
17	0,79	0,45
18	0,34	0,26
19	1,6	0,62
20	1,46	0,60
21	1,27	0,57
22	1,58	0,62
23	0,68	0,41
24	0,86	0,47
25	1,98	0,67
26	0,33	0,25
27	0,45	0,32
28	0,74	0,43
29	0,03	0,03
30	0,99	0,50
31	0,24	0,20
32	0,57	0,37
33	1,22	0,56
34	0,68	0,41
35	1	0,51
36	0,81	0,45
37	1,27	0,57
38	1,14	0,54
39	1,89	0,66
40	0,67	0,41
41	0,96	0,50
42	0,67	0,41
43	0,98	0,50
44	1,16	0,54
45	0,54	0,36
46	1,23	0,56
47	0,78	0,45
48	1,16	0,54
49	4,44	0,82
50	1,06	0,52
51	2,13	0,69
52	1,21	0,55
53	2,2	0,69
Средний коэффициент эластичности		0,49