Лекция. Уравнение прямой на плоскости
1.Расстояние между точками
Даны две точки  и  . Требуется найти расстояние между ними (рис. 1).
Рис. 1
По теореме Пифагора длина гипотенузы равна квадратному корню из суммы квадратов длин катетов:
 . (1)
Пример 1. Найти расстояние между точками  и  .
Решение.  ;  . По формуле (1)  .
2. Прямая линия на плоскости
1) каноническое уравнение прямой на плоскости
Известна точка  , через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой
 , коллинеарный данной прямой (рис. 2). Пусть  произвольная точка на прямой (текущая точка).
Векторы  и коллинеарны, поэтому координаты этих векторов пропорциональны:
 . (2)
Уравнение (2) называется каноническим уравнением прямой.
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору  . Решение. По условию . По формуле (2) уравнение прямой примет вид  .
Рис. 2
2) Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Рассмотрим прямую, проходящую через точку , перпендикулярно вектору  (рис. 3). Причем  одновременно не обращаются в нуль. Возьмем на прямой текущую точку  и построим вектор  . Векторы и перпендикулярны, отсюда их скалярное произведение равно нулю:
 . (3)
Уравнение (3) называется уравнением прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.
Рис. 3
Вектор называется нормальным вектором прямой. За нормальный вектор прямой можно принять любой вектор, перпендикулярный данной прямой.
Уравнения (2) и (3) есть уравнения первой степени относительно текущих координат  и  .
Утверждение. Всякое уравнение первой степени относительно текущих координат и определяет на плоскости прямую. Рассмотрим уравнение первой степени относительно текущих координат
 , (4)
причем одновременно не обращаются в нуль. Всегда можно подобрать пару чисел  , которые удовлетворяют этому уравнению:  . Полученное тождество вычтем почленно из уравнения (4):  . Мы доказали, что (4) есть уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору .
Всякое уравнение первой степени относительно текущих координат называется линейным.
3) Уравнение прямой общего вида и его исследование
Линейное уравнение
, (5)
называется уравнением прямой общего вида. В этом уравнении  и  координаты нормального вектора прямой , а  свободный член, причем  .
Исследуем общее уравнение прямой (5). Для этого выясним, как будет расположена прямая, если коэффициенты и  поочередно и попарно обратятся в ноль.
1.  . Тогда уравнение (5) примет вид:  . Это уравнение прямой, проходящей через начало координат. Действительно, координаты точки  удовлетворяют данному уравнению (рис. 4).
Рис. 4
2.  . Тогда уравнение (5) примет вид:  . В этом случае нормальный вектор  . Мы видим, что проекция нормального вектора прямой на ось  равна нулю, а это означает, что этот вектор перпендикулярен оси . Отсюда следует, что сама прямая параллельна оси (рис. 5).
Рис. 5
3.  . Тогда уравнение (5) примет вид:  . В этом случае нормальный вектор  . Мы видим, что проекция нормального вектора прямой на ось  равна нулю, а это означает, что этот вектор перпендикулярен оси . Отсюда следует, что сама прямая параллельна оси (рис. 6).
Рис. 6
4.  . Тогда уравнение (5) примет вид:  . Это уравнение оси .
Рис. 7
5.  . Тогда уравнение (5) примет вид:  . Это уравнение оси .
Рис. 8
4) Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении
Дано каноническое уравнение прямой . Перепишем его в виде  . Параллельным переносом переместим направляющий вектор прямой так, чтобы его начало совпало с началом координат (рис. 9).
Рис. 9
Из рис. 9 следует, что  , или  . Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении примет вид:
 (6) Важное уравнение
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-3,7) и образующей с осью угол  .
Решение. По условию  , тогда  , или  .
Пример 3. Проверить, принадлежат ли точки  и  прямой  .
Решение. Если координаты точки удовлетворяют уравнению, т.е. обращают его в тождество, то эта точка принадлежит данной прямой; если же координаты точки не удовлетворяют уравнению, то точка не принадлежит прямой.
Подставив вместо переменных  и  в уравнение координаты точки , получим тождество  , следовательно, точка принадлежит данной прямой. Аналогично убеждаемся, что точка – не принадлежит.
5) Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая пересекает ось в точке  и образует с положительным направлением оси угол  (рис. 10).
Рис. 10
Из треугольника ВМА находим, что катет  можно выразить через катет :  , где  угловой коэффициент прямой ВМ. Т.о., уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид:
 , (7)
где  тангенс угла между прямой ВМ и положительным направлением оси . Отсчет угла ведется от положительного направления оси против хода часовой стрелки.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3,4) и отсекающей на оси отрезок  .
Решение. Подставим в уравнение (5) :  . Отсюда  . Тогда искомое уравнение имеет вид:  .
6) Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Даны две точки и . Требуется составить уравнение прямой, проходящей через эти точки (рис. 11).
Рис. 11
Сначала найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки. Из треугольника  находим
 . (8)
В формулу (6) вместо  подставим  , а вместо  подставим  . Вместо  – дробь
 . Тогда получим  , или
 . (9)
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(-2,6) и В(4, 9).
Решение. По условию  . Тогда по формуле (9) находим  , или  .
7) Уравнение прямой в отрезках
Пусть прямая отсекает по оси отрезок  и по оси отрезок  (рис. 12). Возьмем на прямой текущую точку . Треугольник  подобен треугольнику  .
Рис. 12
 или  . После почленного деления в левой части находим  .
Т.о., уравнение прямой в отрезках имеет вид
 . (10)
Пример. Найти отрезки, которые прямая  отсекает по осям координат.
Решение. Запишем уравнение в виде  . Поделим обе части уравнения на (-6):
 или  . Отсюда прямая отсекает по оси отрезок  и по оси отрезок  .
3. Уравнение пучка прямых
Даны две прямые  , которые пересекаются в точке (рис. 13а).
Рис. 13
Семейство прямых, проходящих через точку пересечения данных двух прямых называется пучком прямых (рис. 13б).
Уравнения пучка прямых имеет вид
 . (11)
Здесь  произвольный параметр.
Пример. Из пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых  , выделить прямую, проходящую параллельно оси .
Решение. Запишем уравнение пучка по формуле (11):  . Раскроем скобки и найдем нормальный вектор последней прямой:
 . (*)
Нормальный вектор прямой имеет координаты  . Поскольку искомая прямая проходит параллельно оси , то нормальный вектор будет перпендикулярен оси и  должна быть равна нулю:  . Подставим  в формулу (*):
 .
4. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки  до прямой  находится по формуле:
 . (12)
5. Угол между двумя прямыми
Рис. 14
Две пересекающиеся прямые, если они не перпендикулярны, образуют два различных по величине угла – острый угол  (рис. 14) и тупой  .
Углом между двумя прямыми I и II называют угол , на который надо повернуть первую прямую, чтобы она совпала с прямой II. Пусть первая прямая образует с осью угол  , а вторая угол  .
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних не смежных с ним:  .
Отсюда  . Поскольку  угловой коэффициент первой прямой, а  угловой коэффициент второй прямой, то
 . Если прямые паралельны то их угловые коифиценты равны (13)
Пример. Найти острый угол между прямыми  и  .
Решение. По условию  . Поскольку тангенс острого угла величина положительная, то в формуле (13) правую часть берем по модулю:  .
Тогда  .
Рис. 15
6. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Даны две параллельные прямые  и  (рис. 16 a). Из рисунка видно, что если прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е.
 . (13)
Рис. 16
Если прямые и перпендикулярны (рис. 16 b), то их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку:
 . (14) Доказательство. Угол  (рис. 16b). Тогда  , или  .
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4,-7) перпендикулярно прямой  .
Решение. Найдем угловой коэффициент прямой :  . Т.о., угловой коэффициент прямой равен  . Поскольку искомая прямая перпендикулярна прямой , то ее угловой коэффициент равен  .
По условию . Теперь по формуле (6) находим уравнение искомой прямой:  , или  .
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых  и и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3.
Решение. Найдем точку пересечения прямых и . Для этого решим систему 
Из второго уравнения находим  . Подставим в первое уравнение  . Тогда  . Точка пересечения прямых имеет координаты  . По условию  при  . Кроме того,  при  .
По формуле (9) :  по свойству пропорции  .
Пример. Доказать, что четырехугольник  трапеция, если  .
Решение. Если в четырехугольнике параллельны две противоположные стороны, то это трапеция. Рассмотрим векторы  . Эти векторы коллинеарны, т.к. их координаты пропорциональны:  . Поэтому – трапеция.
Рис. 17
Самостоятельно.
Пример 1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку  параллельно прямой  , .
Указание. Найти угловой коэффициент прямой , затем применить формулу (6) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.
Ответ:  .
Пример 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3,1) перпендикулярно к прямой  , .
Ответ:  .
|
Скачать 404.75 Kb.