Математика. Решение. 1 Расстояние между двумя точками и вычисляют по формуле Тогда длина ребра

• Название: Решение. 1 Расстояние между двумя точками и вычисляют по формуле Тогда длина ребра
• Дата: 29.01.2022
• Размер: 0.72 Mb.
• Имя файла: Математика.doc
• Тип: Решение; #345869

11–20. Даны координаты вершин пирамиды A_1,A_2,A_3,A₄.

Найти: 1) длину ребра A₁A₂;

2) угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄;

3) площадь грани A₁A₂A₃;

4) объем пирамиды;

5 уравнения прямой A₁A₂;

6) уравнение плоскости A₁A₂A₃;

4) уравнения высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃.

Сделать схематический чертеж.

13. .

Решение.

1) Расстояние между двумя точками и вычисляют по формуле:



Тогда длина ребра :



2) Угол φ между векторами и находят по формуле:



Найдем координаты векторов и :



Тогда



3) Площадь грани находится по формуле где –векторное произведение векторов.









4) Объем пирамиды находят по формуле , где - смешанное произведение векторов .





5) Канонические уравнения прямой, проходящей через две точки, имеют вид:

.

Подставив координаты точек , получим:

– уравнение прямой ,

6) Составим уравнение плоскости по формуле:

, где

- точки данной плоскости.

В нашем случае для плоскости имеем:





- уравнение грани .

7) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид:

Направляющим вектором высоты, опущенной из вершины на грань является нормальный вектор плоскости .

Тогда - уравнения высоты, опущенной из вершины на грань .

Делаем чертёж.



21-30. Найдите точку  , симметричной точке M относительно плоскости P.

23. ,

Решение.

Находим уравнение прямой, которая перпендикулярна данной плоскости и проходит через точку .

Каноническое уравнение прямой: , где – координаты направляющего вектора прямой.

Так прямая перпендикулярна заданной плоскости, то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор нормали плоскости, т.е.

.

Поэтому уравнение прямой будет



Найдем точку пересечения прямой и плоскости. Пусть:

, тогда

Подставляем в уравнение плоскости:

.

Откуда – точка пересечения прямой и плоскости. Точка является серединой отрезка  , поэтому:







Т.е.

Ответ:

31—40. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

33.

Решение.

Совместность данной системы докажем, используя теорему Крамера, а именно: если главный определитель отличен от нуля, то система имеет единственное решение.

Находим главный определитель системы:



, т.к. главный определитель системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение.

Решим заданную систему:

1) методом Гаусса.

C помощью элементарных преобразований строк расширенную матрицу системы приведем к следующему виду:



Изменяем вторую, третью строки: ко второй строке, умноженной на (-2) по элементам прибавляем первую строку, к третьей­, умноженной на 4– первую строку, умноженную на (-5).

Изменяем третью строку: к третьей строкепо элементам прибавляем вторую строку, умноженную на 3. Делим последнюю строку на 6.

Т.к. то система совместна и имеет решение. Полученной матрице существует система



Которая эквивалентна исходной. Из данной системы следует, что



2) Средствами матричного исчисления:

Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где

, , .

Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле

, где , - алгебраическое дополнение к элементу .

Обратная матрица имеет вид: .

Итак:



Итак, решение системы:

Ответ:

41-50.Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

43. а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ;

Решение.

а) .

В этом случае имеем неопределенность вида . Т.к. в числителе и знаменателе стоят многочлены, то для раскрытия неопределенности необходимо числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень x из слагаемых многочленов числителя и знаменателя, т.е. на , а затем перейти к пределу:





б)

Под знаком предела есть иррациональность в числителе дроби. Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x= 1 приводит к неопределенности вида .

Чтобы раскрыть эту неопределенность, достаточно числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела, домножить на выражение, сопряженное числителю дроби:

.

в) .

Непосредственная подстановка предельного значения аргумента x= 0 приводит к неопределенности вида .

Чтобы раскрыть эту неопределенность, преобразуем выражение:



г) .

При , имеем неопределённость вида . Воспользуемся вторым замечательным пределом :



д) .

При , а так как при нахождении предела отношения двух бесконечно малых каждую из них или только одну можно заменить эквивалентными, то имеем



51-60. Задана функция у=f(х)и два значения аргумента x₁и х₂. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва определить какого он рода; 3) все рассуждения обосновать.

53. , , .

Решение.

Чтобы проверить непрерывность заданной функции в каждой из заданных точек и , используем определение непрерывности функции в точке.

Найдем область определения функции (ООФ): . Проверим выполнение условия непрерывности поочередно в точках и .

Точка :

1) , следовательно, в точке заданная функция не является непрерывной. Поскольку функция определена в окрестности точки , то эта точка является точкой разрыва функции.

Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы функции при :





Так как один из односторонних пределов оказался бесконечным, делаем вывод, что в точке бесконечный разрыв (разрыв второго рода).

Точка :

1) , причем окрестность точки также входит в ООФ;

2) существует конечный предел

3) справедливо

следовательно, в точке заданная функция непрерывна.

Построим схематический чертеж графика функции в окрестности точки разрыва с учетом значений односторонних пределов.


61-70. Найти производные данных функций

63. а) , б) , в) .

Решение.

а) .

Используя правило дифференцирования сложной функции и табличные формулы, получим:



б) .

Используя правило дифференцирования сложной функции и табличные формулы, получим:



в) .

Прологарифмируем обе части исходного равенства:

.

Применим свойство логарифмов: . Тогда .

Дифференцируем обе части равенства по :

.

;

;

.
71-80. Найти и от функции, заданной параметрически.

73.

Решение.

Дифференцирование данных функций производится по правилу: .

,

При параметрическом задании функции вторую производную находим по формуле:

.


81-90. Найти уравнения касательной к графику функции и проходящей через точку .

83. , .

Решение.

Уравнение касательной:

Находим производную функции и вычисляем ее значение при :



.

Тогда уравнение касательной:

.

Ответ: .

91-100. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

93. .

Решение.

При имеем неопределенность .

Применим правило Лопиталя:



Ответ: .