Высшая математика. Решение а решить систему по правилу Крамера Запишем систему в виде a

• Название: Решение а решить систему по правилу Крамера Запишем систему в виде a
• Анкор: Высшая математика
• Дата: 23.01.2022
• Размер: 298.51 Kb.
• Имя файла: Высшая математика.docx
• Тип: Решение; #339187
• страница: 2 из 2

Задание № 2. Даны координаты вершин пирамиды . Требуется:

а) найти длину ребра ;

б) найти косинус угла между ребрами и ;

в) найти синус угла между ребром и плоскостью ;

г) найти площадь треугольника ;

д) найти объем пирамиды и длину высоты, опущенную из вершины на плоскость ;

е) записать уравнение плоскости и уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость .

, , , .

Решение.

а) найти длину ребра ;

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:



б) найти косинус угла между ребрами и ;

Угол между векторами a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂) можно найти по формуле:

где a₁a₂ = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂
Найдем угол между ребрами AB(-2;0;1) и AD(-2;-1;-4):

γ = arccos(0) = 90.003⁰

в) найти синус угла между ребром и плоскостью ;

Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:

Уравнение плоскости ABC: 3x + 5y + 6z-20 = 0
Уравнение прямой AD:


γ = arcsin(0.913) = 65.925^o

г) найти площадь треугольника ;

Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB(-2;0;1) и AC(1;-3;2):


Площадь грани ABC


д) найти объем пирамиды и длину высоты, опущенную из вершины на плоскость ;

Объем пирамиды, построенный на векторах a₁(X₁;Y₁;Z₁), a₂(X₂;Y₂;Z₂), a₃(X₃;Y₃;Z₃) равен:

X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3

-2 0 1 1 -3 2 -2 -1 -4

Находим определитель матрицы
∆ = (-2)*((-3)*(-4)-(-1)*2)-1*(0*(-4)-(-1)*1)+(-2)*(0*2-(-3)*1) = -35

Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(-1,0,-2)
Расстояние d от точки M₁(x₁;y₁;z₁) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Уравнение плоскости ABC: 3x + 5y + 6z-20 = 0



е) записать уравнение плоскости и уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость .

сли точки A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂), A₃(x₃; y₃; z₃) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

x-x1 y-y1 z-z1 x2-x1 y2-y1 z2-z1 x3-x1 y3-y1 z3-z1

= 0

Уравнение плоскости ABC

x-1 y-1 z-2 -2 0 1 1 -3 2

= 0

(x-1)(0*2-(-3)*1) - (y-1)((-2)*2-1*1) + (z-2)((-2)*(-3)-1*0) = 3x + 5y + 6z-20 = 0

Прямая, проходящая через точку M₀(x₀;y₀;z₀) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости ABC: 3x + 5y + 6z-20 = 0



Задание № 3. Вычислить пределы:

	а)	,
	б)	.

Решение.





Задание № 4. Найти для функций:

	а)	,
	б)	,

Решение.

А)
 =   =   = 

Производную этого выражения находим по формуле: (xⁿ)' = n x^n-1

(5-x+3x²)' = (-x)' + (3x²)' + (5)' = (-1) + 6x = 6x-1
Здесь:
(3x²)' = 32x^2-1(x)' = 6x
(x)' = 1


Ответ:


Б) Поскольку функция задана в неявном виде, то производную ищем по формуле:

Для нашей функции:


Тогда:
или


Задание № 5. Исследовать функцию и построить ее график.

.

Решение.

1) ОДЗ

2) Поскольку f(-x)=f(x), то функция является четной.

3) Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b.

По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:


Находим коэффициент b:


Получаем уравнение горизонтальной асимптоты:
y = 4
4) Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
24x = 0
Откуда:
x₁ = 0

(-∞ ;0)	(0; +∞)
f'(x) < 0	f'(x) > 0
функция убывает	функция возрастает

В окрестности точки x = 0 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 0 - точка минимума.
5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.

или

Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

Откуда точки перегиба:
x₁ = -1
x₂ = 1

(-∞ ;-1)	(-1; 1)	(1; +∞)
f''(x) < 0	f''(x) > 0	f''(x) < 0
функция выпукла	функция вогнута	функция выпукла

График функции



Задание № 6. Найти неопределенные интегралы.

		а)	,
		б)	,
Решение. А)

Формула интегрирования по частям:

Положим

dV= dx
Тогда:

V = x
Поэтому:

Находим интеграл

Ответ:


Б)



Задание № 7. С помощью определенного интеграла вычислить площадь области , ограниченной заданными линиями.

.

Решение.

Построим область , ограниченную заданными линиями.



Н айдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:



При решении квадратного уравнения системы

x²-5x+6=0, получаем два корня х₁=2, х₂=3 , которые являются координатами концов промежутка интегрирования для разности функций

f₁(x)= x²-3x+4, f₂(x)=2x-2 (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области). В результате вычислений получаем:



площадь области S=1/6(ед²).

Список литературы

1. 
   Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Д.Т. Письменный. М.: Айрис-пресс. 2009.
   
2. 
   Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Под ред. И.М. Петрушко. Лекции и практикум (учебное пособие) Лань, 2008.
   
3. 
   Линейная алгебра и геометрия. А.И. Кострикин, Ю.И. Манин. Лань, 2008.
   
4. 
   Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1 Н.С. Пискунов, М. Интеграл-пресс. 2007.
   
5. 
   Сборник задач по математике для втузов. Ч.1,2. Под ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова, М., ФМ, 2004.
   
6. 
   Практическое руководство к решению задач по высшей математике. (линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ), Лань, 2007.