Высшая математика. Решение а решить систему по правилу Крамера Запишем систему в виде a

• Название: Решение а решить систему по правилу Крамера Запишем систему в виде a
• Анкор: Высшая математика
• Дата: 23.01.2022
• Размер: 298.51 Kb.
• Имя файла: Высшая математика.docx
• Тип: Решение; #339187
• страница: 1 из 2

Задание № 1. Дана система линейных алгебраических уравнений. Требуется:

а) решить систему по правилу Крамера;

б) решить систему методом Гаусса;

в) решить систему с помощью обратной матрицы.



Решение.

а) решить систему по правилу Крамера;

Запишем систему в виде:

A =	1 4 2 4 1 4 2 -2 1

B^T = (-5,7,9)
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 1*(1*1-(-2)*4)-4*(4*1-(-2)*2)+2*(4*4-1*2) = 5
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

-5	4	2
7	1	4
9	-2	1

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₁ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = (-5)*(1*1-(-2)*4)-7*(4*1-(-2)*2)+9*(4*4-1*2) = 25

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	-5	2
4	7	4
2	9	1

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₂ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 1*(7*1-9*4)-4*((-5)*1-9*2)+2*((-5)*4-7*2) = -5

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.

1	4	-5
4	1	7
2	-2	9

Найдем определитель полученной матрицы.
∆₃ = (-1)^{1 + 1}a₁₁∆₁₁ + (-1)^{2 + 1}a₂₁∆₂₁ + (-1)^{3 + 1}a₃₁∆₃₁ = 1*(1*9-(-2)*7)-4*(4*9-(-2)*(-5))+2*(4*7-1*(-5)) = -15

Выпишем отдельно найденные переменные Х



Проверка.
1*5. +4*(-1)+2*(-3) = -5
4*5. +1*(-1)+4*(-3) = 7
2*5. -2*(-1)+1*(-3) = 9

б) решить систему методом Гаусса;

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1 4 2 4 1 4 2 -2 1

-5 7 9

Умножим 1-ю строку на (4). Умножим 2-ю строку на (-1). Добавим 2-ю строку к 1-й:

0 15 4 4 1 4 2 -2 1

-27 7 9

Умножим 3-ю строку на (-2). Добавим 3-ю строку к 2-й:

0 15 4 0 5 2 2 -2 1

-27 -11 9

Умножим 2-ю строку на (-3). Добавим 2-ю строку к 1-й:

0 0 -2 0 5 2 2 -2 1

6 -11 9

Теперь исходную систему можно записать так:
x₃ = 6/(-2)
x₂ = [-11 - (2x₃)]/5
x₁ = [9 - ( - 2x₂ + x₃)]/2
Из 1-й строки выражаем x₃

Из 2-й строки выражаем x₂

Из 3-й строки выражаем x₁


в) решить систему с помощью обратной матрицы

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:

1 4 2 4 1 4 2 -2 1

Вектор B:
B^T=(-5,7,9)
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.
Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А^-1. Умножив обе части уравнения на А^-1, получим: А^-1*А*Х = А^-1*B, А^-1*А=Е.
Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А^-1.
Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.
Найдем главный определитель.
∆=1•(1•1-(-2•4))-4•(4•1-(-2•2))+2•(4•4-1•2)=5
Итак, определитель 5 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.


Транспонированная матрица к матрице A имеет вид:

AT=	1 4 2 4 1 -2 2 4 1

Вычисляем алгебраические дополнения.

AT1,1=(-1)1+1

1 -2 4 1

∆_1,1=(1•1-4•(-2))=9

AT1,2=(-1)1+2

4 -2 2 1

∆_1,2=-(4•1-2•(-2))=-8

AT1,3=(-1)1+3

4 1 2 4

∆_1,3=(4•4-2•1)=14

AT2,1=(-1)2+1

4 2 4 1

∆_2,1=-(4•1-4•2)=4

AT2,2=(-1)2+2

1 2 2 1

∆_2,2=(1•1-2•2)=-3

AT2,3=(-1)2+3

1 4 2 4

∆_2,3=-(1•4-2•4)=4

AT3,1=(-1)3+1

4 2 1 -2

∆_3,1=(4•(-2)-1•2)=-10

AT3,2=(-1)3+2

1 2 4 -2

∆_3,2=-(1•(-2)-4•2)=10

AT3,3=(-1)3+3

1 4 4 1

∆_3,3=(1•1-4•4)=-15
Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:

C=	9 -8 14 4 -3 4 -10 10 -15

Вычислим обратную матрицу:

9 -8 14 4 -3 4 -10 10 -15

Вектор результатов X
X=A^-1 • B

9 -8 14 4 -3 4 -10 10 -15

*

-5 7 9

(9(-5))+(-8*7)+(14*9) (4(-5))+(-3*7)+(4*9) (-10(-5))+(10*7)+(-15*9)

25 -5 -15

X^T=(5,-1,-3)
x₁=²⁵ / ₅=5
x₂=^-5 / ₅=-1
x₃=^-15 / ₅=-3
Проверка.
1•5+4•(-1)+2•(-3)=-5
4•5+1•(-1)+4•(-3)=7
2•5-2•(-1)+1•(-3)=9