"Решение дифференциальных уравнений высших порядков"
![]()
|
Курсовая работа на тему: "Решение дифференциальных уравнений высших порядков" Содержание Введение Общие понятия и определения Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Заключение Список литературы Введение При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающие тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называются дифференциальными. Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение: ![]() где ![]() ![]() Характерное свойство дифференциальных уравнений - иметь бесконечное множество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача не определена. В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, о таких задачах говорят, что они сводятся к дифференциальным уравнениям. Опыт показывает, что разные по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным уравнениям. Поэтому необходимо выработать приемы решения таких классов уравнений для тех задач, которые привели или могут привести к ним. Этим и занимается математическая наука, называемая теорией дифференциальных уравнений. Общие понятия и определенияОпределение: Дифференциальным уравнением порядка n называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и ее производные до n-го порядка включительно. Его общий вид: ![]() В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно старшей производной y (n): ![]() где функция ![]() ![]() Решением уравнения ![]() ![]() ![]() . ![]() ![]() 2. ![]() . ![]() ![]() ![]() Функция ![]() ![]() ![]() Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. ![]() ![]() Определение: Нахождение решения уравнения ![]() ![]() Задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Теорема Пеано: Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Существование и единственность решения задачи Коши гарантирует следующая теорема. ![]() ![]() Теорема Коши-Пикара: Если функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Условия теоремы Коши-Пикара выполняются, в частности, если функция ![]() ![]() ![]() ![]() Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() . функция ![]() ![]() . для любой точки ![]() ![]() единственным образом разрешима относительно ![]() ![]() . функция ![]() ![]() ![]() ![]() Если общее решение ![]() ![]() дифференциальное уравнение высший порядок то ![]() ![]() Любое решение, получаемое из ![]() ![]() ![]() Аналогично вводится понятие частного интеграла. Если известно общее решение ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решив эту систему и подставив конкретные значения ![]() ![]() ![]() ![]() или частный интеграл ![]() Если в равенстве ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если соотношения ![]() ![]() ![]() ![]() то ![]() Для уравнения ![]() ![]() ![]() При этом если заданным числам ![]() ![]() ![]() соответствует только одно решение, то говорят, что задача Коши имеет единственное решение. ![]() ![]() Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравнения): ![]() Пусть функция F непрерывна в области G и имеет непрерывные частные производные по ![]() ![]() ![]() ![]() существует единственное решение уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример 1: Показать, что функция ![]() ![]() ![]() Решение: Находим ![]() ![]() ![]() ![]() Подставим наши вычисления в ![]() ![]() Следовательно, функция ![]() ![]() ![]() Пример 2: Показать что функция ![]() ![]() ![]() Является решением уравнения: ![]() Решение: Находим ![]() ![]() ![]() Подставим получившееся результаты в уравнение ![]() ![]() Следовательно, функция ![]() ![]() ![]() |