"Решение дифференциальных уравнений высших порядков"
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Курсовая работа на тему: "Решение дифференциальных уравнений высших порядков" Содержание Введение Общие понятия и определения Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Заключение Список литературы Введение При изучении явлений природы, решении многих задач физики и техники, химии и биологии, других наук не всегда удается непосредственно установить прямую зависимость между величинами, описывающие тот или иной эволюционный процесс. Однако в большинстве случаев можно установить связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения относительно других (независимых) переменных величин, т.е. найти уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Эти уравнения называются дифференциальными. Простейшим примером дифференциального уравнения является уравнение:  где  - известная функция, а  - искомая функции независимого переменного.Характерное свойство дифференциальных уравнений - иметь бесконечное множество решений. Поэтому, решив дифференциальное уравнение, нельзя одновременно найти зависимость между величинами, характеризующими данный процесс. Чтобы выделить из бесконечного множества зависимостей ту, которая описывает этот процесс, надо иметь дополнительную информацию, например, знать начальное состояние процесса. Без этого дополнительного условия задача не определена. В различных областях человеческой деятельности возникает большое число задач, о таких задачах говорят, что они сводятся к дифференциальным уравнениям. Опыт показывает, что разные по содержанию задачи приводят к одинаковым или сходным уравнениям. Поэтому необходимо выработать приемы решения таких классов уравнений для тех задач, которые привели или могут привести к ним. Этим и занимается математическая наука, называемая теорией дифференциальных уравнений. Общие понятия и определенияОпределение: Дифференциальным уравнением порядка n называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и ее производные до n-го порядка включительно. Его общий вид:  В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно старшей производной y (n):  где функция  предполагается быть непрерывной в некоторой области  изменения свих аргументов.Решением уравнения на интервале  называется функция  , удовлетворяющая условиям:. непрерывно дифференцируема  раз на I;2.  . обращает уравнение в тождество, т.е. Функция  или может и не зависеть от некоторых из аргументов  но, во всяком случае, уравнение n-го порядка должно содержать производную n-го порядка.Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.  3 Определение: Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям  , называется решением задачи Коши.Задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения называется задача нахождения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:  где  ,  - заданные числа.Теорема Пеано: Если функция непрерывна в области  , то для любой точки  существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям  .Существование и единственность решения задачи Коши гарантирует следующая теорема. 4 Теорема Коши-Пикара: Если функция непрерывна в области и удовлетворяет условию Липшица по переменным  , то для любой точки существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям .Условия теоремы Коши-Пикара выполняются, в частности, если функция непрерывна на и имеет в окрестности точки  ограниченные частные производные по .Пусть - область, в каждой точки которой задача Коши для уравнения имеет единственное решение. Функция  , где  - произвольные постоянные, называется общим решением уравнения в области , если:. функция  имеет непрерывные частные производные по  до n-го порядка включительно;. для любой точки система единственным образом разрешима относительно   (*). функция  является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных  в равенствах (*), когда точка ( ) принадлежит области D.Если общее решение в области D заданно неявно соотношением: дифференциальное уравнение высший порядок то называется общим интегралом уравнения в области D.Любое решение, получаемое из при конкретных числовых значениях , называется частным решением уравнения Аналогично вводится понятие частного интеграла. Если известно общее решение или общий интеграл , то решить задачу Коши можно следующим способом: из соотношений и и тех, которые получаются из них (n-1) - кратным дифференцированием по x с использованием начальных условий , получаем систему для определения .Решив эту систему и подставив конкретные значения в или в , получим решение задачи Коши: ,или частный интеграл  , с помощью которого неявно задано решение задачи Коши.Если в равенстве учесть явный вид зависимости от  , то получим общее решение в так называемой форме Коши:  Если соотношения и заданы в виде:  то называют общим интегралом в параметрической форме.Для уравнения не разрешенного относительно производной  , задача Коши ставится аналогично задаче Коши для уравнения При этом если заданным числам и каждому из значений , определяемых из уравнения: соответствует только одно решение, то говорят, что задача Коши имеет единственное решение. 2 Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравнения): Пусть функция F непрерывна в области G и имеет непрерывные частные производные по  . Тогда для любой точки  такой, что  существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям . 2 Пример 1: Показать, что функция заданная уравнением  является решением уравнения  Решение: Находим  . Имеем:   Подставим наши вычисления в , и тогда получим: Следовательно, функция является решением данного уравнения. 5 Пример 2: Показать что функция , параметрически заданна системой уравнений:  Является решением уравнения:  Решение: Находим  . Имеем:  Подставим получившееся результаты в уравнение  Следовательно, функция является решением данного уравнения. 1 |