"Решение дифференциальных уравнений высших порядков"
![]()
|
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентамиСтруктура общего решения. Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение ![]() имеет постоянные коэффициенты p и q. Будем искать частное решение уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляя ![]() ![]() ![]() Или, сокращая на множитель ![]() ![]() Квадратное уравнение ![]() Заметим, что для написания характеристического уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения. Определение. Если из функций yi составить определитель n - го порядка ![]() ![]() то этот определитель называется определителем Вронского. (Юзеф Вронский (1776 - 1853) - польский математик и философ - мистик) Теорема: Если функции ![]() Теорема: Если функции ![]() Теорема: Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения ![]() Теорема. Если ![]() ![]() где Ci - постоянные коэффициенты. ![]() ![]() Пример: Решить уравнение ![]() Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с помощью подстановки ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Окончательно получаем ![]() ЗаключениеПолучилось установить связь между функциями и переменными величинами, т.е. найдены дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной. Установлено характерное свойство дифференциальных уравнений, в частности то, что они имеют бесконечное множество решений. Рассмотрели примеры решения дифференциальных задач. И показали, что их решение сводится к элементарным задачам, т.е. к элементарным дифференциальным уравнениям. Список литературы1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский "Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление." учебник для вузов - 2010г. 2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестнюк Н. А." Дифференциальные уравнения: примеры и задачи." учебное пособие - 2009г. . Школьник А. Г." Дифференциальные уравнения." учебное пособие - 1963г. . Демидович Б. П." Краткий курс высшей математики" учебное пособие 2011г. . Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М.: Мир, 2009. . Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 2011. |