Главная страница
Навигация по странице:

  • Список литературы

  • "Решение дифференциальных уравнений высших порядков"


    Скачать 0.53 Mb.
    Название"Решение дифференциальных уравнений высших порядков"
    Дата09.04.2023
    Размер0.53 Mb.
    Формат файлаrtf
    Имя файлаbibliofond.ru_878570.rtf
    ТипКурсовая
    #1048566
    страница3 из 3
    1   2   3

    Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами



    Структура общего решения. Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение

    имеет постоянные коэффициенты p и q.

    Будем искать частное решение уравнения в форме , где k - постоянное число, подлежащее определению. Из имеем и .

    Подставляя в уравнение , получаем

    Или, сокращая на множитель , который не равен нулю, находим

    Квадратное уравнение , из которого определяется k, называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

    Заметим, что для написания характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и функцию y заменить на соответствующее степени величины k, рассматривая при этом функцию y как производную нулевого порядка. 1

    Определение.

    Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

    Определение.

    Если из функций yi составить определитель n - го порядка
    ,
    то этот определитель называется определителем Вронского.

    (Юзеф Вронский (1776 - 1853) - польский математик и философ - мистик)

    Теорема:

    Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

    Теорема:

    Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

    Теорема:

    Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

    Теорема.

    Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

    где Ci - постоянные коэффициенты. 2

    Пример:

    Решить уравнение

    Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с помощью подстановки .
    Тогда








    Окончательно получаем



    Заключение



    Получилось установить связь между функциями и переменными величинами, т.е. найдены дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции входят под знак производной.

    Установлено характерное свойство дифференциальных уравнений, в частности то, что они имеют бесконечное множество решений.

    Рассмотрели примеры решения дифференциальных задач. И показали, что их решение сводится к элементарным задачам, т.е. к элементарным дифференциальным уравнениям.



    Список литературы



    1. Я.С. Бугров, С.М. Никольский "Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление." учебник для вузов - 2010г.

    2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестнюк Н. А." Дифференциальные уравнения: примеры и задачи." учебное пособие - 2009г.

    . Школьник А. Г." Дифференциальные уравнения." учебное пособие - 1963г.

    . Демидович Б. П." Краткий курс высшей математики" учебное пособие 2011г.

    . Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла и Дж. Уатта. М.: Мир, 2009.

    . Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 2011.
    1   2   3


    написать администратору сайта