"Решение дифференциальных уравнений высших порядков"

• Название: "Решение дифференциальных уравнений высших порядков"
• Дата: 09.04.2023
• Размер: 0.53 Mb.
• Имя файла: bibliofond.ru_878570.rtf
• Тип: Курсовая; #1048566
• страница: 2 из 3

Уравнения высших порядков, приводящиеся к квадратурам

Из того, что дифференциальное уравнение n-го порядка
(1)
имеет решение, разумеется, не следует, что это решение выражается в квадратурах (например, для уравнений первого порядка такая возможность представляется далеко не всегда).

Оставляя в стороне линейные уравнения, рассмотрим здесь некоторые, наиболее важные типы уравнений, интригуемых в квадратурах или по крайней мере допускающих понижение порядка.

Интегрирование таких уравнений будет происходить путем сведения к уравнениям низшего порядка. При этом порядки промежуточных уравнений, называемых промежуточными интегралами, постепенно понижаются, а число входящих в них произвольных постоянных увеличивается.

Интегрирование закончено, когда мы доходим до общего интеграла:

вовсе не содержащего производных и заключающего n произвольных постоянных.

Наиболее простым является тот случай, когда правая часть уравнения (1) зависит только от x:

Общее решение в этом случае получаем с помощью последовательных квадратур:

Решение с начальными условиями может быть записано в виде:

Впрочем, на практике обычно не используют готовую формулу, а используют начальные условия, находят значения постоянных постепенно в процессе интегрирования. 2

Примеры:
)

;

.
) . Найти решение, удовлетворяющее условиям: , , , . Интегрируя, находим первый интеграл:

Пользуясь начальными условиями, определяем : 1= - 1+ ; =2; таким образом,

Интегрируем далее:

Используя начальные условия, находим что = - 1; таким образом,

Отсюда, наконец,

И так как в силу начальных условий = - 1, получаем искомое частное решение:
.
Рассмотрим теперь уравнения вида:

Применяя подстановку , получаем:
.
Интегрируя, находим первый (промежуточный) интеграл:

Предполагая возможным решение этого уравнения относительно (в элементарных функциях), получаем:
, или ;
видим, что получили уравнение типа ; квадратур дают общее решение:
. 6
Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.

Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка

приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

Случай 1: пусть правая часть дифференциального уравнения явно не содержит x, т.е. уравнение имеет вид:

Полагая здесь:
и
Получим дифференциальное уравнения первого порядка:
,
Где роль независимой переменной играет . 4

Случай 2: пусть правая часть дифференциального уравнения явно не содержит , т.е. уравнение имеет вид:

полагая здесь:
и
получим уравнение первого порядка:

с известной функцией p 4 .

Пример 1:

Решить уравнение

Согласно случаю 1 полагаем и . Тогда уравнение примет вид:

Отсюда:
. , т.е. , 2. , т.е. и
Потенцируя, будем иметь

и следовательно,

После интегрирования получаем

и значит, что

где и - произвольные постоянные. 2

Пример 2:

Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям и , при .

В уравнении полагаем и . Тогда
или
Полученное уравнение - однородное, поэтому применим следовательно,
и
Подставляя в уравнение , будем иметь
отсюда, или
Интегрируя, получаем

И, следовательно,
т.е. . .
Для определения постоянной используем начальные условия: при . Получаем т.е. и, таким образом,
Отсюда имеем и


Постоянную определяем из начальных условий. Полагая и в формуле , получаем т.е. . Следовательно, искомое частное решение есть
. 2