Площадь фигуры по ограниченным кривым. Вычислить площадь фигуры ПРИМЕРЫ. Решение. Из уравнения эллипса для i квадранта имеем. Отсюда по формуле получаем
![]()
|
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() ![]() Решение. Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений: ![]() ![]() Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение: ![]() ![]() ![]() Находим: x1 = -2, x2 = 4. Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6). ![]() Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле: ![]() ![]() ![]() По формуле Ньютона-Лейбница находим: ![]() ![]() ![]() Найти площадь области, ограниченной эллипсом ![]() Решение. ![]() Из уравнения эллипса для I квадранта имеем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Применим подстановку x = a sin t, dx = a cos tdt. Новые пределы интегрирования t = α и t = β определяются из уравнений 0 = a sin t, a = a sin t. Можно положить α = 0 и β = π/2. Находим одну четвертую искомой площади ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда S = πab. Найти площадь фигуры, ограниченной линиямиy= -x2+x+ 4 иy= -x+ 1. Решение. Найдем точки пересечения линий y = -x2 + x + 4, y = -x + 1, приравнивая ординаты линий: -x2 + x + 4 = -x + 1 или x2 - 2x - 3 = 0. Находим корни x1 = -1, x2 = 3 и соответствующие им ординаты y1 = 2, y2 = -2. ![]() По формуле площади фигуры получаем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определить площадь, ограниченную параболойy=x2+ 1 и прямойx+y= 3. Решение. Решая систему уравнений ![]() ![]() находим абсциссы точек пересечения x1 = -2 и x2 = 1. ![]() Полагая y2 = 3 - x и y1 = x2 + 1, на основании формулы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернуллиr2=a2cos 2φ. Решение. ![]() В полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной дугой кривой r = f(φ) и двумя полярными радиусами φ1 = ʅ и φ2 = ʆ, выразится интегралом ![]() ![]() В силу симметрии кривой определяем сначала одну четвертую искомой площади ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, вся площадь равна S = a2. Вычислить длину дуги астроидыx2/3+y2/3=a2/3. Решение. ![]() Запишем уравнение астроиды в виде (x1/3)2 + (y1/3)2 = (a1/3)2. Положим x1/3 = a1/3cos t, y1/3 = a1/3sin t. Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды x = a cos3t, y = a sin3t, (*) где 0 ≤ t ≤ 2π. Ввиду симметрии кривой (*) достаточно найти одну четвертую часть длины дуги L, соответствующую изменению параметра t от 0 до π/2. Получаем dx = -3a cos2t sin t dt, dy = 3a sin2t cos t dt. Отсюда находим ![]() ![]() ![]() Интегрируя полученное выражение в пределах от 0 до π/2, получаем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Отсюда L = 6a. Найти площадь, ограниченную спиралью Архимедаr=aφи двумя радиусами-векторами, которые соответствуют полярным угламφ1иφ2(φ1<φ2). Решение. ![]() Площадь, ограниченная кривой r = f(φ) вычисляется по формуле ![]() ![]() Таким образом, получаем ![]() ![]() ![]() Из (*) следует, что площадь, ограниченная полярной осью и первым витком спирали Архимеда (φ1 = 0; φ2 = 2π): ![]() ![]() Аналогичным образом находим площадь, ограниченную полярной осью и вторым витком спирали Архимеда (φ1 = 2π; φ2 = 4π): ![]() ![]() ![]() Искомая площадь равна разности этих площадей ![]() ![]() ![]() Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг осиOxфигуры, ограниченной параболамиy=x2иx=y2. Решение. ![]() Решим систему уравнений ![]() ![]() ![]() ![]() и получим x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = 1, откуда точки пересечения кривых O(0; 0), B(1; 1). Как видно на рисунке, искомый объем тела вращения равен разности двух объемов, образованных вращением вокруг оси Ox криволинейных трапеций OCBA и ODBA: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вычислить площадь, ограниченную осьюOxи синусоидойy= sinxна отрезках: а) [0,π]; б) [0, 2π]. Решение. ![]() а) На отрезке [0, π] функция sin x сохраняет знак, и поэтому по формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б) На отрезке [0, 2π], функция sin x меняет знак. Для корректного решения задачи, необходимо отрезок [0, 2π] разделить на два [0, π] и [π, 2π], в каждом из которых функция сохраняет знак. По правилу знаков, на отрезке [π, 2π] площадь берется со знаком минус. В итоге, искомая площадь равна ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса ![]() Решение. ![]() Учитывая, что эллипс симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси Oxплощади OAB, равной одной четверти площади эллипса, и полученный результат удвоить. Обозначим объем тела вращения через Vx; тогда на основании формулы ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, искомый объем равен ![]() ![]() Найти площадь, ограниченную параболамиy2= 2pxиx2= 2py. Решение. ![]() Сначала найдем координаты точек пересечения парабол, чтобы определить отрезок интегрирования. Преобразуя исходные уравнения, получаем ![]() ![]() ![]() Отсюда x4 - 8p3x = x(x3 - 8p3) = x(x - 2p)(x2 + 2px + 4p2) = 0. Находим корни уравнений: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Учитывая то факт, что точка A пересечения парабол находится в первой четверти, то пределы интегрирования x = 0 и x = 2p. Искомую площадь находим по формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |