МАТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2. Решение. Классическое определение вероятности

• Название: Решение. Классическое определение вероятности
• Дата: 15.08.2021
• Размер: 0.51 Mb.
• Имя файла: МАТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2.doc
• Тип: Решение; #226937
• страница: 1 из 2

Задача 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события.

Из колоды карт в 36 листов вытягивают 6 карт. Найти вероятность того, что среди этих карт 4 дамы и 2 короля.
Решение.

Классическое определение вероятности: .

Число всевозможных исходов - выбора 6-ти карт из колоды в 36 листов, равно числу сочетаний из 36 карт по 6 карт. Все выборки отличаются только составом.

.

В колоде из 36 карт - четыре туза, четыре короля, четыре дамы, 4 валета и т.д.

- число выбора 4 дамы из 4-х возможных равно числу сочетаний по 4 дамы из 4-х карт:



- число выбора 2 короля из 4-х возможных равно числу сочетаний по 2 короля из 4-х карт:



Число благоприятных исходов равно произведению и .

Следовательно, искомая вероятность равна:

.

Ответ: .


Задача 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероят­ность случайного события.

В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, вероятность допус­тить ошибку при расчете платежной ведомости для кассира равна 0,05, для ученика кассира - 0,25. Найти вероятность того, что в платежной ведомости будет обнаружена ошибка.
Решение.

Формула полной вероятности:

.

Событие А - в платежной ведомости будет обнаружена ошибка.

Гипотезы:

- ошибка допущена кассиром;

- ошибка допущена учеником кассира.

В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, следовательно вероятности гипотез равны:

; .

- полная группа событий.

Условные вероятности события А:

- вероятность допус­тить ошибку при расчете платежной ведомости для кассира;

- вероятность допус­тить ошибку при расчете платежной ведомости для ученика кассира.

Тогда по формуле полной вероятности:



Ответ: .
Задача 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли.

На полке магазина располагаются 10 продуктов. Вероятность того, что спрос на каждый продукт снизится, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса: а) на 8 продуктов, б) хотя бы на один продукт.
Решение.

Формула Бернулли: , где - вероятность появления события в одном испытании; - вероятность непоявления события в одном испытании.

а) ; ; ; .



б) Событие А - «Из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса хотя бы на один продукт» противоположно событию - «Из 10 продуктов в течение некоторого времени не произойдет снижение спроса ни на один продукт».







Ответ: а) 0,233474441; б) 0,9999940951.

Задача 32. Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины , построить ее график. Найти числовые характеристики , , .

В партии из 14 деталей имеются 2 нестандартные. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X- числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики , , .
Решение.

Так как всего нестандартных деталей 2, то случайная величина X- число стандартных деталей среди 3-х отобранных может принимать значение 1, 2, 3.

Применим формулу классической вероятности.

Число всевозможных способов выбора 3-х деталей из 14 равно числу сочетаний из 14 деталей по 3 (все выборки отличаются только составом):



X=1- число стандартных деталей среди 3-х отобранных равно 1. Одна стандартная деталь выбирается из 12 возможных, две нестандартные выбираются из 2-х возможных.

;

X=2- число стандартных деталей среди 3-х отобранных равно 2. Две стандартные детали выбираются из 12 возможных, одна нестандартная выбирается из 2-х возможных.

;

X=3- число стандартных деталей среди 3-х отобранных равно 3. Три стандартные детали выбираются из 12 возможных, нестандартных деталей нет.

;

Ряд распределения числа стандартных деталей в выборке:

	1	2	3

Проверка:

Составим функцию распределения случайной величины и построим ее график.

, если ;

если , ;

если , ;

если ,

Функция распределения случайной величины определяется следующим образом:



Построим график функции распределения случайной величины.


Формула для нахождения математического ожидания:

.



Формула для нахождения дисперсии:

, где





Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется равенством: .



Ответ: ; ; .

Задача 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности.

В ОТК были измерены диаметры 300 валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от но­минала (мм) даны в таблице. На уровне значимости проверить гипотезу, что отклонения диаметров от номинала можно описать нор­мальным распределением, используя критерий согласия Пирсона.

Номер интервала	Границы отклонений	Число валиков
1	-30...-25	3
2	-25...-20	8
3	-20...-15	15
4	-15...-10	35
5	-10...-5	40
6	-5... 0	60
7	0-5	55
8	5-10	30
9	10-15	25
10	15-20	14
11	20-25	8
12	25-30	7

Решение.

Выдвинем гипотезу: Отклонения диаметров от номинала можно описать нор­мальным распределением.

Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты среднее арифметическое концов интервала:

; ; ;

; ; ;

; ; ; ;

; .
Распределение равноотстоящих вариант:

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	-27,5	-22,5	-17,5	-12,5	-7,5	-2,5	2,5	7,5	12,5	17,5	22,5	27,5
	3	8	15	35	40	60	55	30	25	14	8	7

Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение .

№ п/п
1	-27,5	3	-82,5	2268,75
2	-22,5	8	-180	4050
3	-17,5	15	-262,5	4593,75
4	-12,5	35	-437,5	5468,75
5	-7,5	40	-300	2250
6	-2,5	60	-150	375
7	2,5	55	137,5	343,75
8	7,5	30	225	1687,5
9	12,5	25	312,5	3906,25
10	17,5	14	245	4287,5
11	22,5	8	180	4050
12	27,5	7	192,5	5293,75
Итого		300	-120	38575

Выборочная средняя находится по формуле: .

;

Квадратичное отклонение находится по формуле: .



3. Вычислим концы интервалов по формуле: , где , . Наименьшее значение полагаем равным , наибольшее значение полагаем равным .

4. Вычислим теоретические частоты по формуле: ,

где - вероятности попадания в интервалы .

- интегральная функция Лапласа: ; .

Заполним таблицу:

Номер интервала	Границы интервала		Границы интервала
1	2	3	4	5	6	7	8
1	-30	-25		-2,17	-0,5000	-0,4850	4,5
2	-25	-20	-2,17	-1,73	-0,4850	-0,4582	8,04
3	-20	-15	-1,73	-1,29	-0,4582	-0,4015	17,01
4	-15	-10	-1,29	-0,85	-0,4015	-0,3023	29,76
5	-10	-5	-0,85	-0,41	-0,3023	-0,1591	42,96
6	-5	0	-0,41	0,04	-0,1591	0,0160	52,53
7	0	5	0,04	0,48	0,0160	0,1844	50,52
8	5	10	0,48	0,92	0,1844	0,3212	41,04
9	10	15	0,92	1,36	0,3212	0,4131	27,57
10	15	20	1,36	1,80	0,4131	0,4641	15,3
11	20	25	1,80	2,24	0,4641	0,4875	7,02
12	25	30	2,24		0,4875	0,5000	3,75
Итого							300

5. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона:

а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу.

Номер интервала
1	2	3	4	5	6
1	3	4,5	0,5	9	2
2	8	8,04	0,0002	64	7,9602
3	15	17,01	0,2375	225	13,2275
4	35	29,76	0,9226	1225	41,1626
5	40	42,96	0,2039	1600	37,2439
6	60	52,53	1,0623	3600	68,5323
7	55	50,52	0,3973	3025	59,8773
8	30	41,04	2,9698	900	21,9298
9	25	27,57	0,2396	625	22,6696
10	14	15,3	0,1105	196	12,8105
11	8	7,02	0,1368	64	9,1168
12	7	3,75	2,8167	49	13,0667
	300	300	9,5972		309,5972

Графы 5 и 6 служат для контроля вычислений:



Получили значение , следовательно, вычисления произведены правильно.

б) По таблице критических точек распределения Пирсона, по уровню значимости и числу степеней свободы ( - число интервалов) находим критическую точку .

Так как , то гипотезу принимаем: Отклонения диаметров от номинала можно описать нор­мальным распределением.