МАТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2. Решение. Классическое определение вероятности
![]()
|
1 2 Задача 2. Используя классическое определение вероятности, вычислить вероятность случайного события. Из колоды карт в 36 листов вытягивают 6 карт. Найти вероятность того, что среди этих карт 4 дамы и 2 короля. Решение. Классическое определение вероятности: ![]() Число всевозможных исходов ![]() ![]() В колоде из 36 карт - четыре туза, четыре короля, четыре дамы, 4 валета и т.д. ![]() ![]() ![]() ![]() Число благоприятных исходов ![]() ![]() ![]() Следовательно, искомая вероятность равна: ![]() Ответ: ![]() Задача 12. Используя формулу полной вероятности, вычислить вероятность случайного события. В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, вероятность допустить ошибку при расчете платежной ведомости для кассира равна 0,05, для ученика кассира - 0,25. Найти вероятность того, что в платежной ведомости будет обнаружена ошибка. Решение. Формула полной вероятности: ![]() Событие А - в платежной ведомости будет обнаружена ошибка. Гипотезы: ![]() ![]() В банке работают 5 кассиров и 2 ученика кассира, следовательно вероятности гипотез равны: ![]() ![]() ![]() Условные вероятности события А: ![]() ![]() Тогда по формуле полной вероятности: ![]() Ответ: ![]() Задача 22. Найти вероятность события, используя формулу Бернулли. На полке магазина располагаются 10 продуктов. Вероятность того, что спрос на каждый продукт снизится, равна 0,7. Найти вероятность того, что в течение некоторого времени произойдет снижение спроса: а) на 8 продуктов, б) хотя бы на один продукт. Решение. Формула Бернулли: ![]() ![]() ![]() а) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б) Событие А - «Из 10 продуктов в течение некоторого времени произойдет снижение спроса хотя бы на один продукт» противоположно событию ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: а) 0,233474441; б) 0,9999940951. Задача 32. Составить закон распределения случайной величины. Составить функцию распределения случайной величины ![]() ![]() ![]() ![]() В партии из 14 деталей имеются 2 нестандартные. Наугад отобраны 3 детали. Составить закон распределения случайной величины X- числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовые характеристики ![]() ![]() ![]() Решение. Так как всего нестандартных деталей 2, то случайная величина X- число стандартных деталей среди 3-х отобранных может принимать значение 1, 2, 3. Применим формулу классической вероятности. Число всевозможных способов выбора 3-х деталей из 14 равно числу сочетаний из 14 деталей по 3 (все выборки отличаются только составом): ![]() X=1- число стандартных деталей среди 3-х отобранных равно 1. Одна стандартная деталь выбирается из 12 возможных, две нестандартные выбираются из 2-х возможных. ![]() ![]() X=2- число стандартных деталей среди 3-х отобранных равно 2. Две стандартные детали выбираются из 12 возможных, одна нестандартная выбирается из 2-х возможных. ![]() ![]() X=3- число стандартных деталей среди 3-х отобранных равно 3. Три стандартные детали выбираются из 12 возможных, нестандартных деталей нет. ![]() ![]() Ряд распределения числа стандартных деталей в выборке:
Проверка: ![]() Составим функцию распределения случайной величины ![]() ![]() ![]() если ![]() ![]() если ![]() ![]() если ![]() ![]() Функция распределения случайной величины определяется следующим образом: ![]() Построим график функции распределения случайной величины. ![]() Формула для нахождения математического ожидания: ![]() ![]() Формула для нахождения дисперсии: ![]() ![]() ![]() ![]() Среднее квадратическое отклонение ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() ![]() Задача 42. По выборочным статистическим данным проверить гипотезу о распределении генеральной совокупности. В ОТК были измерены диаметры 300 валиков из партии, изготовленной одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала (мм) даны в таблице. На уровне значимости ![]()
Решение. Выдвинем гипотезу: Отклонения диаметров от номинала можно описать нормальным распределением. Перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Распределение равноотстоящих вариант:
Вычислим выборочную среднюю ![]() ![]()
Выборочная средняя находится по формуле: ![]() ![]() ![]() Квадратичное отклонение находится по формуле: ![]() ![]() 3. Вычислим концы интервалов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4. Вычислим теоретические частоты по формуле: ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Заполним таблицу:
5. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона: а) вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу.
Графы 5 и 6 служат для контроля вычислений: ![]() Получили значение ![]() б) По таблице критических точек распределения Пирсона, по уровню значимости ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() 1 2 |