эпюры. Построить эпюры. Решение. Определение опорных реакций Из уравнений равновесия находим Определение
![]()
|
Построить эпюры ![]() ![]() ![]() а) б) Решение. 1. Определение опорных реакций Из уравнений равновесия ![]() ![]() находим ![]() 2. Определение ![]() Мысленно рассечем балку и рассмотрим правую ее часть (рис. б). Из уравнения равновесия находим ![]() Эпюры представлены на рис. a. Консольная балка не загружена распределенной нагрузкой, поэтому перерезывающая сила по правилу Журавского постоянна, а момент – прямая, возрастающая с ростом ![]() ![]() 3. Расчет на прочность Из эпюры ![]() ![]() ![]() Пусть требуется подобрать поперечное сечение в виде стандартного двутавра. Тогда условие прочности представим в виде ![]() Пусть ![]() ![]() Из таблицы сортамента по ГОСТ 8239-89 берем первое большее значение, что соответствует двутавру № 22 с ![]() ![]() что меньше допустимого на 19,2%, это слишком большое недонапряжение, приводящее к дополнительной затрате материала. Возьмем двутавр № 20 по ГОСТ 8239-89 с ![]() ![]() Перенапряжение составляет 1%, что меньше допустимого ![]() Окончательно выбираем двутавровое сечение балки № 20. Пример 2 Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать размеры поперечного сечения стальной балки (рис. 16) для различных форм сечения : двутавровой балки , балки прямоугольного сечения со сторонами h и b при h/b= 2 и круглого поперечного сечения . Балка выполнена из стали с допускаемым напряжением [σ] =190 МПа ;а=1 м; q=10кН/м.
![]() Рис. 16. Расчетная схема балки 1. Определение опорных реакций. На схеме показываем опорные реакцииR1, H, R2. Вертикальные реакции направляем вверх и записываем уравнения равновесия: ΣX=0; H=0; ΣMD=0; R13a+qa∙2a-qa∙1,5a-2qa∙a=0. Отсюда R1=0,5qa. ΣMA=0; R23a-2qa∙2a-qa∙1,5a+qa∙a=0. Отсюда R2=1,5qa. Проверим правильность вычислений, составив еще одно уравнение равновесия: ΣY=0; 0,5qa+qa-qa-2qa+1,5qa=0. Условие равновесия удовлетворяется, реакции определены правильно. 2.Построение эпюрыQ. Мысленно разбиваем балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых к балке приложены сосредоточенные силы или пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются промежуточные шарниры. В рассматриваемой балке граничными сечениями будут сечения A, B, CиD. Для каждого из трех участков запишем аналитическое выражение Q(x). УчастокAB, 0 Q(x)=R1=0,5qa. Поперечная сила не зависит от переменной x на протяжении всего участка, следовательно, эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси абсцисс. Отложив от оси эпюры вверх в выбранном масштабе 0,5qa (рис.17), строим эпюру на этом участке. Участок BC, a Q(x)=0,5qa+qa-q(x-a)=1,5qa-q(x-a). Полученное выражение является уравнением наклонной прямой, которая может быть построена по двум лежащим на ней точкам. Для ее построения найдем значения поперечной силы на границах участков балки x=a, Q(a)=1,5qa, x=2a, Q(2a)=0,5qa. Участок CD, 2a Q(x)=0,5qa+qa-qa-2qa=-1,5qa. Так как поперечная сила не зависит от переменной x, на последнем участке эпюра Q ограничена прямой, параллельной оси балки (см. рис. 17). 3. Построение эпюрыMz. Аналитическое выражение для вычисления изгибающего момента в сечении x необходимо записать для каждого участка балки. Участок AB: Mz(x)=0,5qa∙x. На этом участке балки изгибающий момент возрастает по линейному закону и эпюра Mz ограничена наклонной прямой. Вычисляя его значения в сечениях на границах участка, строим в масштабе (рис. 17) эпюру Mz на сжатом волокне x=0, Mz(0)=0; x=a, Mz(a)=0,5qa2. УчастокBC: ![]() Полученное уравнение является уравнением квадратной параболы и, поскольку поперечная сила Q на участке BC не изменяет знак, экстремума на эпюре Mz не будет. Определим изгибающий момент на границах участка: x=a, Mz(a)=0,5qa2; x=2a, Mz(2a)=0,5qa∙2a+qa(2a-a)- ![]() Отложив вверх от оси балки найденные значения, проводим квадратную параболу выпуклостью вверх (навстречу вектору усилия равномерно распределенной нагрузки). УчастокCD: Mz(x)=0,5qa∙x+qa(x-a)-qa(x-1,5a)-2qa(x-2a). В пределах последнего участка балки (2a При x=2a, Mz(2a)=1,5qa2, при x=3a, Mz(3a)=0. Эпюры Q и Mz показаны на рис. 17. Для заданной расчетной схемы двухопорной балки (см. рис.) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и подобрать стальную балку двутаврового поперечного сечения, если P= 20 кн =2 т, М =20 кНм =2 тм, q=1,5 кН/м =1,5 т/м, ![]() ![]() ![]() ![]() Решение. 1. Вычерчиваем балку в масштабе, наносим все нагрузки и размеры и определяем опорные реакции RA и RC , используя уравнение статического равновесия: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка: ![]() ![]() 5 - 1,5·4 - 2 + 3 = 0 Наносим вычисленные значения реакций RA и RC на расчетную схему . 2. Запишем для каждого участка I, II, III балки уравнения для Qy и Mx и, выбрав масштаб, построим их эпюры. Для этого применим метод сечений. На каждом участке проводим произвольные сечения и выбираем начало координат: для участка I – в точке А, для участка II – в точкеВ, для участка III – в точке D. Произвольные сечения каждого участка связываем с выбранным началом отсчета координат Z1, Z2 и Z3. Тогда для каждого участка получим: Участок I ( ![]() ![]() ![]() При составлении уравнения для Mx считаем, что равнодействующая (qZ1) от равномерно распределенной нагрузки q приложена посередине рассматриваемого участка длиной Z1, и тогда плечо ее равно Z1/2. При Z1 = 0; Qy = 5 т, Mx = 0. При Z1 = 1 м; Qy = 5 – 1,5·1= 3,5 т, Mx= 5·1 – 5·12/2 = 4,25 тм. Участок II ( ![]() ![]() ![]() При составлении уравнений для Qy и Mx для участка II видим, что q, приложенная на участке a1, не зависит от Z2 (отсчет начинается от точкиВ). При Z2 = 0; Qy = 5 – 1,5·1 – 2 = 1,5 т, Mx = 5·1 – 1,5·1/2 = 4,25 тм. При Z2 = 3 м; Qy = 5 – 1·2 – 1,5·3 = –3 тм. Mx = 5·(1+ 3) – 1,5·1(1/2+ 3) – 2·3 – 1,532/2 = 2 тм. Построив эпюру Qy для этого участка, видим, что она меняет знак с (+) на (). Исследуем на экстремум: ![]() ![]() ![]() При ![]() Откладываем от точки В ![]() Участок III ( ![]() Qy = 0; Mx = М = 2 тм. Выбираем масштаб, строим эпюры (см. рис.) и проверяем их правильность. 2. Определяем опасное сечение балки – сечение, в котором изгибающий момент принимает максимальное значение по абсолютной величине, если, как в нашем случае, материл балки пластичный. Опасное сечение K, где ![]() Для подбора сечения балки из условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе: ![]() получим формулу проектировочного расчета: ![]() По сортаменту двутавровых балок (ГОСТ 8239-89) подбираем ближайший больший профиль – двутавр № 24а с осевым моментом сопротивления ![]() Максимальные рабочие напряжения будут равны, согласно формулы (1), ![]() Недонапряжение составит: ![]() Допустимые пределы отклонения ![]() ![]()
![]() Рис. 17. Расчетная схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов По эпюре Mz находим опасное сечение балки - сечение , в котором изгибающий момент максимален по абсолютной величине. Для заданной балки изгибающий момент в опасном сечении ![]() ![]() Из условия прочности определим требуемый момент сопротивления сечения ![]() Номер двутавра находим по расчетному значению момента сопротивления Wz, используя таблицы сортамента прокатной стали. Внимание! В таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение) оси zсоответствует ось x , это означает, что Wz=Wx. Наиболее близок к требуемому момент сопротивления двутавра №14, равный Wx= 81,7 см3. Выбрав это сечение , определяем нормальные напряжения в поперечном сечении балки : ![]() Подбираем прямоугольное сечение, момент сопротивления которого определяется с учетом того, что h=2b: ![]() Отсюда ![]() Круглое поперечное сечение имеет момент сопротивления ![]() Диаметр круга ![]() Рассмотрим второй метод построения эпюр внутренних усилий, действующих в сечениях балки . Он состоит в том, что поперечные силы и изгибающие моменты вычисляются на границах участков без записи уравнений Q(z), M(z), а соответствующие эпюры строятся на основании дифференциальных зависимостей междуQ, M, q: ![]() Зависимости (1) позволяют установить следующие характерные особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов: На участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси балки , а эпюра M - наклонными прямыми. На участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра M - квадратными параболами, выпуклость которых направлена навстречу вектору равномерно распределенной нагрузки. На участках, где Q >0, изгибающий момент возрастает; если Q<0 - изгибающий момент убывает. В сечениях , где к балке приложены сосредоточенные силы, на эпюре Q будут скачки на величину приложенных сил, а на эпюре M- переломы, острие которых направлено против действия этих сил. В сечениях , где к балке приложены пары сил (сосредоточенные моменты), на эпюре M будут скачки на величину этих моментов. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка и эпюра Q в пределах участка изменяет знак, то в сечении , где Q =0, на эпюре Mz будет экстремум. |