Задачи. Решение Потеря веса на третьи сутки составила 4000 3800 200 г. Найдём, сколько процентов составляет 200 г от 3500 г, для этого производим математические действия 200 4000 100 5 %
 Скачать 29.58 Kb.
|
|
Физическая убыль массы новорожденного ребёнка в норме до 10 %. Ребёнок родился с весом 4000 г, а на третьи сутки его масса составила 3800 г. Вычислите процент потери веса. Решение: Потеря веса на третьи сутки составила 4000 – 3800 = 200 г. Найдём, сколько процентов составляет 200 г от 3500 г, для этого производим математические действия: 200 / 4000 * 100 = 5 %. Ответ: физиологическая убыль в норме и составила 5 %. [3] Задача № 2 Масса тела среднего человека равна 65 кг. Масса крови в среднем составляет 8 % от массы тела человека; плотность крови r = 1,050 г/см3, содержание гемоглобина (Hb) в ней – 14 г на 100 мл; 1 г гемоглобина связывает примерно 1,34 мг кислорода. Сколько кислорода может перенести кровь за один кругооборот? Решение: 1.Сколько крови содержится в организме среднего человека массой 65 кг? m крови = 65(кг)·0,08 = 5,2кг = 5200г 2.Каков объём крови? V крови = 5200(г):1,05(г/см3) = 4952см3= 4952мл 3.Сколько гемоглобина содержится в 4952мл крови? 100мл – 14г 4571мл – х г х = 4952(мл)·14(г):100(мл) = 693.28 г. 4.Какое количество кислорода может перенести кровь за один кругооборот? m (О2) = 693.28(г)·1,34(мг/г) = 929мг = 0,929 г. Ответ: 0,929г. «Правило десятки»: умножив процентное содержание препарата на десять, получим количество препарата в миллиграммах в одном миллилитре раствора. Например, имеем 1 мл однопроцентного раствора (1 %), в соответствии с «правилом десятки» процент умножаем на 10 и получаем 10 миллиграммов, если 0,1% раствор — 0,1 х 10 получаем 1 миллиграмм. Соответственно и наоборот, зная количество миллиграммов в 1 миллилитре, легко сказать процентное содержание препарата. Так, 50 мг содержится в 1 мл раствора. И если 50 разделить на 10, получаем, что это 5% раствор. Пересчёт очень прост и особенно удобен для расчёта в больших объёмах. [4] Задача 3 Вот одна из задач из КИМа ЕГЭ по биологии: в молекуле ДНК на долю цитидиловых нуклеотидов приходится 18 %. Определите процентное содержание других нуклеотидов в этой ДНК. Решение: 1) т.к. Ц = 18%, то и Г = 18%; 2) на долю А+Т приходится 100 % – (18 % +18 %) = 64 %, т.е. по 32 %. Ответ: Ц=Г=18%, А=Т= 32%. 4) Задача на нахождение процентов от числа Найти 25 % от 24. Способ 1 (дробный). Переведем проценты в дробь: 25% = 25/100 = 1/4 Найдем дробь от числа: 24 · 1/4 = 6 Ответ: 6. Способ 2 (пропорциональный). Составим пропорцию: 24 – 100% х - 25% Найдем неизвестный член пропорции: х = (24 · 25) : 100 = 6 Ответ: 6. 5) Задача на нахождение числа по значению его процентов Найти число, 25 % от которого равны 24. Способ 1 (дробный) Переведем проценты в дробь: 25% = 25/100 = ¼ Найдем число по значению дроби: 24: 1/4 = 96 Ответ: 96 Способ 2 (пропорциональный). Составим пропорцию: х - 100% 24 - 25% Найдем неизвестный член пропорции:х = (24 · 100%) : 25% =96 Ответ: 96. 6) Задача на нахождение процентного отношения .Найти, сколько процентов 12 составляет от 30. Способ 1 (дробный) . Составим отношение : 12/ 30 = 2/5 Умножим отношение на 100%: 2/5 · 100% = 40% Ответ: 40% Способ 2 (пропорциональный) Составим пропорцию: 30 – 100% 12 - х% Найдем неизвестный член пропорции: х = (12 · 100%) : 30 = 40% Ответ: 40% 7) Задача на увеличение на р% Сколько будет стоить энергосберегающая лампочка, если ее цена повысится на 25% (первоначальная цена -180 рублей). Решение: 180 + 0,25 · 180 = 180 + 45 = 225 (руб.) Ответ: 225 рублей будет стоить лампочка, если ее цена повысится на 25% 8) Задача на уменьшение на р% В магазине шуба стоит 20000 рублей. Летом на распродаже она подешевела на 25%. За сколько рублей можно купить шубу на распродаже? Решение: 20000( 1- 0,25)=15000 (руб. ) Ответ: за 15000 рублей. 9). Задачи на проценты в банковском деле В банковском деле различают простые и сложные виды процентов. При использовании простых процентов процент начисляется на первоначальную сумму вклада (кредита) на протяжении всего периода начисления. В случае же со сложными процентами процент в конце каждого интервала начисляется на сумму первоначального вклада (кредита) и начисленных за предшествующие интервалы процентов. Рассмотрим пример применения простых и сложных видов процентов. Банк «А» и банк «Б» предлагают вкладчикам срочный вклад на 3 года под 10 % годовых с выплатой процентов в конце срока. Банк «А» при начислении процентов использует схему простых процентов, а банк «Б» – схему сложных процентов. Какой банк Вы выберите для того, чтобы положить на срочный вклад 20 тысяч рублей? По формуле простых процентов рассчитаем будущую стоимость капитала, помещенного в банк «А»: Sn = S0(1+), S3 = 20000·(1+) = 20000 ·= 26000 рублей. По формуле сложных процентов рассчитаем будущую стоимость капитала, помещенного в банк «Б»: Sn = S0﴾1+﴿n S3 = 20000 · ﴾1+﴿3 = 20000·1,13 = 20000·1,331 = 26620 рублей. Таким образом, выгоднее выбрать банк «Б». Задача № 1. На банковский счет было положено 10 тысяч рублей. После того, как деньги пролежали один год, со счета сняли 1 тысячу рублей. Еще через год на счету стало 11 тысяч рублей. Какой процент годовых начисляет банк? Решение: Пусть банк начисляет р% годовых. 1) Сумма в 10000 рублей, положенная на банковский счет под р% годовых, через год возрастет до величины 10000 + 0,01p ·10000 = 10000 + 100р руб. Когда со счета снимут 1000 руб., там останется 9000 + 100р руб. 2) Еще через год последняя величина за счет начисления процентов возрастет до величины 9000 + 100р + 0,01p(9000 + +100р) = р2 + 190р + 9000 руб. По условию эта величина равна 11000 руб., поэтому имеем квадратное уравнение. р 2 + 190р + 9000 = 11000; р2 + 190р - 2000 = 0 Решим это квадратное уравнение, используя теорему Виета, p1 = 10, p2 = -200. Отрицательный корень не подходит. Ответ: начислялось 10% годовых. Задача № 2. Каким должен быть начальный вклад, чтобы при ставке 4% в месяц увеличился за 8 месяцев до 33000 рублей? Решение: S0 · (1+8 ·) = 33000, S0 = 33 000 · = 25000 рублей Ответ: начальный вклад должен быть 25000 рублей. Задача № 3. Банк обещал своим клиентам годовой рост вклада 30%. Какую сумму денег может получить человек, вложивший в этот банк 450 тысяч рублей? Решение: 1) 450 · 0,3 = 135( тыс. руб.) – «прирост» за год. 2) 450 + 135 = 585( тыс. руб.) Ответ: в конце года на счете будет находиться 585 тысяч рублей. Задачу можно было бы решить и иначе: сначала найти сколько процентов составит сумма на счете в конце года от первоначальной – 100% + 30% = 130%, а затем вычислить 130% от 450 тысяч рублей. Задача № 4. Какую сумму следует положить в банк, выплачивающий 25% годовых, чтобы по истечении года получить 1000 рублей? Решение: 1)100% + 25% = 125% - составляет 1000 руб. от первоначального вклада. 2)100 ·1000:125 = 800 (руб.) – сумма вклада. Ответ: сумма вклада 800 рублей. Задача № 5. Банк выплачивает вкладчикам каждый месяц 2% от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 500 рублей. Какая сумма будет на его счёте через полгода? Решение: Для решения задачи достаточно подставить в формулу величину процентной ставки p = 2, число месяцев n = 6 и первоначального вклада S0 = 500: S = 500 ·(1 + ) = 500 ·1,12= 560 (руб.) Ответ: через полгода на вкладе будет 560 рублей. 10). Задачи на концентрацию, смеси и сплавы. Задача № 1. Сколько килограммов соли в 10 килограммах соленой воды, если процентное содержание соли составляет 15%? Решение: 10 · 0,15 = 1,5 (кг) соли. Ответ: 1,5 кг. Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют процентным раствором, например, 15%-й раствор соли. Задача № 2. Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве? Решение: Процентное содержание вещества в сплаве – это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава. 1) 10 + 15 = 25 (кг) – сплав; 2) 10:25 · 100% = 40% – процентное содержание олова в сплаве; 3) 15:25 · 100% = 60% – процентное содержание цинка в сплаве; Ответ: 40%, 60%. Задача № 3. К 15 л 10%-ого раствора соли добавили 5%-ый раствор соли и получили 8%-ый раствор. Какое количество литров 5%-ого раствора добавили? Решение. Пусть добавили х л 5%-ого раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержится 0,8 . (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ого раствора содержится 15 . 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ого раствора содержится 0,05х (л) соли. Составим уравнение. 1,5 + 0,05х = 0,08 . (15 + х) 1,5+0,05х=1,2+0,08х - 0,03х= - 0,3 х = 10. Ответ: добавили 10 л 5%-ого раствора. Задача № 4. 5 литров сливок с содержанием жира 35% смешали с 4 литрами 20%-ых сливок и к смеси добавили 1 литр чистой воды. Какой жирности получилась смесь? Решение. 0,35·5+0,2·4=р·(5+4+1), откуда р=0,255, что составляет 25,5% Ответ: 25,5% Задача № 5. Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84 % золота. Определить массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка. Решение. Определим процентное содержание золота в обоих слитках. 1) 230+20=250(г) - масса 1 слитка, 2) 230:250=0,92 (92%) - процентное содержание золота в 1 слитке. 3) 240+60=300(г) - масса 2 слитка, 4) 240:300=0,8 (80%)- процентное содержание золота во 2 слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1 слитка, (300-х)- масса куска, взятого от 2 слитка, получим уравнение: 0,92х+0,8(300-х)=0,84·300 0,92х+240-0,8х=252 0,12х=12 х=100 Ответ: 100 г. 11). Задачи на проценты в экологии. Задача № 1. В 1 м2 городского воздуха содержится около 5000 микробов. А в 1 м2 лесного массива - около 500 микробов. Какой процент микробы 1м2 лесного массива составляют от микробов 1м2 городского воздуха? Решение: 500:5000 = 0,1 = 10%. Ответ: 10% Задача № 2. В 2007 году было посажено саженцев 250 га, а в 2008 году и в 2009 году площадь саженцев составила 72% от площади, засаженной в 2007 году. Сколько гектаров саженцев было посажено в 2008 и 2009 году? Решение:
(га) Ответ: по 180 га. Задача № 3. В городе через канализационную очистительную систему (КОС) в 2009 году поступало 2840 тонн загрязняющих веществ. Из них 23% проходят недостаточную очистку, а 7% остаются без очистки. Какое количество загрязняющих веществ возвращается в природные водоемы практически без очистки? Решение: 1) 23% +7% = 30 % 2) (т) Ответ: 852 тонны. Задача № 4. Сколько тонн отходов от автотранспорта было выброшено в 2005 году в атмосферу города, если угарный газ составил 10300 тонн, оксид азота составил 13% от величины угарного газа, оксиды серы составили 3,5% от величины угарного газа? Решение: 1)10300:100·13 =1339 (т) 2)10300:100·3,5 =360,5 (т) 3)10300+1339+360,5= 11999,5 (т) Ответ: 11999,5 тонн. Задача № 5. В 2007 году от пожаров погибло 10 га леса, в 2008 — в два раза больше, в 2009 году — в 7 раз больше, чем в 2008 году. На сколько процентов увеличилась площадь леса, погибшего от пожаров? Решение: 10 · 2 = 20(га) – погибло в 2008 году 20 · 7 = 140(га) – погибло в 2009 году % 1400% – 100% = 1300 % Ответ: на 1300%. 12). Задачи, связанные с процентными вычислениями в литературных произведениях. Задача № 1. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» Петя, сын Порфирия Владимировича, проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия. Решение: Расчет делаем по формуле сложных процентов S=S0· (1+r/100)n S0 =3000 рублей, r = 5% в месяц, n = 12 месяцев. S=3000·(1+5/100)12 = 3000·(21/20)12 = 3000·(1,05)12 = 5387,57 ≈ ≈5400 (руб.) Ответ: ≈ 5400 рублей. Задача № 2. В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлевы» читаем: «Порфирий Владимирович… сидит у себя в кабинете. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой Петром Иванычем, на зубок, сто рублей ассигнациями не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей ассигнациями». Под какой процент годовых надо было маменьке положить сторублевый вклад, чтобы через, например, 50 лет он увеличился в восемь раз? Решение: На вклады с длительными сроками хранения банки начисляют сложные проценты. Процент годовых найдем из уравнения 100·(1+0,01p)50 = 800 (1+0,01p)50 = 8 1+0,01p = 1,0425 0,01р = 0,0425 p = 4,25%. Прямо скажем, не так уж и много, даже по нынешним меркам! Ответ: 4,25% Задача № 3. В романе Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома» даётся следующий материал для математического расчёта: «Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикреплённый к трактору. Механики нажали рычаг – и мотор заработал. Машина сама двинулась вперёд, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром. – Чтобы окончательно усовершенствовать машину, – Грэхем, – вам остаётся превратить окружность, которую она описывает, в квадрат. – Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли. Грэхем произвёл некоторые вычисления, затем заметил: – Теряем примерно три акра из каждых десяти. – Не меньше». Решение: Расчёт неверен: теряется меньше, чем 0,3 всей земли. Пусть, а – сторона квадрата. Площадь такого квадрата S□ = а2. Диаметр вписанного круга равен также а, его площадь S0= Пропадающая часть квадратного участка составляет: Видно, что необработанная часть квадратного поля составляет не 30%, как полагали герои американского романиста, а только 22%. Ответ: необработанная часть квадратного поля составит 22%. Задача № 4. В рассказе А.П.Чехова «Каникулярные работы институтки Наденьки N» студентка Наденька решает такую задачу: «Три купца взнесли для одного торгового предприятия капитал, на который, через год, было получено 8000 рублей прибыли. Спрашивается: сколько получил каждый из них, если первый взнес 35000 рублей, второй 50000 рублей, а третий 70000 рублей?» Решение Наденьки: «Чтобы решить эту задачу, нужно сперва узнать, кто из них больше всех взнес, а для этого нужно все три числа повычитать одно из другого, и получим, следовательно, что третий купец взнес больше всех, потому что он взнес не 35000 и не 50000, а 70000. Хорошо. Теперь узнаем, сколько из них каждый получил, а для этого разделим 8000 на три части так, чтоб самая большая часть пришлась третьему. Делим: 3 в восьми содержится 2 раза. 3·2=6. Хорошо. Вычтем 6 из восьми и получим 2. Сносим нолик. Вычтем 18 из 20 и получим еще раз 2. Сносим нолик и так далее до самого конца. Выйдет то, что мы получим 2666, которая и есть то, что требуется доказать, то есть каждый купец получил 2666руб., а третий, должно быть, немножко больше». А на самом деле решение следующее: 1) 35000 + 50000 + 70000 = 155000 руб. – 100% 2) 155000 : 100 = 1550 руб. – 1% 3) 8000 : 1550 ≈ 5,16 % 4) 35000 : 100 · 5,16 ≈ 1806,45 (руб.) – получит прибыли 1 купец 5) 50000 : 100 · 5,16≈ 2580,65 (руб.) – получит прибыли 2 купец 6) 70000 :100 · 5,16≈ 3612,90 (руб.) – получит прибыли 3 купец. Ответ: 1806,45 рублей, 2580,65 рублей и 3612,90 рублей. Задача № 5. В повести Оноре де Бальзака «Гобсек» дается такое содержание: «Господин Дервиль взял у ростовщика Гобсека сумму в 150000 франков сроком на 10 лет под 15% годовых». Найдите разницу при расчете по формулам простых и сложных процентов? Решение: Если бы расчеты велись по формуле сложных процентов, то: S10 = 150000· (1 + 0,01·15)10 ≈ 606834 франка. Если бы расчёты велись по формуле простых процентов: S10 = 150000·(1 + 0,01·15·10) = 375000 франков. Разница - 231834 франка. Ответ: разница составит 231834 франка. |