Раздел 5 Интегрирование Практ занятие 2022. Решение Пример 2 Вычислите интеграл, используя таблицу интегралов Решение
 Скачать 308.43 Kb.
|
|
РАЗДЕЛ 5. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ 3 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Разбор типовых задач Пример 1 Вычислите интеграл, используя таблицу интегралов:  .Решение.   .Пример 2 Вычислите интеграл, используя таблицу интегралов:  Решение.  Методы подстановки и подведения под знак дифференциала При применении метода подстановки (или замены переменной)  следует помнить, что нужно заменить и дифференциал согласно правилу:  (*)Замену переменной часто можно реализовать в виде техники подведения под знак дифференциала. При этом удобно использовать частные случаи формулы (*) и следствия из нее:       Пример 3 Вычислите интеграл:  Решение. а) Используем замену переменной  б) Используем технику подведения под знак дифференциала:  Пример 4 Вычислите интеграл,  Решение. Используем технику подведения под знак дифференциала:   .Пример 5 Вычислить интеграл:  .Решение. Используем технику подведения под знак дифференциала:   .Пример 6 Вычислите интеграл, используя технику подведения под знак дифференциала  : .Решение.   Пример 7 Вычислите интеграл:  .Решение. а) Используем замену переменной  б) Используем технику подведения под знак дифференциала:  Пример 8 Вычислите интеграл, используя технику подведения под знак дифференциала:  .Решение. Используем технику подведения под знак дифференциала:  Пример 9 Вычислите интеграл:  .Решение. а) Используем замену переменной  б) Используем технику подведения под знак дифференциала: Пример 10 Вычислите интеграл, используя технику подведения под знак дифференциала:  .Решение. Используем технику подведения под знак дифференциала:  Пример 11 Вычислите интеграл, используя технику подведения под знак дифференциала:  .Решение. Используем технику подведения под знак дифференциала:  Пример 12 Найти неопределенный интеграл  .Решение. Используя линейные свойства интеграла, исходный интеграл заменяем линейной комбинацией интегралов:   .В последнем интеграле требуется предварительно выделить в знаменателе полный квадрат:   .Используем таблицу интегралов и формулу  :   Заметим, что нет необходимости после каждого интегрирования прибавлять произвольные постоянные, достаточно в конце прибавить одно итоговое слагаемое  .Используя формулу для дифференциала (*), получим формулу интегрирования:  (**)Пример 13 Вычислите интеграл:  .Решение. Заданный интеграл имеет вид (**), тогда В некоторых интегралах замену переменных трудно свести к подведению под знак дифференциала. Пример 14 Вычислите интеграл, сделав замену переменной:  .Решение.  Интегрирование по частям  или  Применяя метод интегрирования по частям, следует придерживаться правилу: в качестве функции uнужно выбирать функцию, которая упрощается при дифференцировании. Тогда в интегралах вида:  ,  ,  (n –целое)  .В интегралах вида:  -   -  Пример 15 Вычислите интеграл, сделав замену переменной:  .Решение.  Пример 16 Вычислите интеграл, сделав замену переменной:  .Решение.  Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. Пример 17 Вычислите интеграл, сделав замену переменной:  .Решение.     .Интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов Рассмотрим метод неопределенных коэффициентов для дробей со знаменателем, который можно разложить на простые линейные множители. Пример 18 Вычислите интеграл:  Решение. Разложим знаменатель на простые множители:  .Тогда подынтегральная дробь может быть представлена в виде суммы дробей:  .Неизвестные коэффициенты A и B находим из условия, что разложение является тождеством. Умножим дробь на общий знаменатель:  ,1 способ. Общий метод. Раскроем скобки:  Поскольку это тождество, то должны быть равны коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях тождества:  откуда  ,  . 2 способ. Метод частных значений. Поскольку это тождество, то возьмем два частных значения. Удобно взять корни знаменателя.  откуда , . Тогда  и  Интегрирование правильных рациональных дробей, знаменатель которых нельзя разложить на множители. Рассмотрим метод интегрирования правильных рациональных дробей, знаменателя которых нельзя разложить на множители. В этом случае в знаменателе выделяется полный квадрат и интеграл разлагается на сумму двух интегралов. Пример 19 Вычислите интеграл:  Решение. Выделим в знаменателе полный квадрат:  .Сведем данный интеграл к сумме двух интегралов вида:  и  Для этого выделим в числителе выражение, полный квадрат которого выделен в знаменателе, и разложим интеграл на сумму двух интегралов:  .Рассмотрим каждый интеграл отдельно. В первом сделаем замену переменных:  Второй интеграл сведем к табличному:  ,В итоге:  Пример 20 Вычислите определенный интеграл:  Решение. Применим метод интегрирования по частям  Пример 21 Вычислите определенный интеграл:  .Решение. Применим метод замены переменной. При этом при вычислении определенного интеграла, в отличие от неопределенного, можно не возвращаться к исходным переменным, а заменить пределы интегрирования.  Пример 22 Вычислите площадь, ограниченную линиями:  ,  .Решение. Фигура, площадь которой нужно определить изображена на рисунке.  Тогда  Пример 23 Вычислите площадь, ограниченную линиями: ,  ,  ,  .Решение. Фигура, площадь которой нужно определить изображена на рисунке.  Тогда  Задачи для самостоятельного решения Варианты задачи 1. Вычислите интегралы: а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б)  в)  г)  д)  е)  ж)  а)  б) в)  г)  д)  е)  ж)  Варианты задачи 2. Вычислите определенные интегралы
Варианты задачи 3. Вычислите площадь фигуры. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой  .Вычислите площадь, ограниченную линиями:  Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  .Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  .Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  .Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  .Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями   Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  .Варианты заданий в зависимости от номера в списке группы: В верхней строчке таблицы номер студента в списке группы, В ячейки на пересечении столбца с номером студента в списке группы со строчкой с номером задачи стоит номер варианта этой задачи.  Требования к оформлению задания Предоставляется развернутое описание решения задач. Выполненное задание фотографируете, размещайте фотографии в ворд-файле с титульным листом. Указывайте номер задачи и номер варианта. |
