Высшая математика. Кр_высшка_1к_сокр. Решение Сначала преобразуем функцию и найдем производную Задание Вычислить производную функции Решение

• Название: Решение Сначала преобразуем функцию и найдем производную Задание Вычислить производную функции Решение
• Анкор: Высшая математика
• Дата: 19.11.2021
• Размер: 397.47 Kb.
• Имя файла: Кр_высшка_1к_сокр.docx
• Тип: Решение; #276606

Задание 1. Вычислить производную функции:

Решение:

Сначала преобразуем функцию и найдем производную:



Задание 2. Вычислить производную функции:

Решение:

Производная находится по формуле произведения 2х функций:



Задание 3. Вычислить производную функции:

Решение: Находится как производная сложной функции:



Задание 4. Вычислить производную функции:

Решение:

Производная находится по формуле произведения 2х функций: и производная сложной функции:





Задание 5. К графику функции в точке проведена касательная. Найти площадь треугольника, который отсекает эта касательная от координатного угла.



Решение:

Напишем уравнение касательной графику функции в точке .

Найдем производную данной функции: Вычислим значения производной и самой функции в точке и получим:



Подставим эти величины в уравнение касательной Получим:



Касательная пересекает ось OY в точке C(0; 3).

Найдем точку пересечения касательной с осью OX:

B(1,5; 0).

Введем обозначения

A

C

B

Площадь треугольника вычисляется следующим образом:



Задание 6. Вычислить



Решение:









Задание 7. Найти предел, используя правило Лопиталя:

Решение:





Задание 8. Найти длину интервала убывания функции

Решение:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения: .

Найдем первую производную и решим уравнение :





Получили критическую точку

Определим знаки на числовой прямой:



Функция возрастает на и убывает на

Длина интервала убывания находим как разность ее правой и левой границы:



Задание 9. Найти сумму значений функции в точках ее локального минимума и максимума:

Решение:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения: .

Для нахождения критических точек, вычислим первую производную и решим уравнение :





Получили критическую точки

Определим знаки на числовой прямой:


x


Функция убывает на и возрастает на

При этом – точка локального максимума, – точка локального минимума.



Таким образом, сумма значений функции в точках ее локального минимума и максимума равна:

Задание 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:

Решение: Находим критические точки:



В интервал попадает корень .

Находим значение функции в точке и на границах интервала:



Значит, наибольшее значение функции , наименьшее значение ‑

Задание 11. Издержки производства некоторого товара равны C, спрос на товар определяется функцией P_спр. Найти максимальное значение прибыли.



Решение: Суммарная прибыль равна разности суммарной выручки и издержек.



Предельная прибыль принимает вид:



Приравнивая производную прибыли к нулю, получаем уравнение:



В ограничение попадает корень .

Найдем максимальную прибыль на интервале



Максимальная прибыль достигается при

Задание 12.Вычислить интеграл:

Решение:



Задание 13. Вычислить интеграл:

Решение:



Задание 14. Найти неопределенный интеграл:

Решение:



Задание 15. Вычислить интеграл:

Решение: Вычислим интеграл при помощи формулы интегрирования по частям:





Задание 16. Найти неопределенный интеграл:

Решение: Преобразуем подинтегральную функцию используя формулу:





Задание 17. Найти неопределенный интеграл:

Решение: Вычислим с помощью замены:



Задание 18. Найти неопределенный интеграл:

Решение:

Вычислим с помощью замены:



Задание 19. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:



Решение:

Находим точки пересечения линий. Для этого приравняем правые части уравнений:



т.е. точки пересечения

Строим заданные линии на плоскости XOY:

1) точки пересечения параболы с осью OX:

значит точек пересечения нет.

График функции пересекает ось OY в точке

2) построим график функций и получим область, ограниченную линиями, площадь которой необходимо вычислить;

3) составляем определенный интеграл:

где линия ‑ линия, ограничивающая область сверху; ‑ линия, ограничивающая область снизу; ‑ наименьшее значение переменной в области; ‑ наибольшее значение переменной x в области.


y




x



Задание 20. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:



Решение:

Находим точки пересечения линий. Для этого приравняем правые части уравнений:



т.е. точки пересечения

Строим заданные линии на плоскости XOY:

1) точки пересечения параболы с осью OX:

значит точек пересечения нет.

Точки пересечения параболы с осью OX:

значит точки

2) построим 2 параболы и получим область, ограниченную линиями, площадь которой необходимо вычислить;

3) составляем определенный интеграл:

где линия ‑ линия, ограничивающая область сверху; ‑ линия, ограничивающая область снизу; ‑ наименьшее значение переменной в области; ‑ наибольшее значение переменной x в области.

x

y