теория вероятности. Теория. Решение задач типового варианта расчетной работы Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять

• Название: Решение задач типового варианта расчетной работы Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять
• Анкор: теория вероятности
• Дата: 16.01.2022
• Размер: 1.49 Mb.
• Имя файла: Теория.doc
• Тип: Решение; #332464
• страница: 2 из 7

РАЗДЕЛ 2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
РАСЧЕТНАЯ РАБОТА 2

ПОДБОР ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ОПЫТНЫМ ДАННЫМ И ПРОВЕРКА ЕГО СОГЛАСИЯ ПО КРИТЕРИЮ
2.1 Задание для расчётной работы.

I. Из приложений 1 или 2 взять выборку объёма n. Выборку произвести методом, указанным преподавателем.

2. Построить гистограмму.

3. По виду гистограммы подобрать закон распределения случайной величины: нормальный, показательный, равномерный.


x


Рис. 1 (нормальный закон)



Рис. 2(показательный закон)

;



Рис.3( равномерный закон)
4. Проверить согласие закона распределения с опытными данными по критерию при уровне значимости _.

5. Теоретическую кривую нанести на гистограмму опытных данных.

2.2 Проверка статистических гипотез

Важнейшим отделом математической статистики является проверка статистических гипотез.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного закона распределения, или о параметрах известных распределений случайной величины. Например, статистическими будут гипотезы: а) долговечность рассматриваемых деталей подчиняется нормальному закону распределения; б) дисперсии температур, полученные при одинаковых условиях в двух различных термостатах, равны между собой.

Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной). Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной и поэтому возникает необходимость её статистической проверки. Для проверки статистической гипотезы используют специально подобранную случайную величину (критерий согласия), распределённую по некоторому закону. Из опытных данных находят наблюдаемое значение . Из специальных таблиц находят критическое значение . Если , то выдвинутая гипотеза (например, гипотеза о нормальном законе распределения) принимается, если , выдвинутая гипотеза отвергается.

Следует заметить, что условие совсем не означает, что выдвинутая гипотеза доказана и является единственно верной; это означает лишь то, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Критерии проверки гипотезы о предполагаемом законе распределения называются критериями согласия. Имеется несколько критериев согласия: Пирсона, Колмогорова, Смирнова и др. Наиболее часто используется критерий Пирсона.


Критерий согласия Пирсона ( хи квадрат )

Критерий согласия имеет наибольшее применение при проверке согласования теоретического и эмпирического законов распределения случайной величины. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по формуле: , (1)

где

– число интервалов, на которые разбиты исходные опытные данные;

- число опытных данных, попавших в интервал;

- теоретическое число, попавшее в интервал, находится по формуле:

, (2)

( – объём выборки).

В случае нормального закона

, (3)

где (4)

В случае показательного закона

. (5)

В случае для равномерного закона распределения

. (6)
При практическом использовании критерия согласия необходимо учесть следующие замечания:

1. Число опытных данных при использовании критерия должно быть достаточно большим: (критерий справедлив при ).

2. Рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений . Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы в один, суммируя частоты. В соответствии с этим число исходных интервалов должно быть уменьшено.

3. Уровень значимости - вероятность ошибки 1-го рода, т.е. вероятность ошибки отвергнуть выдвинутую гипотезу, когда в действительности она верна. Чаще всего берут =0,05, но встречаются и другие уровни значимости.

4. - распределение зависит от числа степеней свободы, это число находится по формуле

, (7)

где

– число интервалов, на которые разбиты статистические данные;

- число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке.

Если предполагаемое распределение нормальное, то по выборке оценивают два параметра , поэтому число степеней свободы . Таким же будет число степеней свободы в случае равномерного закона распределения (оцениваемые параметры а и b). В случае показательного закона распределения по выборке оценивают один параметр, следовательно, в этом случае .

5. По заданному уровню значимости и числу степеней свободы из таблицы распределения (приложение 5) находят значение .

6. Если < , то гипотеза о виде закона не отвергается.
2.3 Методические указания к выполнению расчетной работы

2.3.1 Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

1. По данной выборке построить эмпирическое распределение в виде последовательности равноотстоящих вариант и соответствующих им частот, для чего:

а) упорядочить выборку по возрастанию, найти ;

б) весь интервал, в который попали опытные данные, разбить на r частичных интервалов одинаковой длины. Для определения длин частичных интервалов рекомендуется формула

. (8)

За длину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному значению Границы интервалов выбираются так, чтобы результаты измерений не совпали с границами интервалов. Начало первого интервала сдвинуть влево от значения (например, взять - 0,5);

в) для каждого частичного интервала найти - сумму частот вариант и считать, что сосредоточено в серединеi-го интервала, т.е. взять .

2. Построить гистограмму частот.

3. Найти выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение S по формулам:

(9)

4. Найти теоретические частоты , попавшие в i - ый интервал, по формуле (3);.

5. Вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (1);

6. По таблице - распределения при уровне значимости =0,05 и числе степеней свободы kнайти критическое значение (приложение 5).

7. Сравнить два значения и . Если , то нулевая гипотеза не отвергается, т.е. в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического закона считаются незначительными. Если > , то нулевая гипотеза отвергается.

Пример 1 Контролировался диаметр у 150 цапф передней оси, изготовленных на токарном станке. В результате были получены следующие значения положительных отклонений в микронах (мк) от номинального размера 20 мк

48	39	43	36	39	34	32	48	46	37
25	31	34	36	35	37	45	49	49	44
43	46	34	48	43	36	41	34	42	35
38	40	46	34	39	41	38	39	36	42
30	43	41	39	37	33	35	42	45	43
37	42	38	40	34	39	32	40	39	37
43	30	44	45	37	34	49	41	51	32
37	30	50	32	32	35	45	42	41	48
43	45	44	46	42	39	41	38	31	32
40	52	45	47	35	45	33	38	36	40
44	52	44	34	44	44	43	43	40	30
32	42	49	39	42	43	48	41	43	42
40	48	35	42	44	44	34	33	48	51
44	50	47	34	33	33	40	46	50	43
44	50	40	40	35	35	41	42	42	47

Проверить согласие нормального закона распределения с опытными данными по критерию Пирсона при уровне значимости .

Решение

1.Случайную величину (отклонения от номинального размера) обозначим

Из выборки приведённого примера находим: .

Вычисляем: .

Возьмём длину частичного интервала 3мк. Левый конец первого интервала возьмём 24,5мк. Из данной выборки найдём число опытных данных, попавших в каждый частичный интервал.

Полученные данные сведём в таблицу 1.
Таблица 1

i			№
1	24,5 - 27,5	1	6	39,5 - 42,5	30
2	27,5 - 30,5	4	7	42,5 - 45,5	29
3	30,5 - 33,5	13	8	45,5 - 48,5	16
4	33,5 - 36,5	23	9	48,5 - 51,5	10
5	36,5 - 39,5	22	10	51,5 - 54,5	2

2. Для каждого частичного интервала найдем : Вычислим значения и S по формулам (9); расчеты поместим в таблицу 2.

Таблица 2

i
1	24,5-27,5	26	1	676	26	676
2	27,5-30,5	29	4	841	116	3364
3	30,5-33,5	32	13	1024	416	13312
4	33,5-36,5	35	23	1225	805	28175
5	36,5-39,5	38	22	1444	836	31768
6	39,5-42,5	41	30	1681	1230	50430
7	42,5-45,5	44	29	1936	1276	56144
8	45,5-48,5	47	16	2209	752	35344
9	48,5-51,5	50	10	2500	500	25000
10	51,5-54,5	53	2	2809	106	5618
∑			150		6063	249831

Находим : .

3. Построим гистограмму частот (рис.4)



Рис.4

По виду гистограммы (рис.4) можно предположить, что исследуемый признак подчиняются нормальному закону распределения.

4. Найдем теоретические частоты по формуле (3) при n=150, =40,4, S=5,8:

.

В первом интервале левый конец изменим на , а в последнем интервале - правый конец на . Таким образом, первый интервал будет , а последний . Значения функции находятся из таблицы (приложение 7). При этом нужно учесть, что , и для >5 значение =0,5.

Приведем пример расчета значения :



и так далее.

Расчёты для нахождения критерия приведёны в таблице 3.

Таблица 3

i
1 2	27,5 27,5 30,5								0,39
3	30,5 33,5		13		11				0,36
4	33,5 36,5		23		20,2				0,39
5	36,5 39,5	22			27,8				2,8
6	39,5 42,5	30			30,6				1,21
7	42,5 45,5	29			24,4				2,45
8	45,5 48,5	16			15,4				1,49
9 10	48,5 51,5 51,5									0,00
∑		150			150				=3,26

5. Число интервалов с учетом объединения частот равно 8. Проверку гипотезы о нормальном распределении проводим при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы, равном Из таблицы ( приложение 5) находим

В нашем примере , т.е. .

Следовательно, опытные данные согласуются с нормальным законом распределения. На гистограмму наложим теоретическую кривую, полученную в соответствии с нормальным законом распределения.

6. Для построения нормальной кривой по опытным данным находим ординаты (выравнивающие частоты ) по формуле



Значения функции находим в таблице приложения 6.

Вычислим выравнивающие частоты для нашего примера. Имеем


Результаты вычислений поместим в таблицу 4.

Таблица 4

i
1	26	1	-2,48	0,02	1,6
2	29	4	-1,96	0,05	3,9
3	32	13	-1,45	0,14	10,8
4	35	23	-0,94	0,26	20,2
5	38	22	-0,41	0,37	28,7
6	41	30	0,10	0,39	30,3
7	44	29	0,62	0,33	25,6
8	47	16	1,14	0,21	16,3
9	50	10	1,66	0,09	7,0
10	53	2	2,17	0,04	3,1

В прямоугольной системе координат строим точки и соединяем их плавной кривой (рис.5). Близость выравнивающих частот к наблюдаемым подтверждает правильность допущения о том, что исследуемый признак распределен нормально.




Рис.5