теория вероятности. Теория. Решение задач типового варианта расчетной работы Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять

• Название: Решение задач типового варианта расчетной работы Задача Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять
• Анкор: теория вероятности
• Дата: 16.01.2022
• Размер: 1.49 Mb.
• Имя файла: Теория.doc
• Тип: Решение; #332464
• страница: 1 из 7

1.3.Решение задач типового варианта расчетной работы

Задача 1.1.

Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появится число очков, сумма которых делится на пять.

Решение.

Определим испытание и его результат, т. е. элементарное событие. Испытанием является бросание трех игральных костей; результатом - одно из сочетаний очков 1,2,3,4,5,6 на верхних гранях трех костей.

Исследуемое событие А - сумма очков на трех костях делится на пять. Вероятность события А вычислим с помощью формулы:

Общее количество элементарных событий n найдем по правилу умножения. На каждой игральной кости - 6 граней и все они могут сочетаться со всеми гранями других костей, получаем

Количество элементарных событий m, благоприятствующих событию A, найдем, выписав всевозможные результаты испытаний и оставив из них только те, для которых сумма очков на всех трех костях делится на пять. Можно облегчить работу, выписав всевозможные исходы бросания первых двух костей, сочетая с ними подходящие значения количества очков, выпавших на третьей кости.

Имеем следующие все возможные результаты испытаний, благоприятствующие событию A:

113 212 311 366 465 564 663

122 221 316 415 514 613

131 226 325 424 523 622

136 235 334 433 532 631

145 244 343 442 541 636

154 253 352 451 546 645

163 262 361 456 555 654
В результате получаем m= 43, значит, P(A) = 43/216.

Ответ: P(A) = 43/216.

Задача 1.2.

Слово МАТЕМАТИКА составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность случая, когда буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Решение.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова МАТЕМАТИКА. Элементарные события являются перестановками из 10 букв, имеем n= 10!

Некоторые буквы в слове МАТЕМАТИКА повторяются (М - 2 раза, А - 3 раза, Т – 2 раза), поэтому возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно

_{Находим .}
Ответ: Р(А)= 1/151200.

Задача 1.4.

В урне 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется:




а) 2 белых шара;

б) меньше чем 2 белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение.

Испытанием будет случайное вынимание четырех шаров. Элементарными событиями являются всевозможные сочетания по 4 из 11 шаров. Их число равно:

а) Событие A₁ - среди вынутых шаров 2 белых. Значит, среди вынутых - 2 белых и 2 черных шара. Используя правило умножения, получаем



б) Событие A₂ — среди вынутых шаров меньше чем 2 белых. Это событие состоит из двух несовместных событий:

B₁ - среди вынутых шаров 1 белый и 3 черных шара,

B₂ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 4 шара черные:



Так как события B₁ и B₂ несовместны, то вероятность события A₂ находим по формуле

Находим:



в) Событие A₃ - среди вынутых шаров хотя бы один белый. Этому событию удовлетворяют следующие сочетания шаров: 1 белый и 3 черных (B₁), 2 белых и 2 черных (B₂), 3 белых и 1 черный (B₃), 4 белых (B₄). Имеем



Здесь событие A₃ определяется словами «хотя бы один» и прямое решение приводит обычно к сложным вычислениям. Проще сначала найти вероятность противоположного события и затем по формуле вычислить вероятность искомого события.

Событие - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае



Ответ: P(A₁) = 5/11, P(A₂) = 13/66, P(A₃) = 65/66.

Задача 1.5.

Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями 0,851; 0,751 и 0,701. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) только один элемент; б) хотя бы один элемент.

Решение.

а) Обозначим события:

- за время T выходит из строя только один элемент;

- первый элемент выходит из строя;

- второй элемент выходит из строя;

- третий элемент выходит из строя;

- первый элемент не выходит из строя;

второй элемент не выходит из строя;

- третий элемент не выходит из строя.

Учитывая независимость элементов устройств, несовместность событий , получаем следующую формулу:



По условию

Тогда

Таким образом,



б) обозначим событие A₂ - за время T выходит из строя хотя бы один элемент.

Вероятность выхода из строя хотя бы одного элемента находим через вероятность противоположного события:

- за время T все элементы работают безотказно,







Ответ: P(A₁) = 0,418, P(A₂) = 0,552.

Задача 1.6.

В первой урне 6 белых и 4 черных шара, а во второй урне 5 белых и 7 черных шаров. Из первой урны взяли случайно 3 шара, а из второй -2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

Решение.
Ш
2урна
ары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями являются извлечение трех шаров из первой урны и двух шаров из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания по 3 или 2 из 10 или 12 шаров соответственно.

а) Событие A₁ - все вынутые шары одного цвета, т е. они или все белые, или все черные.

Определим для каждой урны все возможные события:

B₁ - из первой урны вынуты 3 белых шара;

B₂ - из первой урны вынуты 2 белых и I черный шар;

B₃ - изпервой урны вынуты 1 белый к 2 черных шара;

B₄ - из первой урны вынуты 3 черных шара,

C₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

C₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

C₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем



Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем

Найдем количество каждого из элементарных событий, определяющих следующие события:









Следовательно,

6) Событие A₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае







в) СобытиеA₃ - среди извлеченных шаров есть хотя бы один белый, событие

- среди извлеченных шаров нет ни одного белого шара. Тогда







Ответ: P(A₁) = 71/1980, P(A₂) = 4/11, P(A₃) = 653/660.
Задача 1.7.

В урне 4 черных и белых шара. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, считая, что все предположения о первоначальном содержании урны равновозможные.

Решение.



Здесь имеют место два вида испытаний: сначала задается первоначальное содержимое урны и затем случайным образом вынимается 3 шара, причем результат второго испытания зависит от результата первого.

Поэтому используем формулу полной вероятности

Событие A - случайно вынимают 3 белых шара. Вероятность этого события зависит от того, каким был первоначальный состав шаров в урне.

Рассмотрим события (гипотезы):

B₁ - в урне было 4 белых шара;

B₂ - в урне было 3 белых и 1 черный шар;

B₃ - в урне было 2 белых и 2 черных шара;

B₄ - в урне был 1 белый и 3 черных шара;

B₅ - в урне было 4 черных шара.

Формулу полной вероятности используем в следующем виде:



События B₁, B₂ , B₃ , B₄ , B₅ образуют полную систему событий, значит, их сумма равна достоверному событию и



По условию все эти вероятности равны. Следовательно,



Общее число элементарных исходов


Находим вероятности гипотез и условные вероятности.
При B₁ :


При В₂:




При В₃ :





При В₄:




При В₅:

По формуле полной вероятности находим:


Ответ: Р(А) = 7/20.
Задача 1.8.

В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой - 4 белых 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые.

Решение.



В этой задаче испытания происходят в два этапа: вначале случайным образом вынимают шары из первой урны и опускают во вторую, а затем случайно вынимают шары из второй урны.

Событие А — шары, взятые из второй урны;

Рассмотрим события (гипотезы):

B₁ - из первой урны вынимают 3 белых шара;

B₂ - из первой урны вынимают 2 белых и 1 черный шар;

B₃ - из первой урны вынимают 1 белый и 2 черных шара;

B₄ - из первой урны вынимают 3 черных шара.

Вероятность события А находим по формуле



Количество элементарных событий на первом этапе равно



а на втором этапе


Находим вероятности гипотез и условные вероятности.

При
При :
При :
При :

Ответ: Р{А) =

Задача 1.9.

В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 винтовки с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0,81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, - с вероятностью 0,46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.

Решение.

В этой задаче первым испытанием является случайный выбор винтовки, вторым - стрельба по мишени. Рассмотрим следующие события:

А - стрелок поразит мишень;

B₁ - стрелок возьмет винтовку с оптическим прицелом;

B₂ - стрелок возьмет винтовку без оптического прицела.

Используем формулу полной вероятности.



Учитывая, что винтовки выбираются по одной, находим



Условные вероятности заданы:

Следовательно,

Ответ: Р(А)= 0,515.
Задача 1.10.

В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов соответственно в количестве 19, 6 и 11 штук, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока соответственно с вероятностями 0,85; 0,76 и 0,71. Рабочий берет случайно один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятность того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен третьим заводом - изготовителем.

Решение.

Первым испытанием является выбор электродвигателя, вторым - работа электродвигателя во время гарантийного срока. Рассмотрим следующие события:

А - электродвигатель работает безотказно до конца гарантийного срока;

B₁ - монтер возьмет двигатель из продукции 1-го завода;

B₂ - монтер возьмет двигатель из продукции 2-го завода;

B₃ - монтер возьмет двигатель из продукции 3-го завода.

Вероятность события А вычисляем по формуле полной вероятности:



Условные вероятности заданы:



Найдем вероятности гипотез по формуле

Вероятность события А равна:



По формуле Бейеса

вычисляем вероятность того, что работающий безотказно двигатель поставлен третьим заводом-изготовителем



Ответ: Р(B₃ | A) = 0,274.
Задача 2.1.

В каждом из 11 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,3. Вычислить все вероятности p_k , k = 0, 1, 2, ..., 11, где k- частота события А. Построить график вероятностей p_k.. Вычислить наивероятнейшую частоту .

Решение.

Задано: n = 11, p = 0,3, q = 1 – p = 0,7.

Найти: p₀ ,p₁ , p₂ ,…, p₁₁и .

Используем формулу Бернулли и формулу

Значение p₀ вычисляем по первой из формул, а остальные вероятности p_k- по второй.

Для второй формулы вычисляем постоянный множитель и p₀:

.

Результаты вычислений представлены в таблице 5. Если вычисления верны, то должно выполняться равенство

По найденным значениям вероятностей построим их график (рис. 1.).

Найдем наивероятнейшую частоту по заданным условиям:





.

Получим .

Так как - целое число, то искомая наивероятнейшая частота и значение является максимальным.
Таблица 5

0	-	0,0197732	6	6/6	0,0566056
1	11/1	0,0932168	7	5/7	0,0173282
2	10/2	0,1997503	8	4/8	0,0037131
3	9/3	0,2568218	9	3/9	0,0005304
4	8/4	0,2201330	10	2/10	0,0000454
5	7/5	0,1320798	11	1/11	0,0000017
			∑	-	0,9999994

Задача 2.2.

В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) точно 270 раз; б) меньше чем 270 и больше чем 230 раз;

в) больше чем 270 раз.

Решение.

Учитывая, что количество испытаний n = 700 довольно велико, можно использовать локальную теорему Муавра – Лапласа:

;

и интегральную теорему Муавра-Лапласа

где



а) Задано: n = 700, p = 0,35, k = 270. Найти:

Используя локальную теорему Муавра-Лапласа, находим:



Значение функции находим из таблицы (приложение 6):



б) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 230, b = 270. Найти: .

Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа:

Находим:



Значения функции находим из таблицы (приложение 7).

в) Задано: n = 700, p = 0,35, a = 270, b = 700. Найти:

Находим:





Рис. 1. График вероятностей p_k к задаче 2.1.
Задача 2.3.

В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: а) точно 220 раз; б) точно 190 раз; в) меньше чем 240 и больше чем 180 раз; г) меньше чем 235 раз.

Решение.

При решении этой задачи используем теоремы Муавра – Лапласа: локальную в случаях а) и б) и интегральную для случаев в) и г).

а) Задано: n = 500, p = 0,4, k = 220. Найти:

Имеем: .

б) Задано: n = 500, p = 0,4, k = 190. Найти:



в) Задано: n = 500, p = 0,4, a = 180, b = 240. Найти:

Находим:


г) Задано: n = 500, p = 0,4, a = 0, b = 235. Найти:

Находим:



Задача 2.4.

На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найти вероятность того, что среди 200 соединений произойдет: а) точно 1 неправильное соединение; б) меньше 3-х неправильных соединений; в) больше 2-х неправильных соединений.

Решение.

Здесь вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона:



а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найти: P₂₀₀(1).

Находим:

б) Задано: n = 200, p = 1/200, k < 3. Найти: P₂₀₀(k < 3).

Находим:

в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найти: P₂₀₀(k > 2).

Эту задачу решаем через вероятность противоположного события:

P₂₀₀(k > 2) = 1- P₂₀₀(k 2) = 1 - P₂₀₀(k < 3) = 1 – 0,9197 = 0,0803.

Задача 2.5.

В каждом из 600 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклоняется от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,0055.

Решение. Воспользуемся формулой



Задано: n = 600, p = 0,85, ε₁= 0,0055.

Искомая вероятность равна



Задача 2.6.

Случайная величина Х задана рядом распределения

Х	3 5 7 11
Р	0,14 0,20 0,49 0,17

Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить ее график. Вычислить для Х математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).
Решение.

Функцию распределения для дискретных случайных величин находим по формуле


Искомая функция распределения имеет вид:



Построим график функции распределения F(x) (рис. 2).

Математическое ожидание М(Х) вычисляем по формуле:

_{Находим}



Для нахождения дисперсии воспользуемся формулой:

_{Вычисляем}





Рис. 2. График функции распределения к задаче 2.6.


Задача 2.7.

Случайная величина Х задана функцией плотности вероятности



Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).

Решение.

Функцию распределения F(x) случайной величины найдем по формуле:



Построим графики функций f(x) и F(x) (рис. 3 и 4).

Находим математическое ожидание и дисперсию случайной величины:



Рис. 3. График функции Рис. 4. График функции

плотности вероятности f(x) распределения F(x)

Задача 2.8.

Случайная величина Х задана функцией распределения



Найти функцию плотности вероятности f(x) случайной величины Х. Построить графики функций f(x) и F(x). Вычислить для Х ее математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X).

Функцию плотности вероятности вычислим по формуле f(x) = F'(x), дальнейшее решение задачи аналогично решению предыдущей задачи.
Задача 2.9.

Задана случайная величина x N (0, 2). Найти вероятность того, что эта случайная величина принимает значение: а) в интервале [-1, 2];

б) меньшее (-1); в) большее 2; г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 1.

Решение.

В первых трех случаях можно воспользоваться формулой ,

а в четвертом – формулой

.

а) Задано: т =0, σ = 2, a = -1, b = 2. Найти: .

Имеем:


б) Задано: т =0, σ = 2, a = - , b = -1. Найти: .

Получаем:


в) Задано: т =0, σ = 2, a = 2, b = . Найти: .

Имеем:


г) Задано: т =0, σ = 2, ε = 1. Найти:

Получаем: .
Задача 2.10.

Задана случайная величина Х N (-10, 3) и точки -17, -13, -7, -1, 2 на числовой оси, разделяющие ее на шесть интервалов. Найти вероятность того, что эта случайная величина Х принимает значения в этих интервалах.

Используем формулу . Учитывая, что конец одного интервала является началом следующего, записываем результаты вычислений в таблицу (табл.6).

Таблица 6

xi
-	-	-0,5000	0,0099
-17	-2,33	-0,4901	0,1488
-13	-1	-0,3413	0,6826
-7	1	0,3413	0,1573
-1	3	0,49865	0,00132
2	4	0,499968	0,00003
		0,5000

Интервалы охватывают всю числовую ось, так что сумма полученных вероятностей должна быть равна 1.