начертательная геометрия. Лекции НГ. Российской Федерации Сибирский федеральный университет начертательная геометрия и инженерная графика учебное пособие Красноярск сфу 2016 Начертательная геометрия и инженерная графика 2
 Скачать 2.69 Mb.
|
|
3.3. Комплексный чертеж прямой Как известно, прямая линия задается двумя точками рис. 3.7). Если заданы горизонтальная и фронтальная проекции прямой, то чтобы построить профильную проекцию этой прямой, необходимо построить профильные проекции двух точек и соединить их (риса. Кроме того, профильную проекцию прямой можно построить, используя разность расстояний двух ее точек, те. разность глубин (рис. 3.8, б. В этом случае отпадает необходимость наносить оси проекций. Этот Глава. Теоретические основы построения чертежа способ более точный и используется в практике выполнения технических чертежей. В зависимости от расположения прямых относительно плоскостей проекций прямые могут быть общего и частного положения. Прямые общего положения – это прямые, расположенные под углом, отличным от 0° и 90° к плоскостям проекций (рис. 3.7, 3.8). На все плоскости проекций прямые общего положения проецируются с искажением. Прямые частного положения – это прямые, перпендикулярные или параллельные ка- кой-либо плоскости проекции. Рис. 3.7 Прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекции, называются проецирующими и обозначаются ( i ). а б Рис. 3.8 В зависимости оттого, какой плоскости проекции перпендикулярна прямая, различают (рис. 3.9) горизонтально проецирующие прямые ( АВ ), фронтально проецирующие прямые ( CD ) и профильно проецирующие прямые. У проецирующих прямых одна проекция вырождается в точку, а две другие проекции параллельны самой прямой. Две точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. Конкурирующие точки помогают определить видимость отдельных элементов предмета. Из двух горизонтально конкурирующих точек Аи В (рис. 3.9) на плоскости П видима та, которая выше, те. точка А. Из двух фронтально конкурирующих точек C и D на плоскости П видима та, которая ближе к наблюдателю, те. точка С. Из двух профильно Начертательная геометрия и инженерная графика конкурирующих точек E и F на плоскости П видима та, которая левее, те. точка Таким образом, из двух конкурирующих точек видимой будет тау которой больше высота, глубина и широта. Прямые, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются прямыми уровня Прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций, называют горизонтальной прямой уровня, или горизонталью, и обозначают рис. 3.10). Рис. 3.9 Рис. 3.10 Рис. 3.11 Прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций, называют фронтальной прямой уровня, или фронталью , и обозначают f (рис. 3.11). Глава. Теоретические основы построения чертежа Прямую, параллельную профильной плоскости проекций, называют профильной прямой уровня и обозначают p (рис. 3.12). Рис. 3.12 Упрямой уровня одна проекция есть натуральная величина самой прямой. Эта проекция определяет угол наклона прямой к двум другим плоскостям проекций. 3.4. Комплексный чертеж плоскости Для графического задания плоскости достаточно дать проекции трех ее точек, не лежащих на одной прямой (рис. 3.13). Рис. 3.13 На рис. 3.14–3.17 показаны другие производные варианты задания плоскости прямой ɑ и точкой Мне лежащей на этой прямой (рис. 3.14); двумя пересекающимися прямыми ɑ ирис двумя параллельными прямыми ɑ ирис любой плоской фигурой, например треугольником (рис. 3.17). Начертательная геометрия и инженерная графика Относительно плоскостей проекций плоскости могут занимать различное положение. Плоскость, не перпендикулярная и не параллельная ни одной из основных плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения На рис. 3.18 изображена плоскость общего положения, заданная треугольником. На все плоскости проекций треугольник АВС проецируется с искажением. Рис. 3.14 Рис. 3.15 Рис. 3.16 Рис. 3.17 Рис. 3.18 Плоскости, перпендикулярные или параллельные основным плоскостям проекций, называются плоскостями частного положения Глава. Теоретические основы построения чертежа Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей. Проецирующие плоскости обозначаются Σ. В зависимости оттого, какой плоскости проекций перпендикулярна заданная плоскость, ее называют горизонтально проецирующей (Σ П) (рис. 3.19), фронтально проецирующей (Σ П) (рис. 3.20) и профильно проецирующей П) (рис. 3.21). Рис. 3.19 Рис. 3.20 У проецирующей плоскости одна проекция будет прямой линией, которая называется вырожденной проекцией плоскости. На ней располагаются проекции всех точек, линий и фигур, лежащих в этой плоскости. Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня Плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекции, называется горизонтальной плоскостью уровня и обозначается Г (рис. 3.22). Начертательная геометрия и инженерная графика Рис. 3.21 Рис. 3.22 Рис. 3.23 Глава. Теоретические основы построения чертежа Плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекции, называется фронтальной плоскостью уровня и обозначается Φ (рис. 3.23). Рис. 3.24 Плоскость, параллельная профильной плоскости проекции, называется профильной плоскостью уровня и обозначается Ψ (рис. 3.5. Определение натуральной величины плоской фигуры Решение задач данного типа значительно упрощается, если геометрические элементы занимают частное положение. Теория построения чертежа позволяет путем несложных преобразований перейти от общих положений геометрических элементов к частным. Эти построения сводятся к перемене плоскостей проекций и вращению вокруг осей. В рамках данного пособия рассмотрен метод замены плоскостей проекций для определения натуральной величины плоской фигуры. Метод замены плоскостей проекций Этот метод заключается в замене одной плоскости проекций новой плоскостью, перпендикулярной незаменяемой. Положение геометрических объектов в пространстве остается неизменным. Например, рассмотрим замену плоскости П на новую плоскость проекций П (рис. 3.25). Новую плоскость проекций П располагают перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций П (риса. Для перехода от про Начертательная геометрия и инженерная графика 46 странственного изображения к плоскому плоскость П путем ее вращения вокруг новой оси П 2 /П 4 совмещают с плоскостью проекций П (рис. 3.25, б. Тогда проекция А располагается на новой линии связи А А, перпендикулярной новой оси проекций П 2 /П 4 а б Риса б Рис. 3.26 Новая плоскость проекций П заменяет старую фронтальную плоскость проекций П. Высота h точки А изображается одинаково в натуральную величину на плоскости Пи П рис. 3.25, б. Перемену (замену) плоскостей проекций можно производить несколько раз. Глава. Теоретические основы построения чертежа Если плоская фигура занимает общее положение, то для нахождения ее натуральной величины перемену плоскостей проекций производят два раза. Первой переменой новую плоскость вводят перпендикулярно плоской фигуре, второй – параллельно (рис. 3.26). Рассмотрим нахождение натуральной величины плоской фигуры ∆ АВС , занимающей горизонтально проецирующее положение (риса. Построение выполняют путем введения новой плоскости проекций П, перпендикулярной плоскости проекций Пи параллельной плоскости треугольника АВС (рис. 3.26). Новую ось проекций П 2 /П 4 проводят параллельно горизонтальной проекции треугольника А 1 С 1 В 1 . Дальнейшие построения становятся ясны исходя из рис. 3.26, б .Проекция А 4 С 4 В 4 будет натуральной величиной плоской фигуры. 3.6. Линии Линия представляет собой множество последовательных положений точки, перемещающейся в пространстве. Если точка перемещается водной плоскости, то образуется плоская линия. Пространственная линия не лежит всеми своими точками водной плоскости. К плоским линиям относятся окружность, эллипс, овал. Примером пространственной линии может служить винтовая линия. Рис. 3.27 Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая – также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в проецирующей плоскости. Начертательная геометрия и инженерная графика Большой интерес представляет проекция окружности. Для изображения окружности диаметром d на комплексном чертеже обязательно строят проекции центра О и двух ее диаметров. Удобнее всего строить проекции диаметров, параллельных плоскостям проекции (рис. 3.27, 3.28). Рис. 3.28 Если окружность расположена в проецирующей плоскости, тона плоскость, ей перпендикулярную, она проецируется в виде отрезка прямой, равного диаметру окружности, а на две другие – в виде эллипса (рис. 3.28). Большая ось эллипса всегда равна диаметру окружности (2 a = d ). Малая ось эллипса зависит от угла наклона плоскости окружности к соответствующей плоскости проекций = с. 3.7. Поверхности Поверхность является абстрактной фигурой, не имеющей толщины. Поверхность ограничивает геометрическое тело, состоящее из конкретного материала, например металла. Поверхность может быть бесконечной, а тело конечно. Глава. Теоретические основы построения чертежа Образование и задание поверхности на чертеже В начертательной геометрии рассматривают кинематический способ образования поверхности (гр. kinema – движение. Поверхность представляет собой геометрическое место линий, движущихся в пространстве по некоторому закону. Линия, производящая поверхность, называется образующей l , которая в процессе движения скользит по направляющей рис. 3.29). Задать поверхность на чертеже – значит указать условия, позволяющие построить каждую ее точку. Эти условия называют определителем поверхности. В число условий входит геометрическая часть (точки, линии) и закон образования поверхности. Поверхность задают проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. Обычно поверхность на чертеже задают ее очерком, который является проекцией контурной линии поверхности (рис. 3.30). Рис. 3.29 Рис. 3.30 Различают горизонтальную, фронтальную и профильную очерковые линии. Очерковая линия разделяет проекции поверхности на видимую и невидимую части. Точки поверхности, расположенные на контурной линии, называют точками видимости, а их проекции – очерковыми точками Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности. Все поверхности можно разделить на две большие группы гранные и кривые. Рассмотрим некоторые из них. 3.7.1. Гранные поверхности Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей Если одна точка S образующей неподвижна, то получается пирамидальная поверхность (рис. 3.31). Если же образующая l параллельна заданному направлению s , то образуется призматическая поверхность (рис. 3.32). Замкнутые гранные поверхности называют многогранниками. Рассмотрение многогранников ограничим прямыми призмами и пирамидами. Начертательная геометрия и инженерная графика Пирамидой называют многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольника боковые грани являются треугольниками с общей вершиной S рис. 3.33). Рис. 3.31 Рис. 3.32 Призмой называют многограннику которого основания – это два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани – параллелограммы. Если ребра у призмы перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то ее боковую поверхность называют проецирующей (рис. 3.34). Рис. 3.33 Рис. 3.34 На комплексном чертеже многогранники задают проекциями вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребер (прямых) определяют методом конкурирующих точек (см. п. 3.3). 3.7.2. Поверхности вращения Поверхность вращения образуется при вращении линии l вокруг ее оси i (рис. 3.35). Каждая точка образующей l при вращении описывает окружность с центром оси i . Эти окружности называют параллелями. Максимальную параллель ( h 1 max ) называют экватором. Она определяет горизонтальный очерк поверхности. Минимальную параллель (м) называют горлом Любая плоскость, проходящая через ось вращения i , пересекает поверхность по меридиану. Все меридианы равны между собой. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости проекций, называют главным ( f ). Он определяет фронтальный очерк поверхности. Меридиан, располо- Глава. Теоретические основы построения чертежа 51 женный в профильной плоскости проекций, называют профильным. Он определяет профильный очерк поверхности. Рассматривая поверхности вращения, ограничимся цилиндром, конусом и сферой. Цилиндр вращения образуется при вращении прямой l вокруг параллельной ей оси i (рис. Конус вращения образуется вращением прямой l вокруг пересекающейся с ней осью i (рис. 3.37). Рис. 3.35 Рис. 3.36 Рис. 3.37 Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра рис. 3.38). Тор образуется вращением окружности (или ее дуги) вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, ноне проходящей через ее центр (рис. 3.39). Рис. 3.38 Рис. 3.39 Поверхности, которые ограничивают технические детали, часто срезаются плоскостью, при этом возникает необходимость строить на чертеже линию пересечения плоскости с поверхностью. 3.8. Пересечение плоскости с поверхностью При пересечении поверхности (призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, сферы) плоскостью получают плоскую фигуру, которую называют сечением. Линия пересечения поверхности с плоскостью имеет вид плоской линии (ломаной или кривой, принадлежащей секущей плоскости и пересекаемой поверхности. Проекции этой плоской линии строят по отдельным точкам. Начертательная геометрия и инженерная графика Сначала строят опорные точки, лежащие на контурных линиях поверхности, а также точки на ребрах и линиях основания поверхности. Если эти точки не определяют полностью проекции линии сечения, то строят промежуточные точки между опорными. Если секущая плоскость является проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с вырожденной проекцией секущей плоскости и изображается отрезком прямой в пределах соответствующей проекции поверхности. Пирамида пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику рис. 3.40), вершины которого принадлежат ребрами сторонам основания пирамиды. Рис. 3.40 Пирамида SKLM пересечена плоскостью ∑, расположенной параллельно боковому ребру KS . Плоскость пересекает основание пирамиды ∆ KLM и два боковых ребра LS и MS . Значит, в сечении получается четырехугольник, в котором стороны AB и CD параллельны между собой, поскольку они параллельны ребру KS . Это необходимо учесть при построении проекций фигуры сечения. Боковое ребро SL параллельно плоскости П, следовательно, горизонтальную проекцию точки Встроим по ее глубине относительно вершины S . Видимость сторон четырехугольника на плоскостях проекций определяют видимостью граней пирамиды. Поскольку грань SLM на Пне видна, то и сторона BC сечения тоже невидима. Глава. Теоретические основы построения чертежа Грань SKM перпендикулярна плоскости П, поэтому сторона CD сечения совпадает с вырожденной впрямую проекцией грани. Натуральная величина фигуры сечения построена на поле П, расположенном параллельно секущей плоскости ∑. (На чертеже ось проекций П 2 /П 4 расположена параллельно ∑ 2 .) Проекции точек на поле П построены на новых линиях связи, перпендикулярных новой оси проекций П 2 /П 4 , с помощью глубин точек фигуры сечения, измеренных на поле Пот оси проекции П 2 /П Призма также, как и пирамида, пересекается плоскостью по плоскому многоугольнику. Поверхность призмы является проецирующей значит, одна проекция фигуры сечения совпадает с вырожденной проекцией боковой поверхности призмы (рис. 3.41). Следовательно, строим только третью проекцию фигуры сечения и натуральную величину сечения. Рис. 3.41 На рис. 3.41 прямая треугольная призма имеет горизонтально проецирующую поверхность, изображаемую на П треугольником 1 1 –2 1 –3 Секущая плоскость ∑ пересекает верхнее основание призмы и два боковых ребра, те. в сечении получается четырехугольник ABCD , горизонтальные Начертательная геометрия и инженерная графика проекции сторон В, CD и DA которого совпадают с ∆1 1 –2 1 –3 1 . Так как на поле Пне видна правая грань призмы, то и линия CD сечения ее тоже не будет видима. Натуральную величину сечения строим по двум направлениям вдоль и поперек сечения. По горизонтальной линии откладываем расстояния между точками вдоль сечения, истинные размеры которых берем с поля П по вырожденной проекции сечения плоскости (∑ 2 ). По направлениям, перпендикулярным горизонтальной линии, откладываем расстояния поперек сечения. Они соответствуют глубинам точек на поле Пили П. На рис. 3.41 глубины измерены на П относительно точки Сфера пересекается плоскостью по окружности. Диаметр окружности определяется отрезком d , совпадающим с вырожденной проекцией секущей плоскости внутри очерка сферы (рис. 3.42). Две другие проекции окружности сечения имеют форму эллипсов, для построения которых следует определить размеры их осей. Большая ось эллипсов равна диаметру d окружности сечения, а величина малой оси зависит от угла наклона секущей плоскости к плоскости проекций. Плоскость ∑ (∑ 2 ) – фронтально проецирующая. Она пересекает сферу по окружности с центром в точке О (О) диаметром d = А В, где А – наивысшая, а В – наинизшая точка линии сечения. Эти точки лежат на главном меридиане f сферы. Горизонтальные Аи В и профильные Аи В проекции точек сечения строим по линиям связи на горизонтальной f 1 и профильной f 3 проекциях главного меридиана сферы. Окружность сечения на Пи П изображаем эллипсом, размер малых осей которого определяем проекциями А 1 В 1 и А 3 В 3 диаметра АВ Диаметр С, перпендикулярный диаметру АВ , проецируется в точку на Пи без искажения на Пи Пи, так как является фронтально проецирующим (Пи определяет большую ось эллипсов. Окружность сечения частично невидима на Пи на П. Точки видимости на П определяем в пересечении экватора h с плоскостью ∑ точки Е и F ); Е и F 1 € h 1 ; Е и F 3 € Точки Е и F 3 строим по их глубинам, измеренным на П. Точки видимости на П определяем в пересечении профильного меридиана с секущей плоскостью (точки К и L ). Сначала строим профильные проекции К и L 3 этих точек, а затем по их глубинам, измененным на П, строим горизонтальные К и проекции. Опорные точки строим все. На рис. 3.42 определена пара промежуточных точек M и N , уточняющих форму горизонтальной и профильной проекций окружности сечения. Недостающие проекции точек строим с помощью вспомогательной параллели – окружности радиуса R – из условия Глава. Теоретические основы построения чертежа принадлежности этих точек секущей плоскости (Ми поверхности сферы. М ( N 1 ) строим по вертикальной линии связи на дуге окружности радиуса R , а М) – по горизонтальной линии связи с помощью глубин точек, измеренных на П 1 Рис. 3.42 Истинный размер сечения получаем на поле П, расположенном параллельно секущей плоскости ∑, как окружность диаметра d с центром в точке О. Затем в проекционной связи на этой окружности отмечаем проекции всех точек, с помощью которых строим горизонтальную и профильную проекции сечения. Цилиндр вращения (рис. 3.43) пересекается плоскостью (Σ 2 ) в общем случае по эллипсу. Если же секущая плоскость параллельна ( 2 ) или перпендикулярна (Г) оси цилиндра, тов сечении получаются, соответственно, пара параллельных прямых или окружность (риса. Если поверхность цилиндра является проецирующей, то одна проекция линии сечения совпадает с вырожденной в окружность проекцией поверхности. Начертательная геометрия и инженерная графика 56 а б в Рис. 3.43 Глава. Теоретические основы построения чертежа 57 а б в Рис. 3.44 Начертательная геометрия и инженерная графика Размеры осей эллипса сечения определяются диаметром цилиндра малая ось эллипса равна диаметру цилиндра) и положением секущей плоскости (большая ось эллипса равна отрезку вырожденной проекции секущей плоскости в пределах очерка цилиндра. Центр эллипса сечения находим в точке пересечения оси цилиндра с секущей плоскостью. На рис. 3.43, б в построены проекции линии пересечения и натуральная величина фигуры сечения цилиндра, имеющего фронтально проецирующую поверхность. Секущая плоскость задана горизонтально проецирующей и пересекающей заднее основание цилиндра по линии ВС Сечение представляет собой неполный эллипс с малой осью DE и большой полуосью, размер которой определяется на П отрезком А 1 Е 1 Фронтальную проекцию сечения располагаем по дуге окружности влево от линии В 2 С 2 . Самой верхней точкой сечения будет точка Е, самой нижней – точка D. Эти же точки будут границей видимости линии сечения на поле П, как расположенные на очерковых образующих цилиндра. Промежуточные точки 1, 2, 3 и 4 уточняют характер профильной проекции эллипса. Их профильные проекции строим с помощью глубин точек, измеренных на Пот дальнего основания цилиндра. Натуральную величину сечения строим по двум направлениям расстоянию между точками вдоль сечения, измеренному на Пи поперек сечения, измеренному на П рис. 3.43, в. Конус вращения пересекается плоскостью (рис. 3.44) в зависимости от ее расположения относительно поверхности по окружности, эллипсу, параболе, гиперболе или двум образующим (риса. Наибольшие затруднения возникают при построении на конусе проекций кривых эллипса или его части, параболы и гиперболы. Проекции точек, определяющих проекции кривых на конусе, строим с помощью образующих или с помощью параллелей. На рис. 3.44, б построены проекции сечения конуса фронтально проецирующей плоскостью Σ(Σ 2 ). В сечении получаем часть эллипса, большая ось которого равна отрезку А, а малая MN делит его пополам. Эллипс обрезан линией BC , по которой секущая плоскость пересекает основание конуса. На горизонтальной проекции кривая сечения видна полностью, а на профильной – только ее верхняя часть. Границей видимости для поля П служит профильный меридиан конуса, который пересекается плоскостью ∑ в точках D и Е. Проекции точек А В Си Е построены из условия принадлежности их очерковым линиям поверхности конуса. Размер малой оси эллипса сечения, а следовательно, горизонтальные M 1 ( N 1 ) и профильные M 3 ( N 3 ) проекции точек определяем из условия принадлежности их параллели радиуса R 1 на поверхности конуса. Глава. Теоретические основы построения чертежа Промежуточные точки K и L уточняют проекции верхней части эллипса. Их проекции на П строим с помощью параллели радиуса R 2 . На рис. 3.44, б также показано построение проекций этих точек с помощью образующих S – 1 и S – 2. Натуральную величину плоской фигуры сечения строим по расстояниям а между точками вдоль сечения и расстояниям, отмеченным черточками на Пили П, поперек сечения (рис. 3.44, в. |