Интегральные уравнения Вольтерры 2-го порядка. Курсова_робота_Олійник_Дар'ї. Розвязування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду
 Скачать 31.53 Kb.
|
|
Дніпровський національний університет імЕНІ Олеся Гончара ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ КАФЕДРА ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ МАТЕМАТИКИ ТАМАТЕМАТИЧНОЇ КІБЕРНЕТИКИКУРСОВА РОБОТА з основ прикладної математики на тему « Розв’язування інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду » Виконав: студент групи ПА–17–1 спеціальності 113 «Прикладна математика» Олійник Дар’я Ігорівна Керівник: доцент кафедри ОМ та МК Волошко Віктор Леонідович Кількість балів____________ Національна шкала ________ Члени комісії : ___________ ____Козакова Н.Л.___ (підпис) (прізвище та ініціали) ___________ _Тонкошкур І.С.___ (підпис) (прізвище та ініціали) ___________ _Черницька О.В.___ (підпис) (прізвище та ініціали) м. Дніпро 2020 РЕФЕРАТ Курсова робота: 35 с., 6 рис., 9 джерел, 1 додаток. Об'єкт дослідження: чисельні та точні методи розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду. Мета роботи: вивчення існуючих чисельних методів розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду за допомогою розв’язання частинних похідних та порівняння їх з аналітичними методами. Одержані висновки та їх новизна: проаналізовано різні чисельні методи для розв’язання інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду, та написано програму з використанням математичного пакету, яка розв’язує інтегральні рівняння. Результати досліджень можуть бути застосовані при вивченні фізичних явищ, таких як коливання струни, мембран тощо. Перелік ключових слів: РІВНЯННЯ ВОЛЬТЕРРА ДРУГОГО РОДУ, ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ, МЕТОД КВАДРАТУР ЗМІСТ ВСТУП 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ (Основні поняття про інтегральні рівняння та їх класифікація.) 2 ІСНУВАННЯ ТА ЄДИНІСТЬ РОЗВ’ЯЗКУ ІНТЕГРАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ВОЛЬТЕРРА ДРУГОГО РОДУ 3 АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ВОЛЬТЕРРА ДРУГОГО РОДУ 4 НАБЛИЖЕНЕ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ВОЛЬТЕРРА ДРУГОГО РОДУ 5 Програмна реалізація алгоритму 6 Приклади чисельної реалізації ВСТУП Випадки формулювання задач у вигляді інтегральних рівнянь зустрічалися вже у першій половині XIX ст. Прикладами можуть бути формули обернення Фур’є і рівняння Абеля, яке отримано у ході розв’язку задачі таутохроні. Інтегральні рівняння привернули до себе увагу математиків на рубежі XIX-XX ст. Зараз існує визначений і достатньо широкий круг задач, для математичного опису якого використовують інтегральні рівняння і перетворення. Вони знайшли ефективне застосування у: фізиці – задачі дифузії і явище переносу, теорія потенціалу, теорія пружності, теплопровідність тощо, механіці – багатомасові системи, коливання валів й інші задачі аналізу динаміки машин і механізмів, аеродинаміці – власні коливання крил самолету, флатер тощо, електротехниці – аналіз і оптимальний синтез електричних ланцюгів тощо. Треба підкреслити важливу роль інтегральних рівнянь у розв’язку граничних задач і аналізів випадкових процесів. Рівняння, в яких шукана функція міститься під знаком інтегралу і поза, називають інтегральним рівняння другого роду. Якщо межі інтегрування фіксовані, то інтегральне рівняння називаються рівнянням Фредгольма, а якщо межі інтегрування змінні, то – рівняння Вольтерра. Деякі з задач приводять до інтегральних рівнянь. До них можна віднести задачі: про відновлення функції  за її перетворення Фур’є, Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, початкові для лінійних диференціальних рівнянь, Абеля, про малі коливання струни.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Інтегральне рівняння – це рівняння, яке містить невідому функцію під знаком інтеграла, наприклад,  (1. 0)або  (1. 2)де  і  – задані функції, а  – шукана. Функція – ядро інтегрального рівняння, а – вільний член,  – параметр (з ℝ або ℂ). Якщо (1.1) ядро визначене в квадраті  : (1.3)а якщо (1.2) – в трикутнику  : (1.4)Ці рівняння належать до класу лінійних інтегральних рівнянь, де шукана функція входить у ці рівняння лінійно. Коли шукана функція міститься лише під знаком інтеграла, то рівняння називають інтегральним рівняння першого роду.  (1.5) (1.6)Рівняння, в яких функція міститься і під знаком ітеграла, і поза, називають інтегральними рівняннями другого роду. Наприклад, рівняння (1.1) і (1.2) Рівняння Фредгольма – межі інтегрування фіксовані (1.1), (1.5), рівняння Вольтерра – межі інтегрування змінні (1.2), (1.6). (1.1), (1.2), (1.5), (1.6) називають однорідними рівняннями  , а в протилежному випадку – неоднорідними.Ядро  і вільний член є неперервними функціями або задовольняють умовам інтегрованості  До розгляду допускаються комплексні функції. Функція є розв’язком інтегрального рівняння і перетворює його на тотожність по  .Наведемо приклади інтегральних рівннянь різних типів та їх розв’язки:   Показати, що  э розв’язком рівняння.Розв’язок: підставимо замість у праву частину рівняння функцію  , отримаємо: Отже, відовідно до визначення,  є розв’язком рівняння. Показати, що  э розв’язком рівняння.Розв’язок: підставимо замість у праву частину рівняння функцію  , отримаємо:  Отже, відовідно до визначення, є розв’язком рівняння. Показати, що  э розв’язком рівняння.Розв’язок: підставимо замість у праву частину рівняння функцію  , отримаємо: Отже, відовідно до визначення, є розв’язком рівняння.Розв’язання задачі для лінійних диференціальних рівнянь приводить до лінійних рівнянь Вольтерра другого роду. Нехай, наприклад, маємо диференціальне рівняння другого порядку  (0. 0) і початкові умови  . Розглянувши неоднорідне рівняння  з тими самими початковими умовами, де  – деяка неперервна функція, за методом Лагранжа знайдемо Повертаючись до рівняння (0.1), в якому  , дістанемо Це інтегральне рівняння Вольтерра другого роду відносно  : Розглянемо загальний випадок і застосуємо інший метод. Нехай маємо задачу Коші  де функції  неперервні, наприклад, при  .Покладемо  . Беручи до уваги початкові умови і формулу  , знаходимо Підставимо тепер вирази для  у диференціальне рівняння. Відносно дістанемо де  , . Це інтегральне рівняння Вольтерра другого роду. Якщо функцію знайдено з цього рівняння, то . |