Практическое руководство-ФинМат. Руководство к практическим занятиям и самостоятельной работе по финансовой математике Содержание по финансовой математике 1

• Название: Руководство к практическим занятиям и самостоятельной работе по финансовой математике Содержание по финансовой математике 1
• Дата: 10.02.2018
• Размер: 1.16 Mb.
• Имя файла: Практическое руководство-ФинМат.doc
• Тип: Руководство; #36180
• страница: 7 из 14

Задачи для самостоятельной подготовки

Задача 1. В банк для учета предъявлены 2 векселя - один на сумму в 100 тыс. руб. и сроком погашения через год, второй – на сумму 150 тыс. руб. и сроком погашения через 2 года. Два векселя необходимо заменить одним, на сумму 250 тыс. руб. Определить срок погашения нового векселя при использовании сложной учетной ставки 20% годовых.

Задача 2. Платежи на сумму 300 000 руб., 400 000 руб. и 400 000 руб. должны быть внесены через три месяца, полгода и 9 месяцев соответственно. Достигнуто соглашение о замене этих платежей на один, равный им по сумме. Определить срок нового платежа, если используется простая ссудная ставка 15 % годовых.

Задача 3. Согласно контракту, предприниматель должен выплатить кредитору 10 тыс. руб. через год, 40 тыс. руб. через три года и 30 тыс. руб. через 5 лет. Предприниматель предлагает выплатить 30 тыс. руб. через 2 года и 40 тыс. руб. через 4 года. Являются ли эти контракты эквивалентными, если в расчетах используется простая процентная ставка 34% годовых?

Задача 4. Три платежа: 10 000 долл., срок погашения 15 мая; 20 000 долл., срок погашения 15 июня; 15 000 долл., срок погашения 15 августа заменяется одним платежом со сроком погашения 1 августа на основе простой процентной ставки. Определить сумму нового платежа.

Задача 5. Контракт на выплату 10 000 долл. 1 ноября и выплату 5000 долл. 1 января следующего года необходимо заменить новым контрактом, в соответствии с которым 1 декабря выплачивается 6000 долл., оставшаяся сумма погашается 1 марта. Определить сумму второго платежа на основе простой ссудной ставки 10% годовых (следующий год не високосный).

Задача 6. Платеж в 600 тыс. руб. со сроком уплаты через 4 года необходимо заменить платежом со сроком уплаты 1) через 2 года; 2) через 5 лет. Используется сложная ссудная ставка 12% годовых. Найти величину нового платежа.

Задача 7. Два кредита на сумму 100 тыс. евро и 50 тыс. евро должны быть погашены 17 ноября текущего года и 10 января следующего года соответственно. Банк согласился с предложением заемщика пересмотреть условия договора: 1 декабря текущего года заемщик выплачивает 70 тыс. евро, оставшаяся часть долга будет внесена 1 марта следующего года. При пересмотре договора используется простая ставка 10% годовых. Определить вариант приведения срока платежа, наиболее выгодный для банка и для заемщика.

Задача 8. Предприниматель получил кредит в банке на сумму 500 тыс. руб. на полгода по простой ставке 18% годовых. Спустя месяц после выдачи кредита предприниматель обратился в банк с просьбой вернуть долг не через полгода, а через 9 месяцев, в сумме 595 тыс. руб. Выгодно ли это предложение для банка? Какую сумму предприниматель должен внести через 9 месяцев, чтобы условия контракта не изменились?

Задача 9 В настоящее время у предприятия имеется задолженность банку по трем кредитам в размере 130 тыс., 190 тыс., 165 тыс. руб. со сроками погашения соответственно через 45, 95 и 200 дней. Предприятие предлагает погасить задолженность одним платежом через срок (кредитный срок выбирается согласно варианту) от сегодняшней даты. Процентная ставка по кредиту составляет 15%. Временная база 365 дней. Определить сумму консолидированного платежа.

Задача 10. Имеется обязательство погасить с 20.02.16 по 20.11.16 долг в размере 1,5 млн. рублей. Кредитор согласен получать частичные платежи по погашению кредита и фактическую базу начисления процентов. Процентная ставка составляет 20% годовых. В счет погашения задолженности планируются следующие промежуточные поступления:

20.03.16 – 500 тыс. рублей

20.05.16 – 300 тыс. рублей

20.08.16 – 200 тыс. рублей

Найти сумму окончательного платежа по погашению долга.
Контрольные вопросы

1. 
   Что означает консолидация платежей?
   
2. 
   Верно ли утверждение: при сравнении платежей их приведение к одному моменту времени может осуществляться как путем наращения, так и путем дисконтирования?
   
3. 
   При изменении сроков платежей в каком случае новый платеж будет больше старого платежа, а каком случае меньше?
   
4. 
   Какие контракты являются эквивалентными?
   
5. 
   Какие задачи могут возникать при консолидации платежей?
   

Тема 7. Начисление процентов в условиях инфляции

Для оценки наращенной суммы с учетом ее обесцене­ния полученную величину делят на индекс инфляции за время осуществления наращения. Если множитель наращения равен индексу инфляции, то соответствующее наращение лишь нейтрализует действие инфляции.

При инфляции выделяют следующие виды процентных ставок: номинальную, реальную, положительную. Иногда ставку с поправкой на инфляцию называют брутто-ставкой.

Для обеспечения реального роста стоимости первоначального капитала при инфляции необходимо исходную ставку увели­чивать (индексировать). Выбор величины такой индексированной ставки определяется поставленными целями. Для обеспечения реальной доходности согласно исходному коэффициенту нара­щения необходимо так индексировать исходную ставку (увеличить на инфляционную премию), чтобы новый коэффициент на­ращения полностью компенсировал потери из-за инфляции.

Формула Фишера определяет значение сложной годовой процентной ставки, обеспечивающей при известном годовом темпе инфляции реальную эффективность кредитной операции. Эта формула по существу показывает ту величину, называемую инфляционной премией, которую необходимо прибавить к ис­ходной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь. При малом темпе инфляции и невысокой процентной став­ке (эта ситуация типична для стран с развитой рыночной эконо­микой) пользуются и приближенным вариантом формулы Фишера.

Цель проведения занятия - научиться рассчитывать доходность финансовых операций в условиях инфляции, используя формулы финансовых вычислений.
Основные формулы раздела

Индекс инфляции

(7.1)

(7.2)

где , — целое число лет, — оставшаяся нецелая часть года

Введем следующие обозначения для брутто-ставок:

r_α —простая ссудная ;

d_α—простая учетная

r_сα—сложная ссудная

d_сα—сложная учетная

Вычисление брутто-ставки процентов в условиях инфляции

(7.3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

Формулы для вычисления реальной доходности финансовой операции, когда задан уровень инфляции и брутто ставка




(7.7)




(7.8)

Типовые задачи с решениями

Задача 1. На вклад начисляются сложные проценты: 1) ежегодно; 2) ежеквартально; 3) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции составляет 3%?

Решение

1) Обозначим через ежемесячный (т.е. за 1/12 года) индекс инфляции, тогда и при к=12 находим индекс инфляции за год:



Пусть г - процентная ставка при ежегодном начислении сложных процентов, тогда значение ставки, лишь нейтрализующей действие инфляции, находится из равенства (т.е. множитель наращения за год приравнивается к годовому индексу инфляции). Таким образом:



Реальное наращение капитала будет проис­ходить только при процентной ставке, превышающей 42,58% годовых.

2) При ежеквартальном начислении сложных процентов для определения номинальной ставки, лишь нейтрализующей дейст­вие инфляции, пользуемся равенством :

, поэтому:



Реальное наращение капитала будет проис­ходить при еже­квартальном начислении процентов по ставке не меньше, чем 37,09% годовых.

3) В случае ежемесячного начисления процентов пользуемся равенством

, откуда:



Реальное наращение капитала будет проис­ходить при ежемесячном начислении сложных процентов по ставке, не меньше, чем 36% годовых. В этом случае ответ можно было дать сразу, поскольку для осуществления реального наращения капитала его относительный рост за месяц должен превышать темп инфляции за это же время. Следовательно, , поэтому

Задача 2. Номинальная процентная ставка, компенсирующая действие инфляции, равна 52% годовых. Определите полугодовую инфляцию, если начисление сложных процентов осуществляется каждый квартал.

Решение

Приравняем годовой индекс инфляции к множителю наращения за год. Полагая , получим :

Поэтому индекс инфляции за полгода (0,5 года) составит :



Темп инфляции α находим из условия .

Темп инфляции за полгода равен 27,69%.

Задача 3. На вклад в течение трех лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция за это время за каждый год последовательно составит 15, 20 и 10 процентов. Какова должна быть сила роста за год, чтобы покупательная способность вклада не уменьшилась?

Решение

Поскольку индекс инфляции за первый год равен 1,15, за второй - 1,2 и за третий - 1,1, то индекс инфляции за 3 года составит:

1,151,121,1=1,518

Пусть  - сила роста за год, позволяющая первоначальной сумме только сохранить свою покупательную способность. Приравнивая индекс инфляции за три года к множителю нара­щения за это же время, получим : , поэтому



Сила роста должна превышать 13,91% за год.

Задача 4. На вклад в течение 15 месяцев начисляются проценты: 1) по схеме сложных процентов; 2) по смешанной схеме. Какова должна быть процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 8%?

Решение

1) Так как темп инфляции за каждый квартал ра­вен 8%, то индекс инфляции за каждый квартал (0,25 года) равен 1,08. Поэтому индекс инфляции за 15 месяцев (1,25 года, или 5 кварталов) составит:



Обозначим через r искомую годовую процентную ставку и приравняем этот индекс инфляции к множителю наращения при использовании схемы сложных процентов:

(1+r)^1,25 =1,4693.

Отсюда:



Ставка должна превышать 36,05% годовых.

При рассмотрении этого случая можно было рассуждать и таким образом. При инфляции 8% за каждый квартал годовой темп инфляции составит 1,08⁴-1=0,3605=36,05%. Реальное же наращение капитала будет происходить, если годовая процент­ная ставка превышает годовой темп инфляции, т.е. г > 36,05%.

2) Пусть теперь применяется смешанная схема. Приравнивая индекс инфляции за 1,25 года к множителю наращения, получим квадратное уравнение относительно r :

(1+r).(1+0,25r)= 1,4693

Решая уравнение, определяем корни: r = -5,3508, r =0,3508.

Очевидно, что по смыслу первый корень не подходит. Следова­тельно, при использовании смешанной схемы ставка должна превышать 35,08% годовых. «Граничное» значение ставки в этом случае получили почти на 1% меньше, чем в предыдущем, что объясняется большей эффективностью смешанной схемы начисления по сравнению со схемой сложных процентов.

Обратим внимание, что для ответа на вопрос в данном слу­чае необходимо фактически решить неравенство:

(1+r)(1+0,25r)>1,4693

Задача 5. На вклад 280 тыс. руб. ежеквартально начис­ляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 10%. Оцените сумму вклада через 21 месяц с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфля­ции – 0,5 % в месяц.

Решение

При наращении сложными процентами при ежеквартальном начислении процентов сумма вклада составит :



Индекс инфляции за 1,75 года при темпе инфляции 2% в месяц составит



Величина вклада с точки зрения ее покупательной способности равна



Вычитая из этой величины первоначальную сумму вклада, найдем реальный доход владельца вклада:



Задача 6. Кредит на сумму 120 тыс.руб. выдается сроком на 3 года при условии начисления сложных ссудных процентов. Индекс цен за указанный период равен 2,5. Какова должна быть процентная ставка по кредиту, чтобы реальная доходность кредитной операции составляла 10% годовых? Рассчитайте сумму к погашению с учетом инфляции.

Решение

По формуле (7.5) при m=1; r=0,1;I=2,5;n=3

=0,4923

Поэтому ставка 49,23% при ежегодном начислении сложных процентов и индексе цен 2,5 обеспечит реальную доходность кредитора 10% годовых.

Сумму к погашению с учетом инфляции находим по формуле (3.1) (Занятие 3) при n=3; r=0,4923;P=121

F=120(1+0,4923)³ =399,3

Сумма к погашению с учетом инфляции равна 399 300 руб.
Задачи для самостоятельной подготовки

Задача 1. На вклад в течение 18 месяцев начисляются проценты а) по схеме сложных процентов; б) по смешанной схеме. Какова должна быть годовая процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если каждый квартал цены увеличиваются на 2 %?

Задача 2. На некоторую сумму, помещенную на депозит в банк, в течение 8 лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время каждый год будет составлять 1%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма вклада через восемь лет по своей покупательной способности не уменьшилась?

Задача 3. На вклад в 500 тыс. руб. каждый квартал начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 4%. Оцените сумму вклада через 3 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции –1 % за квартал.

Задача 4. На вклад начисляются сложные проценты а) каждые полгода; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Вычислить годовую номинальную процентную ставку, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежеквартальный темп инфляции составляет 2%.

Задача 5. Номинальная процентная ставка, компенсирующая при наращении инфляцию, составляет 48% годовых. Определите инфляцию за квартал, если начисление сложных процентов осуществляется каждый месяц.

Задача 6. На некоторую сумму, помещенную на депозит в банк, в течение 4 лет будут начисляться непрерывные проценты. По прогнозам инфляция в это время каждый год будет составлять 6%,7%,8% и 9%. Какова должна быть сила роста за год, чтобы сумма вклада через четыре года по своей покупательной способности не уменьшилась?

Задача 7. На вклад в 900 тыс. руб. каждые полгода начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 8%. Оцените сумму вклада через 1,5 года с точки зрения покупательной способности, если ожидаемый темп инфляции –0,5 % за квартал.
Контрольные вопросы

1. 
   Как определяется и что характеризует темп инфляции?
   
2. 
   Почему в условиях инфляции необходимо различать номинальную и реальную процентную ставки?
   
3. 
   Может ли реальная процентная ставка быть отрицательной?
   
4. 
   Что определяет формула Фишера?