лекции по теории вероятности. Лекции по теории вероятностей. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике
![]()
|
§ 7. Геометрическая вероятность Пусть ![]() ![]() Р ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождение причала, если время стоянки обоих пароходов – 2 часа. Решение. Пусть х и y время прихода пароходов к причалу. Тогда встреча состоится тогда и только тогда, когда ![]() ![]() ![]() §2. Случайные величины Определение 1. Пусть ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Определение 2. Функция f( ![]() ![]() Последовательность ![]() ![]() ![]() График функции ![]() ![]() Определение 3. Две дискретные случайные величины ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Случайные величины ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() §3. Числовые характеристики дискретных случайных величин Определение 1 Математическим ожиданием дискретной случайной величины ![]() ![]() Для бесконечной случайной величины: ![]() Математическое ожидание обладает следующими свойствами: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой величине: M[C]=C, где С=const. 2. Числовой множитель можно выносить за знак математического ожидания: M[CX]=C·M[X]. 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х и У равно произведению их математических ожиданий: М[XY]=M[X] ·M[Y]. Математическое ожидание суммы двух случайных величин Х и У равно сумме их математических ожиданий: М[X+Y]=M[X] +M[Y]. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю: М(X-M[X])=0. Математическое ожидание любой случайной величины Х представляет собой среднее арифметическое всех возможных значений этой величины. Определение 2. Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания: ![]() Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Среднеквадратичным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии: ![]() Дисперсия обладает следующими свойствами. 1. Дисперсияконстанты равна нулю: D[C]=0, где С=const. 2. При увеличении случайной величины в С раз ее дисперсия увеличится в C2 раз: D[CX]=C2·D[X]. 3. Дисперсия суммы (разности) двух независимых случайных величин Х и У равна сумме из дисперсий: D[X+Y]=D[X] +D[Y]. 4. Дисперсия равна математическому ожиданию квадрата случайной величины минус квадрат ее математического ожидания: D[X]=M[X2] – (M[X])2. §4. Основные законы распределения дискретных случайных величин. 1, Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n с вероятностями ![]() Теорема1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: ![]() Теорема 2. Дисперсия числа появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D[X]=npq. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0, 1, 2, …, m… с вероятностями: ![]() Теорема Пуассона. Закон распределения Пуассона является предельным случаем биномиального закона распределения при ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (Так как вероятность p в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называют законом редких явлений). Теоремой Пуассона можно пользоваться вместо формулы Бернулли, когда n большое число, p- малое и λ=np≤10. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равно: ![]() Дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равна: D[X]= λ. Функция распределения случайной величины Определение 1. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x: ![]() Определение 2. Cлучайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек. Свойства функции распределения Значения функции распределения принадлежат отрезку [0.1]: ![]() Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси, т.е. если х1< х2, то F(x1)≤F(x2). Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, в) равна приращению функции распределения на этом интервале: ![]() Если все возможные значения случайной величины Х находятся на интервале (а, b), то F(x)=0 при х≤а и F(x)=1 при ![]() ![]() ![]() Определение. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию ![]() ![]() Плотность вероятности ![]() Свойство плотности вероятности непрерывной случайной величины Х. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. f(x)≥0. ![]() Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения случайной величины ![]() Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервале [а, в] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от а до в, т.е. ![]() Формулы для математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины |