Рво. Руководство по самостоятельной работе студентов Челябинск 2001 2 удк 621 011(075. 8)
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
1.3. Задачи и вопросы для самоконтроля 1. Напряжение на индуктивности L = 0,1 Гн вцепи синусоидального тока изменяется по закону ) 30 Найти мгновенное значение тока в индуктивности. 2. Ток в емкости С = 0,1 мкФ равен ) 3 400 sin( 1 , 0 π + = t i А. Найти мгновенное значение напряжения на емкости. 3. На участке цепи с последовательно включенными активным сопротивлением R = 160 Ом и емкостью С 26, 54 мкФ мгновенное значение синусоидального тока t i 314 sin 1 , 0 = А. Найти мгновенные значения напряжений на емкости и на всем участке цепи. Чему равны действующие значения этих величин 17 4. Записать уравнения идеальных элементов вцепи синусоидального тока. Нарисовать векторные диаграммы напряжения и тока для этих элементов. 5. Определить понятие угла сдвига фаз ϕ. Почему возникает угол ϕ в цепях синусоидального тока 6. Как определить действующее значение синусоидального тока (напряжения Какой физический смысл имеют эти величины 7. Дать определение активной мощности. В каких единицах измеряется активная мощность Нарисовать схему включения ваттметра. 8. В чем заключается разница между активной, реактивной и полной мощностями. Определить понятия активных и реактивных составляющих напряжения и тока. 10. Как определяются полное, эквивалентные активное и реактивное сопротивление пассивного двухполюсника? 11. Как определяются полная, эквивалентные активная и реактивная проводимость пассивного двухполюсника? 12. Как экспериментально определить эквивалентные параметра пассивного двухполюсника? 13. На участке цепи последовательно включены сопротивление R = 1000 Ом и индуктивность L = 0,12 Гн. Действующее значение синусоидального напряжения В. Частота f = 1000 Гц. Найти действующие значения тока и напряжения на участке цепи. 14. Вычислить действующее значение тока и активную мощность на входе пассивного двухполюсника с эквивалентным активным сопротивлением R = 160 Ом и эквивалентным реактивным сопротивлением Х = 120 Ом. Напряжение на входе двухполюсника U = 20 В. Найти действующее значение тока i в электрических цепях со схемами риса б в. U = 100 В, R = 80 Ом, L X = 100 Ом, C X = 60 Ом. ) а u i R L X C X R u i C X ) б R u i L X ) в Рис. 1.14 16. Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены U = 10 В I = 2 А ϕ = – Найти полное и эквивалентные активное и реактивное сопротивления и проводимости двухполюсника. 18 2. Комплексный метод расчета 2.1. Общие сведения При расчетах установившихся режимов линейных электрических цепей синусоидального тока мгновенным значениям синусоидальных функций времени ставят в соответствие комплексные мгновенного значения. Например, для тока ) sin( ) ( i m t I t i ψ + ω = комплексные мгновенного значение имеет вид Мнимая часть комплексного мгновенного значения равна ) (t i : Комплексное число i j m m e I I ψ = & называют комплексным амплитудным значением или комплексной амплитудой, а i j m Ie I I ψ = = 2 & & – комплексным действующим значением тока. Аналогично определяются комплексные мгновенные значения синусоидальных напряжений, э. д. с, электрических зарядов, магнитных потоков и т. д. Так, напряжению ) sin( ) ( u m t U t u ψ + ω = и э. д. с. соответствуют комплексные мгновенные значения t j j m e e U u u ω ψ = , t j j m e e E e e ω ψ = , комплексные амплитуды u j m m e U U ψ = & , e j m m e E E ψ = & и комплексные действующие значения u j Ue U ψ = & , Производной от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция умножения на ω j комплексного мгновенного значения Интегралу от синусоидальной функции времени (тока) соответствует алгебраическая операция деления на ω j комплексного мгновенного значения ( ) → π − ψ + ω ω = ψ + ω ∫ ) 2 sin( 1 ) sin( i m i m t I t I ω = ω = ω → ψ ω π − ψ ω j i e e j I e e e I i i j t j m j j t j m 2 В последних выражениях использовалась формула Эйлера α ± α = α ± sin При 2 π = α имеем j e j = π 2 , j j e j 1 Математические модели идеальных элементов в комплексной форме приведены в таблице 2.1. Таблица 2.1 Установившийся синусоидальный режим Идеальный элемент Математическая модель элемента относительно вещественных функций времени Математическая модель элемента в комплексной форме Сопротивление = Индуктивность i L u L ) 2 sin( π + ψ + ω ω = i m L t LI u 2 π = = ω = j L L L e I X I jX I L j U & & & & Емкость Для пассивного двухполюсника (риса, вводятся по определению следующие величины Комплексное сопротивление I U Z & & = i u j j Ie Ue ψ ψ = ) ( i u j Ze ψ − ψ = ϕ = j Ze ϕ + ϕ = sin cos jZ Z jX R + = , Комплексная проводимость U I Y & & = u i j j Ue Ie ψ ψ = ) ( i u j Ye ψ − ψ − = ϕ − = j Ye ϕ − ϕ = sin Из последних выражений следует, что этот участок цепи можно представить в виде последовательно соединенных эквивалентных активного R и реактивного сопротивлений (рис. 2. 1, б, либо параллельно соединенных эквивалентных активной G и реактивной B проводимостей (рис. 2. 1, в. Вышеприведенные выражения имеют место при ϕ > 0. Паб в) Рис. 2.1 В таблице 2.2 приведены схемы типичных участков цепи синусоидального тока и комплексные сопротивления этих участков. Таблица 2.2 Схема участка цепи Комплексное сопротивление R I& R Z R = L I& 2 π = = ω = j L L L e X jX L j Z C I& 2 1 π − = − == ω − = j C C C e X jX C j Z 1 Z 2 Z I& 2 1 Z Z Z + = 1 Z 2 Z I& 2 1 2 Переход к комплексным сопротивлениями проводимостям и комплексным действующим значениям напряжений и токов позволяет 1. Записать закон Ома для участка цепи I Z U & & = , 2. Первый закон Кирхгофа для любого узла 0 = ∑ k k I& (алгебраическая сумма по всем k ветвям узла, 3. Второй закон Кирхгофа для любого контура & & U E l l l l ∑ ∑ = (алгебраические суммы по всем l ветвям контура, Мощности источников и пассивных участков цепи в комплексной форме записи имеют вид , sin где S комплексная мощность, i j Ie I ψ − = сопряженный комплекс действующего значения тока, S полная мощность. Вцепи синусоидального тока выполняется баланс комплексных, активных и реактивных мощностей источников и нагрузок ∑ ∑ = l l Z EJ S S , где EJ S , EJ P , EJ Q комплексная, активная и реактивная мощности источников э. д. си тока, Z S , Z P , Z Q комплексная, активная и реактивная мощности нагрузок. Суммирование в этих выражениях ведется по всем ветвям цепи. Комплексная мощность источника э. д. с. E& или тока J& в зависимости от выбранных положительных направлений напряжений и токов определяется по выражениям, приведенным в таблице 2.3. Таблица 2.3 Комплексную мощность нагрузки Z удобно вычислять по выражению 2 I Z I I Z I U S Z Z = = = & & X jI R I 2 2 + = , где Z U& комплексное действующее значение напряжения на нагрузке Z 2.2. Решение типовых задач Задача Мгновенное значение напряжения ) 30 100 sin( 1 , 14 o − = t u В. Записать комплексное мгновенное значение напряжения. Чему равна комплексная амплитуда и комплексное действующее значение этого напряжения Решение По определению - комплексное мгновенное значение ) 30 100 ( 1 , 14 o − = t j e u В, - комплексная амплитуда o & 30 1 , 14 j m e U − = В, - комплексное действующее значение o & & 30 10 2 j m e U U − = = В. Задача Комплексное действующее значение тока 4 3 j I + − = & А. Записать мгновенное значение тока i(t). 22 Решение Комплексное действующее значение тока дано в алгебраической форме записи (рис. 2.2). Перепишем комплексное значение так 4 3 j I + − = & ) 4 3 ( j − − = А. Показательная форма имеет вид = I& – ( ) 3 4 arctg 2 2 4 3 j e − + o 13 , 53 5 j e − − = o 87 , 126 5 j e = А. Комплексная амплитуда ⋅ = = 2 2 I I m & & o 87 , 126 5 j e o 87 , 126 07 , 7 j e = А. 1 + j + 3 − 4 + I& i ψ Рис. По определению ] Im[ t j m e I i ω = & ] 07 , 7 Im[ 87 , 126 t j j e e ω = o ) 87 , 126 sin( 07 , 7 o + ω = t А. В программе Mathcad мнимая единица определяется произведением 1j, знак умножения после набора цифры 1 не ставится. Ниже приведена программа для решения задачи. i 3 j 4 I i = I 5 Im 2 I = Im 7.071 ψi arg( )i = ψi 2.214 ψi arg( ) i 180 π = ψi 126.87 ← Присвоение переменной i комплекса действующего значения. ← Вычисление модуля комплекса i (действующего значения тока. ← Вычисление амплитудного значения тока. ← Вычисление начальной фазы комплекса i в радианах. ← Вычисление начальной фазы комплекса i в градусах. Задача 2.3 Мгновенные значения напряжения и тока на входе пассивного двухполюсника соответственно равны t u 314 sin 100 = В ( ) o 53 314 sin 2 , 0 + = t i А. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухпо- люсника. Решение Комплексы действующего значения напряжения и тока равны = = 2 100 U& 70,71 В = = o & 53 2 2 , 0 j e I 0,141 o 53 j e А. По определению 141 , 0 71 , 70 = = I U Z & & o 53 j e − = 501,5 o 53 j e − = 300,9 – j 399,3 Ом 23 71 , 70 141 , 0 = = U I Y & & o 53 j e = 1,994 ⋅10 –3 o 53 j e = 1,204 ⋅10 –3 + j 1.597 ⋅10 –3 Ом Задача Действующее значение напряжения на входе цепи со схемой рис. 2.3 U = 100 В. Найти действующие значения токов ветвей, если С 20 Ом, R = 80 Ом, X L = 60 Ом. Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. Решение R u i L R i L i C Рис. 2.3 Пусть комплексное напряжение = = U U& 100 В. Комплексные сопротивления - ветвей С – j 20 Ом R Z = 2 = 80 Ом j 60 Ом, - участка 2-3: 3 2 3 2 23 Z Z Z Z Z + = = + = 60 80 60 80 j j 28.8 + j 38.4 = 48 o 1 , 53 j e Ом, - цепи 1 Z Z Z – j 20 + 28.8 + j 38.4 = 28.8 + j 18.4 = Ом. Ток на входе цепи o & & 6 , 32 176 , 34 100 j e Z U I = = = 2,466 – j 1,575 = 2,926 o 6 , 32 j e − А. Напряжение на участке 2-3 = = 23 23 Z I U & & 2,926 o 6 , 32 j e − 48 o 1 , 53 j e = 140,45 o 5 , 20 j e В. Токи ветвей = = 2 23 Z U I R & & 80 45 , 140 5 , 20 o j e = 1.756 o 5 , 20 j e А = = 3 23 Z U I L & & 60 45 , 140 5 , 20 j e j o = 2,341 o 5 , 69 j e − А. Действующие значения токов ветвей = I 2,926 А = R I 1,756 А = L I 2,341 А. Баланс мощностей. Комплексная мощность источника на входе цепи I U S U & = = 100⋅ 2,926 o 6 , 32 j e = 246,6 + j 157,5 ВАР Вт Q U = 157,5 ВА. Комплексная мощность нагрузок 2 2 2 1 2 Z I Z I Z I S L R Z 2,926 2 ⋅(– j 20) + 1,756 2 ⋅80 + 2,341 2 ⋅ j 60 = =246,6 + j 157,5 ВАР Вт Q Z = 157,5 ВА. Баланс мощностей выполняется. На рис. 2.4 в комплексной плоскости построены векторные диаграммы токов и напряжений. Напряжение = = 1 В на 90 ° отстает оттока Ток R I& – в фазе, ток L I& на 90 ° отстает от напряжения 23 U& j + 1 + I& U& 23 U& 1 U& R I& L I& Рис. Задача Вцепи со схемой рис. 2.5 найти комплексы действующих значений токов ветвей, напряжений и u 34 . Действующее значение синусоидального напряжения. Активные сопротивления R 1 = 91 Ом Ом R 4 = 820Ом. Реактивные сопротивления на частоте ω источника напряжения Ом X 2 = 1/ ω C 2 = Ом X 3 = 1/ ω Ом. u i C 3 L 1 R 1 C 2 R 3 R 4 u 34 i 1 i 2 i 3 i 4 u 12 4 1 Рис. 2.5 Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. Решение Назначаем положительные направления токов как на рис. 2.5. Пусть & U U = = 220 Определяем комплексные сопротивления Z R jX j e j 1 1 1 69 91 240 256 Ом Z jX j e j 2 2 90 150 150 = − = Ом Z R jX j e j 3 3 3 20 4 510 190 544 Ом 25 Z R 4 Ом. Ветви R 1 – L 1 и С соединены параллельно, комплексное сопротивление Z Z Z Z Z j e j 12 1 2 1 2 65 4 125 273 6 300 8 = + = − = − , , , o Ом. Ветви R 3 – C 3 и R 4 соединены параллельно, комплексное сопротивление Z Z Z Z Z j e j 34 3 4 3 4 37 5 324 5 70 78 332 18 = + = − = − , , , , o Ом. Комплексное сопротивление цепи Z Z Z j e j = + = − = − 12 34 37 4 449 5 344 4 566 Ом. Ток & & , , , , I U Z e e j j = = = − 100 566 3 0 39 37 4 37 4 o А. Напряжения & & , U I Z e j 12 12 28 116 В & & , U I Z e j 34 34 25 129 В. Токи ветвей & & , , I U Z e j 1 12 1 97 2 0 А, & & , I U Z e j 2 12 2 62 0 78 = = o А, & & , , I U Z e j 3 34 3 45 6 0 24 = = o А, & & , I U Z e j 4 34 4 25 0 А. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. R1 91 R3 510 R4 820 X1 240 X2 150 X3 190 U 220 rgd 180 π u U z1 R1 j X1 Z1 z1 φ 1 rgd arg( ) z1 = z1 91 + 240i = Z1 256.67 = φ 1 69.235 z2 j X2 Z2 z2 φ 2 rgd arg( ) z2 = z2 150i = Z2 150 = φ 2 90 z3 R3 j X3 Z3 z3 φ 3 rgd arg( ) z3 = z3 510 190i = Z3 544.24 = φ3 20.43 z4 R4 = z4 820 z12 z1 z2 z1 z2 Z12 z12 φ 12 rgd arg( ) z12 = z12 124.99 273.62i = Z12 300.8 = φ12 65.45 ← Исходные данные. ← Формула перевода из радиан в градусы. ← Комплекс действующего значения приложенного напряжения ← Расчет комплексных сопротивлений ветвей. ← Расчет комплексных сопротивлений участков 1–2 и 3–4. 26 z34 z3 z4 z3 z4 Z34 z34 φ 34 rgd arg( ) z34 = z34 324.55 70.78i = Z34 332.18 = φ 34 12.3 z z12 z34 φ rgd arg( ) z Z z = Z 566.3 = z 449.54 344.4i = φ 37.46 i u z I i ψi rgd arg( ) i = i 0.31 + 0.24i = I 0.39 = ψi 37.46 u12 .iz12 U12 u12 ψu12 rgd arg( ) u12 = u12 103.19 54.85i = U12 116.86 = ψu12 27.99 u34 .iz34 U34 u34 ψu34 rgd arg( ) u34 = u34 116.81 + 54.85i = U34 129.05 = ψu34 25.15 i1 u12 z1 I1 i1 ψi1 rgd arg( ) i1 = i1 0.06 0.45i = I1 0.46 = ψi1 97.23 i2 u12 z2 I2 i2 ψi2 rgd arg( ) i2 = i2 0.37 + 0.69i = I2 0.78 = ψi2 62.01 i3 u34 z3 I3 i3 ψi3 rgd arg( ) i3 = i3 0.17 + 0.17i = I3 0.24 = ψi3 45.59 i4 u34 z4 I4 i4 ψi4 rgd arg( ) i4 = i4 0.14 + 0.07i = I4 0.16 = ψi4 25.15 ← Расчет комплексного сопротивления цепи. ← Расчет комплекса действующего значения тока i . ← Расчет комплексов действующего значения напряжений и u 34 ← Расчет комплексов действующего значения токов ветвей. Баланс мощностей. Комплексная мощность источника напряжения U 98 , 51 85 , 67 39 , 0 220 4 , 37 j e I U S j U − = ⋅ = = − o & ВА. I Ie j i = − ψ – сопряженный комплексный ток. Активная мощность 85 , 67 = U P Вт, реактивная мощность 98 , 51 − = U Q ВА. Характер реактивной мощности емкостной. Комплексная мощность нагрузок = Z S I Z I Z I Z I Z 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 4 + + + = = 0,46 2 ( 91+j 240) + 0,78 2 (– j 150) + 0,24 2 (510 – j 190) + 0,16 2 ⋅820 = =67 85 51 98 , , − j ВА Баланс мощностей выполняется. Для построения топографической диаграммы напряжений и векторной диаграммы токов необходимо дополнительно рассчитать напряжения ; ; 2 1 a a U U & & 4 3 ; b b U U & & (рис. 2.5). Расчет в программе Mathcad приводится ниже i1 j X1 = u1a 108.4 13.75i ua2 i1 R1 = ua2 5.21 41.1i u3b i3 ( ) j X3 = u3b 32.18 31.53i = ub4 84.63 + 86.38i ub4 i3 Диаграммы представлены на рис. 2.6. &I 1 &I 2 &I &I 3 &I 4 + j + Рис. 2.6 Задача Вцепи со схемой рис. 2.7 найти мгновенные значения токов и Э. д. с. ) ( t e t 314 sin 12 = В 47 = R кОм С = 0,068 мкФ 25000 12000 j Z + = Ом. Решение Назначаем положительные направления токов как на рис. 2.7. Комплексная амплитуда э. д. с. = m E& 12 В. Z R C C ) (t e 1 2 3 Рис. 2.7 Комплексные сопротивления на частоте 314 = ω с –1 : - участок 1–2 C j Z ω − = 1 1 = 068 , 0 314 10 6 ⋅ − j = – j 4.681⋅10 4 Ом- участок 1–3 R Z = 2 = 47⋅10 3 Ом- участок 2–3 C j Z ω − = 1 3 = 068 , 0 314 10 6 ⋅ − j = – j 4.681⋅10 4 Ом В схеме рис. 2.7 нет ни последовательно, ни параллельно соединенных участков. Поэтому с целью использования для расчета метода эквивалентных преобразований заменяем треугольник из сопротивлений эквивалентной звездой (рис. 2.8). Комплексные сопротивления d Z Z Z 2 1 12 = ; d Z Z Z 3 1 13 = ; d Z Z Z 3 2 23 = , где = d 1 Z + 2 Z + 3 Z , Z ) (t e 1 3 1 i 2 i 2 12 Z 13 Z 23 Z 0 Рис. 2.8 = + = 2 13 01 R Z Z 1,41 ⋅10 4 – j 1.869 ⋅10 4 Ом, = + = Z Z Z 23 02 3,08 ⋅10 4 + j 1.56 ⋅10 4 Ом, = + = 02 01 02 01 0 Z Z Z Z Z 1.66 ⋅10 4 – j 6,76 ⋅10 3 Ом. Комплексные амплитуды токов ветвей = + = 0 12 Z Z E I m m & & 0,308 o 5 , 24 j e мА = = 01 0 1 Z Z I I m m & & 0,236 o 4 , 55 j e мА = = 02 0 2 Z Z I I m m & & 0,16 o 4 , 24 j e − мА. Мгновенные значения токов ( ) o 4 , 55 314 sin 236 , 0 1 + = t i мА ( ) o 4 , 24 314 sin 16 , 0 2 − = t i мА. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. Em 12 f 50 ω 2 π f = ω 314.159 R 47 10 3 C 0.068 10 6 z 12 10 3 j 25 10 3 em Em z1 j ω C z2 R z3 j ω C = z1 4.681 10 4 j = z2 4.7 10 4 = z3 4.681 10 4 j d z1 z2 z3 z12 z1 z2 d z13 z1 z3 d z23 z2 z3 d z01 z13 R 2 = z01 1.412 10 4 1.869 10 4 j z02 z23 z = z02 3.077 10 4 + 1.558 10 4 j ← Исходные данные. ← Комплекс амплитудного значения э. д. с. ← Расчет комплексных сопротивлений участков. ← Эквивалентные преобразования из треугольника в звезду. ← Расчет комплексных сопротивлений 1000 0.308 ψim 180 π arg( ) im = ψim 24.567 u0m im z0 i1m u0m z01 = i1m 1000 0.134 + 0.194j I1m i1m = I1m 1000 0.236 ψi1m 180 π arg( ) i1m = ψi1m 55.39 i2m u0m z02 = i2m 1000 0.146 0.066j I2m i2m = I2m 1000 0.16 ψi2m 180 π arg( ) i2m = ψi2m 24.405 ← Расчет комплексных амплитуд токов. |