Рво. Руководство по самостоятельной работе студентов Челябинск 2001 2 удк 621 011(075. 8)
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
4. Расчет установившихся режимов цепи синусоидального тока с индуктивно связанными элементами 4. 1. Общие сведения На риса б показаны фрагменты схем электрических цепей с индуктивно связанными элементами. Точками отмечены так называемые одноименные зажимы. Зажимы называются одноименными, если при одинаковом способе подтекания тока к этим зажимам потокосцепления само – и взаимоиндукции складываются. ) б & U 1 & U 2 &I 2 &I 1 L 1 L 2 M обход обход обход обход Рис. 4.1 В установившимся режиме синусоидального тока напряжение на индук- тивно связанных элементах определяются составляющими напряжений само – и взаимоиндукции. Для элементов и L 2 напряжения соответственно равны & & & & & U U U j L I j MI L M 1 1 2 1 1 2 = ± = ± ω ω ; & & & & & U U U j L I j MI L M 2 2 1 2 2 При записи уравнений второго закона Кирхгофа для индуктивно связанных элементов составляющая напряжения самоиндукции 1 1 1 I L j U L & & ω = и 2 2 2 I L j U L & & ω = записывается по тем же правилам, что при отсутствии индуктивной связи знак плюс ставится, если положительное направление тока и направление обхода элемента L 1 или L 2 совпадают. Составляющая напряжения взаимоиндукции = 2 M U& 2 12 I M j U & & ω = в уравнение для элемента L 1 входит со знаком плюс, если направление обхода элемента L 1 и направление тока &I 2 в элементе относительно одноименных зажимов совпадают и со знаком минус, если не совпадают. Правило знаков для = 1 M U& 1 21 I M j U & & ω = после замены индексов 1 на 2 и 2 на 1 остается таким же. Для цепей со схемами риса б соответственно имеем & & & U j L I j MI 1 1 1 2 = + ω ω ; & & & U j L I j MI 2 2 2 1 = + ω ω , & & & U j L I j MI 1 1 1 2 = − ω ω ; & & & U j L I j MI 2 2 2 1 = − ω ω Каноническая форма уравнений метода контурных токов для цепи с ин- дуктивно связанными элементами могут быть получены непосредственно по виду схемы электрической цепи. На рис. 4.2 показаны фрагменты электрической цепи с контурным током &I kk и индуктивно связанными элементами. L 1 L 2 M &I kk M &I kk ) a ) б L 1 L 2 Рис. 4.2 В собственное сопротивление Z kk кроме сопротивлений прочих ветвей войдет величина + 2Z M , так как контурный ток &I kk по отношению одноименных зажимов ориентирован одинаковым образом (риса) или − 2Z M , так как контурный ток &I kk по отношению одноименных зажимов ориентирован неодинаковым образом (рис. 4.2, б. На рис. 4.3 показаны фрагменты электрической цепи с контурными токами &I kk , &I mm и индуктивно связанными элементами в этих контурах. ) б M ) a M &I kk &I mm &I kk &I mm L 1 L 2 L 1 L 2 Рис. 4.3 В общее сопротивление контуров Z Z km mk = кроме сопротивлений ветвей общих для этих контуров войдет величина + Z M , если контурные токи &I kk и &I mm по отношению одноименных зажимов ориентированы одинаковым образом риса) или − Z M , если контурные токи &I kk и &I mm по отношению одноименных зажимов ориентированы неодинаковым образом (рис. 4.3, б. Уравнения метода узловых напряжений могу быть получены по виду схемы, если сделать развязку индуктивных связей (рис. 4.4). Рис. 4.4 52 2. Решение типовых задач Задача К цепи со схемой рис. 4.5 приложено синусоидальное напряжение с действующим значением U =100 B. Активное сопротивление R =100 Ом, на частоте приложенного напряжения реактивные сопротивления X L1 = X L2 = X C =100 Ом X L1 Найти действующие значения токов ветвей, активную мощность, передаваемую из одной ветви в другую за счет индуктивной связи между ними. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. Рис. 4.5 Решение Принимаем комплекс действующего значения & U = 100 В. Для указанных на рис направлений токов уравнения Кирхгофа имеют вид 2 1 I I I & & & + = ; U I jX I Z M & & & = + 2 1 1 ; U I Z I jX M & & & = + 2 2 1 , где 0 100 100 1 1 = + − = + − = j j jX jX Z L C ; Z R jX j L 2 2 100 100 = +Ом jX j M = Ом. Умножаем второе уравнение на Z 2 , третье на − jX M и складываем полученные уравнения. Получаем 2 4 2500 50 100 100 100 ) ( 2 2 1 2 1 j j j jX Z Z jX Z U I M M + = − + = − − = & & А. Умножаем второе уравнение на − jX M , третье – на Z 1 и складываем. Получаем & & ( ) I U Z jX Z Z jX j j M M 2 1 1 2 2 100 50 2500 2 = − − = − = − А. Ток &I j j = + − = 4 2 2 4 А. Действующие значения токов I I 1 1 4 А I I 2 А I = А. Для построения векторных диаграмм рассчитаем напряжения на элементах ветвей. & & & U jX I jX I L L M 1 1 1 2 = + ; & & & U jX I jX I L L M 2 2 2 1 = + , 53 jX I j j j L 1 1 100 4 2 200 400 & ( ) = + = В jX I j j M & ( ) 2 50 В & U j L 1 100 400 = В & & ( ) U jX I j j C C = − = − + = 1 100 4 2 = 200 – j 400 В I j j L 2 2 100 В jX I j j M & ( ) 1 50 4 2 = + = = − + 100 В & U j L 2 100 В & U j R = − В. Векторные диаграммы токов и напряжений приведены на рис. 4.6. RI& 2 jX I L1 1 & jX I M & 2 & U L1 − jX I C & 1 & U jX I L2 2 & jX I M & 1 & U L2 + 1 + Рис. 4.6 Рассчитываем комплексные мощности первой и второй индуктивностей, обусловленные индуктивной связью между ними. Получаем 1 2 1 1 1 I I jX I U S M M M & & = = = j50 (– j2)(4 – j2) = 400 – j200 BA; = = = 2 1 2 2 2 I I jX I U S M M M & & j50(4 + j2) j2 = – 400 – j200 ВА. Активная мощность в индуктивности Р 1М Вт Р 1М > Мощность отдается в магнитное поле индуктивностью. Активная мощность в индуктивности Р 2М = – Вт Р 2М < 0. Эта мощность поступает виз магнитного поля и численно равна мощности Р 1М Таким образом, активная мощность источника ист = 400 Вт через первую ветвь поступает во вторую и превращается в тепло в резисторе Рис. 4.7 Действительно, мощность, рассеиваемая резистором R равна 2 2 R I P R = = 400 Вт. На рис. 4.7 показана схема включения ваттметров, для регистрации мощностей Р 1М и Р 2М . Следует отметить, что индуктивности L 1 и L 2 – идеальные элементы. Их активное сопротивление равно нулю. Задача 4. Найти токи ветвей, напряжение 2 U и входное сопротивление вцепи со схемой рис. 4.8. Рассчитать величину активной мощности, передаваемой из ветвисто- ком I 1 в ветвь стоком, магнитным полем. Построить векторные диаграммы токов и напряжений. U 1 =220B; R 1 = Ом R 2 = 40Ом; R 1 R 2 Z & U 1 & U 2 L 1 L 2 &I 1 &I 2 Рис. 4.8 X 1 = Ом Ом k C =0,6 ; Z j = − 40 Ом. Решение Выбираем положительные направления токов и напряжений как на рис. 4.8. Принимаем & U 1 В. Величина 67 , 53 2 1 C = = X X k X M Ом. Обозначаем Z R jX j 1 1 1 60 Ом Z R jX j 2 2 2 40 80 = + = + Ом Z jX j M M = = 53 67 , Ом Уравнения Кирхгофа имеют вид & & & I Z I Z U M 1 1 2 1 + = ; & & I Z I Z M 2 2 1 Из второго уравнения 2 Из первого уравнения получаем & & I U Z Z Z Z M 1 1 1 Комплексные действующие значения токов равны & , , , , I j e j 1 44 9 1 33 1 32 1 А & , , , I j e j 2 171 8 1 0 14 1 01 = − А. Напряжение & & U I Z 2 2 = = − + = 42 76 14 16 45 05 161 В. Входное сопротивление определяем по закону Ома. j M e j Z Z Z Z I U Z o & & 9 , 44 2 2 1 1 1 Вх 2 , 117 07 , 82 04 , 83 = + = + − = = Ом. Для построения векторной диаграммы рассчитываем напряжения на элементах & & , , U I R j R1 1 1 77 79 79 В & & , , U I jX j XL L 1 1 1 132 47 132 В & & , , U I jX j M M 1 2 7 75 53 В & & , , U I R j R2 2 2 39 88 5 78 = = В & & , , U I jX j XL L 2 2 2 11 55 79 В & & , , U I jX j M M 2 1 71 09 71 В & & , , U I Z j Z = = − + 2 2 42 76 14 В. Векторные диаграммы напряжения и тока представлены на рис. 4.9. & U L1 jX I 1 1 & jX I M & 2 & U R1 & U jX I M & 1 jX I 2 2 & & U L2 & U R2 & U 2 &I 2 &I 1 + 1 + Рис. 4.9 Рассчитываем баланс мощностей. Комплексные мощности ист источника и нагрузок нагр S равны j I U S 42 , 291 55 , 292 ист & ВА, ( нагр = S & U R1 + & ) U I XL1 1 + & U I M 1 1 + ( & U R2 + & & ) U U I XL Z 2 2 + + & U I M 2 2 = = + 292 55 291 42 , , j ВА. Баланс мощностей выполняется. Активная мощность M P 1 , отдаваемая в магнитное поле индуктивностью L 1 , = = ) Re( 2 1 1 I U P M M & 81,17 Вт. Активная мощность M P 2 , получаемая из магнитного поля индуктивностью 2 L , 56 = = ) Re( 1 2 2 I U P M M & – 81,17 Вт P P M M 1 2 = Активная мощность, рассеиваемая на активных сопротивлениях второй ветви, P I R Z 2 2 2 2 8117 = + = ( Re( Вт, P P M 2 Задача 4. Найти токи ветвей цепи со схемой рис. 4.10. Величины комплексных сопротивлений Ом Z 2 6 = Ом Z j 3 6 = − Ом, реактивные сопротивления индуктивностей L 1 и L 2 : X L1 = Ом X L2 = Ом, коэффициент связи k C =0,85, 1 E& = 50 В 50j В. Проверить выполнение баланса мощностей. L 1 L 2 &I 2 &I 1 &I 3 &E 1 &E 2 Z 1 Z 2 Z 3 1 2 M &I 1 &I 3 &I 2 &I 11 &I 22 Рис. 4.10 Решение Методом контурных токов. Определяем положительные направления токов ветвей и главные контура как показано на рис. 4.10. Комплексное сопротивление взаимной индукции 2 Уравнение в матричной форме записи имеет вид = ⋅ 22 11 22 11 22 21 12 Собственные комплексные сопротивления контуров Z Z Z j X X Z L L M 11 1 2 1 2 2 = + + + + ( ) ; Z Z jX Z L 22 1 1 Общие комплексные сопротивления контуров M L Z jX Z Z − − − = 1 1 12 , 12 Собственные э. д. с. контуров & & & E E E 11 1 2 = − + ; & & E E 22 1 = В собственное комплексное сопротивление первого контура Z 11 вошла величина + 2Z M , т. к. контурный ток &I 11 ориентирован относительно одноименных зажимов элементов X L 1 и X L 2 одинаковым образом. В общее комплексное сопротивление 12 Z вошла величина − Z M , т. к. контурные токи &I 11 и &I 22 ориентированы относительно одноименных зажимов элементов X L 1 и X L 2 неодинаковым образом. Подставляя данные, матричное уравнение принимает вида его решение + − − − − − − + = − 50 50 50 8 10 58 , 4 10 58 , 4 10 17 , 21 16 1 22 11 j j j j j I I & & , дает значения контурных токов &I 11 = 1,45 + А 0,11 + 5,31 j А. Токи ветвей = = 11 2 I I & & 1,45 + 4 ,56j o 72 А, = = 22 3 I I & & 0,11 + 5,31 j o 89 31 , 5 j e = А, & & & , , , I I I j e j 1 11 22 150 1 34 0 76 1 54 = − + = − + = o А. Напряжения на элементах ветвей для построения топографической диаграммы напряжений & & , , U jX I j XL L 1 1 1 4 54 8 03 = = В I j M M 1 2 30 9 В, & & , , U I Z j Z1 1 1 7 34 18 27 = = В I j XL L 2 2 2 45 57 14 52 = = В I j M M 2 1 4 98 8 В Z j Z 2 2 2 8 71 27 В, & & U I Z 3 3 3 = =31,88 – 0,68 j Для расчета баланса мощностей определяем напряжения & & ( ) & U I Z jX I Z L M 1 1 1 1 2 = + − = 18,12 + 0,68j B, & & ( ) & U I Z jX I Z L M 2 2 2 2 1 = + − = – 31,88 + 50,68 j B, & & U I Z 3 3 3 = =31,88 – 0,68j B . Комплексные мощности источников 58 2 2 ист + 34,8 j BA и нагрузок = + + = 3 3 2 2 1 1 нагр I U I U I U S & & & 160,8 + 34,8 j BA равны. Баланс мощностей выполняется. Методом узловых напряжений. Делаем развязку индуктивных связей схема на рис. 4. 11). При таком, как на рис. 4.10 расположение одноименных зажимов, к индуктивностями необходимо прибавить + М, а в ветвь добавить комплексное сопротивление В схеме два узла. Узел 0 базисный. Узловое уравнение имеет вид L M 1 + L M 2 + &I 2 &I 1 &I 3 &E 1 &E 2 Z 1 Z 2 Z 3 0 M j ω − & U 10 Рис. 4.11 & ( ( ) ( ) ) U Z j X X Z j X X Z jX L M L M M 10 1 1 2 2 3 1 1 1 + + + + + + − = = + + + + + & ( ) & ( ) E Z j X X E Z j X X L M L M 1 1 1 2 2 После подстановки данных получаем уравнение ( , , ) & , , 0 1 0 01 6 8 0 93 10 − = − j U j , откуда & , , U j 10 66 86 1 42 = − В. Токи ветвей & & & ( ) , , I E U Z j X X j L M 1 10 10 1 1 1 34 0 76 = − + + = − + = 1 54 А & & & ( ) , , I E U Z j X X j L M 2 20 10 2 2 1 45 4 56 = − + + = + = 4 78 72 , e j o А & & , , I U Z jX j M 3 10 3 0 11 5 31 = − = + = 5 31 А. Внимание. Напряжения на элементах ветвей необходимо рассчитывать по выражения для цепи со схемой рис. 4.10. Решение методом контурных токов с использованием топологический формул. Для графа на рис. 4.10 (выделена ветвь дерева) записываем матрицы главных контуров |