Рво. Руководство по самостоятельной работе студентов Челябинск 2001 2 удк 621 011(075. 8)
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
B = − 1 1 0 1 0 1 , э. д. с. ветвей E = & & E E 1 2 0 , комплексных сопротивлений ветвей Z b L M M L Z jX jX jX Z jX Z = + − − + 1 1 2 2 3 0 0 Элементы матрицы Z b Z Z jX M 12 21 = = − , так как относительно одноименных зажимов токи ветвей ориентированы неодинаковым образом. Для расчета баланса мощностей следует использовать выражения комплексная мощность источников I E T S = ист , комплексная мощность нагрузок I U T S & = нагр В этих выражениях T E – транспонированная матрица, I – матрица сопряженных комплексных токов. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. z1 10 8j z2 6 z3 6j XL1 6 XL2 10 kc 0.85 e1 50 e2 50j XM kc XL1 XL2 = XM 6.58 rg 180 π B 1 1 1 0 0 1 Zb z1 j XL1 j XM 0 j XM z2 j XL2 0 0 0 z3 Eb e1 e2 0 = Zb 10 2i 6.58i 0 6.58i 6 + 10i 0 0 0 6i = Eb 50 50i 0 Znn B Zb T B = Znn 16 + 21.17i 10 4.58i 10 4.58i 10 8i Enn B Eb = Enn 50 + 50i 50 Inn Znn 1 Enn = Inn 1.45 + 4.56i 0.11 + 5.31i ← Исходные данные. ← Расчет сопротивления взаимной индукции. ← Формула перевода из радиан в градусы. ← Определение и расчет топологических матриц. ← Расчет матрицы контурных сопротивлений. ← Расчет матрицы контурных э. д. с. ← Расчет матрицы контурных токов. 60 Ib T B Inn = Ib 1.34 + 0.76i 1.45 + 4.56i 0.11 + 5.31i i1 i2 i3 Ib = i1 1.34 + 0.76i = i2 1.45 + 4.56i = i3 0.11 + 5.31i I1 i1 ψi1 rg arg( ) i1 = I1 1.54 = ψi1 150.55 I2 i2 ψi2 rg arg( ) i2 = I2 4.78 = ψi2 72.32 I3 i3 ψi3 rg arg( ) i3 = I3 5.31 = ψi3 88.78 U Zb Ib = U 18.12 + 0.68i 31.88 + 50.68i 31.88 0.68i u1 u2 u3 U U1 u1 ψu1 rg arg( ) u1 = U1 18.14 = ψu1 2.14 U2 u2 ψu2 rg arg( ) u2 = U2 59.87 = ψu2 122.17 U3 u3 ψu3 rg arg( ) u3 = U3 31.88 = ψu3 1.22 Se T Eb Ib = Se 160.88 + 34.8i Sz T U Ib = Sz 160.88 + 34.8i ← Расчет матрицы токов ветвей. ← Расчет действующих значений и начальных фаз токов ветвей. ← Расчет матрицы напряжений на элементах ветвей. ← Расчет действующих значений и начальных фаз напряжений на элементах ветвей. ← Расчет комплексной мощности источников. ← Расчет комплексной мощности нагрузок. Токи ветвей o & 150 1 54 , 1 j e I = А o & 72 2 78 , 4 j e I = А o & 89 3 31 , 5 j e I = А. 4.3. Задачи и вопросы для самоконтроля 1. Какие зажимы индуктивно связанных элементов называются одноименными 2. Сформулировать правила записи уравнений второго закона Кирхгофа для цепи с индуктивно связанными элементами. 3. Сформулировать правила, по которым определяются собственные и общие сопротивления контуров. 4. Чему равна эквивалентная индуктивность двух последовательно согласно включенных индуктивностей 5. Записать уравнения Кирхгофа для цепей со схемами рис. 4.13, 4.14. 6. Записать уравнения методов контурных токов и узловых напряжений для цепи со схемой рис. 4.13. 7. Определить показания вольтметра U (рис. 4.14), если = 1 R 120 Ом, = ω 1 L 160 Ом, = ωC 1 320 Ом. Коэффициент связи = C k 0,9. Вольтметр идеальный и измеряет действующие значения напряжения. 8. Записать уравнения Кирхгофа для схемы цепи по рис. 4.14, если вместо вольтметра U включен амперметр А ( 0 A = R ). 61 Рис. 4.13 Рис. 4.14 9. Две индуктивности соединены параллельно согласно (встречно. Чему равна их эквивалентная индуктивность 10. Выполнить развязку индуктивных связей и записать выражение для входного сопротивления цепи со схемой рис. 4.13. 11. Найти действующее значение тока вцепи со схемой рис. 4.15. = R 10 Ом, = ω 1 L = ω 2 L C ω 1 = 20 Ом, = ωM 15 Ом, = U 100 В. 12. Рассчитать входное сопротивление цепи со схемой рис. 4.15 для случая согласного включения индуктивностей 1 L и Рис. 4.15 13. Построить векторную диаграмму напряжений цепи со схемой рис. 4.15. 14. Записать в общем виде выражение входного комплексного сопротивления цепи со схемой рис. 4.15. 15. Записать уравнения метода контурных токов для цепи со схемой рис. 4.16. Э. д. с. Рис. 4.16 62 5. Расчет установившихся режимов электрической цепи периодического несинусоидального тока 5. 1. Общие сведения Периодическую несинусоидальную функцию, например напряжения u(t) = ) ( T t u + = , где Т период, можно представить тригонометрическим рядом Фурье ) cos sin ( ) ( 1 Коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера A T u t dt T 0 0 1 = ∫ ( ) ; B T u t k t dt k T = ∫ 2 0 ( ) sin ω ; C T u t k t dt k T = ∫ 2 0 ( ) cos Ряд Фурье можно представить в другой более удобной при расчетах форме ) sin( ) ( 1 0 ∑ ∞ = ψ + ω + = k k km t k U U t u , где 2 2 k k km C B U + = ; ψ k k k C B = Поскольку T f π = π = ω 2 2 , то ) 2 sin( ) ( 1 Гармоника с номером k = 1 имеет период заданной функции и называется основной. Остальные гармоники называются высшими. Каждой гармонической составляющей периодической несинусоидальной функции, например напряжения u(t), можно поставить в соответствие ее комплексную амплитуду = km U& k j km e U ψ . Набор амплитудных значений km U называется дискретным частотным спектром, а набор k ψ – дискретным фазовым спектром напряжения Расчет линейной электрической цепи с одним или несколькими источниками периодических несинусоидальных э. д. си (или) токов состоит из следующих этапов. 1. Функции э.д.с. и токов источников представляют рядом Фурье вида ) sin( 1 0 ∑ = ψ + ω + n k k k t k A A с конечным числом членов. Для расчета обычно берут постоянную составляю, основной гармонику и две, три высших гармонических составляющих. 63 2. Решают основную задачу расчета цепи для каждой составляющей ряда п. 1. Токи (напряжения) ветвей определяют по принципу наложения. Расчет гармонических составляющих ведется комплексным (символическим) методом. Необходимо помнить, чтовеличины реактивных сопротивлений зависят от частоты (от номера гармоники Х kω L ; X C (k ω)= C k ω 1 . Действующие значения токов и напряжений определяют по выражениям I I I I I k = + + + + 0 2 1 2 2 2 2 K K ; U U U U U k = + + + + 0 2 1 2 2 2 2 K K . , где I 0 , U 0 – величины постоянной составляющей, I 1 , U 1 , I 2 , U 2 и т. д. – действующие значения гармонических составляющих тока и напряжения, соответственно. Активная мощность P T uidt T = ∫ 1 представляет собой сумму активных мощностей постоянной составляющей и каждой гармонической составляющей P U I U I U I U I k k k = + + + + 0 0 1 1 1 2 2 2 cos cos Реактивная мощность K K + ϕ + ϕ + ϕ = k k k I U I U I U Q sin sin sin 2 2 2 1 1 Здесь 1 1 1 i u ψ − ψ = ϕ ; 2 2 2 i u ψ − ψ = ϕ ; ik uk k ψ − ψ = ϕ – углы сдвига фаз между напряжением и током на участке цепи на первой, второй и высших гармониках. Полная мощность S U U U U k = + + + + ⋅ 0 2 1 2 2 2 2 K K I I I I k 0 2 1 2 2 2 2 + + + + K K = При несинусоидальных напряжениях и токах 2 2 2 Q P S + ≥ . Величину ( ) 2 называют мощностью искажения. Коэффициент мощности м вцепи несинусоидального тока определяется по выражению м = = Степень отличия несинусоидальной функции, не имеющей постоянной составляющей, например напряжения ) sin( ) ( 1 ∑ ∞ = ψ + ω = k k km t k U t u , от синусоидальной формы характеризуют коэффициенты − формы cp ф, − амплитуды U U k max a = , − искажения U U k 1 и = Здесь: U действующее, max U максимальное, dt t u T U T ∫ = 0 cp ) ( 1 среднее по модулю значения напряжения ) (t u , 1 U действующее значение основной (первой) гармоники напряжения Для синусоидального напряжения фа и. В радиотехнике и электронике для оценки искажений пользуются коэффициентом гармоник ∑ ∞ = = 2 2 1 г 1 k k U U k При отсутствии постоянной составляющей ( = 0 U 0) и и г 1 1 k k k − = 5. 2. Решение типовых задач Задача Найти разложение вряд Фурье для последовательности прямоугольных импульсов напряжения (рис. 5.1). Параметры импульса = m U 10 В, частота следования f = 1000 Гц, длительность импульса им Решение Период следования импульсов 3 10 1000 1 1 − = = = f T с. T им t 0 T 2 T 3 t ) (t u max U Рис. 5.1 Аналитическое выражение напряжения u t ( ) имеет видим им T t t t t U t u m Ряд Фурье содержит постоянную составляющую и гармонические составляющие В и С. Положим k = 9, тогда ) 2 sin( ) ( 9 Постоянная составляющая = 0 U dt t u T T ) ( 1 им 0 10 1 T t T 2,5 В. Гармонические составляющие ряда dt t t u T B T sin ) ( 2 0 1 ω = ∫ dt t U T t sin им + ω − ω = ω − ω = 0 cos 4 cos 2 cos 2 m 4 0 m T T U t T U T π ⋅ = 2 10 2 = 3,183 В dt t t u T C T cos ) ( 2 им 0 m T T U t T U T π ⋅ = 2 10 2 = 3,183 В dt t t u T B T sin2 ) ( 2 0 2 ω = ∫ dt t U T t 2 sin им ) 1 1 ( 2 0 cos 4 2 cos 2 cos 2 2 m m 4 0 m + π = + ω − ω = ω − ω = U T T U t T U T π = 10 = 3,183 В dt t t u T C T 2 cos ) ( 2 им 2 sin 2 2 2 sin 2 m 4 0 m T U t T U T = 0 В dt t t u T B T sin3 ) ( 2 0 3 ω = ∫ dt t U T t 3 sin им π = + ω − ω = ω − ω = 3 0 cos 4 3 cos 3 2 3 cos 3 2 m m 4 0 m U T T U t T U T π = 3 10 = 1,061 В 66 dt t t u T C T 3 cos ) ( 2 им 3 sin 3 2 sin 3 2 m 4 0 m T U t T U T = – 1,061 В dt t t u T B T sin4 ) ( 2 0 4 ω = ∫ dt t U T t 4 sin им + ω − ω = ω − ω = 0 cos 4 4 cos 4 4 cos 4 2 m 4 0 m T T U t T U T = 0 В dt t t u T C T 4 cos ) ( 2 им 4 sin 4 4 sin 4 2 m 4 0 m T U t T U T = 0 В Выполнив вычисления для остальных высших гармоник, получим ВВС В ВВС В ВВС В; В 8 = 0 В СВ ВВС В, Для представления ряда в форме ) 2 sin( ) ( 9 запишем комплексные амплитуды ряда k k km jC B U + = & : 183 , 3 183 , 3 1 j U m + = & = 4,502 785 , 0 j e В m U 2 & = 3,183 В, 061 , 1 061 , 1 3 j U m − = & = 1,501 785 , 0 j e − В 0 В, 637 , 0 637 , 0 5 j U m + = & = 0,9 785 , 0 j e В В, 455 , 0 455 , 0 7 j U m − = & = 0,643 785 , 0 j e − В 0 В, 354 , 0 354 , 0 9 j U m + = & = 0,5 785 , 0 j e В. Начальные фазы комплексных амплитуд даны в радианах. Так как 0,785 рад, то ряд Фурье имеет вид = ) (t u 2,5 + 4,502 ) 45 cos( o + ωt + 3,183 t ω 2 cos + 1,501 ) 45 3 cos( o − ωt + + 0,9 ) 45 5 cos( o + ωt +1,061 t ω 6 cos + 0,643 ) 45 7 cos( o − ωt + 0,5 ) 45 9 cos( o + ωt В Расчет коэффициентов ряда удобно выполнять в пакете Mathcad. Ниже приводится программа вычисления коэффициентов ряда. U1m 10 f 1000 T 1 f = T 1 10 3 tim T 4 k 1 9 U0 1 T d 0 tim t U1m = U0 2.5 B k 2 T d 0 tim t U1m sin k 2 π T t C k 2 T d 0 tim t U1m cos k 2 π T t u k B k j C k Um k u k ψ k arg u k u k 3.183 3.183j 3.183 1.061 1.061j 6.761j 10 9 0.637 0.637j 1.061 0.455 0.455j 9.215j 10 6 0.354 0.354j Um k 4.502 3.183 1.501 6.761 10 9 0.9 1.061 0.643 9.215 10 6 0.5 ψ k 0.785 0 0.785 1.571 0.785 1.988 10 15 0.785 1.571 0.785 t , 0 T 100 2 T u( ) t if U1m < t tim if U1m < < T t T tim otherwise 0 uf( ) t = 1 9 k Um k sin k 2 π T t ψ k U0 0 4 10 4 8 10 4 0.0012 0.0016 0.002 5 0 5 10 15 u( ) t uf( ) t t ← Задание исходных данных, числа гармоник ряда Фурье Расчет постоянной составляющей U 0 ← Расчет коэффициентов ряда. ← Расчет комплексных амплитуд ряда Фурье. ← Определение интервала расчета и функции u t ( ) ← Ряд Фурье ) ( f t u ← Графики напряжения и ряда Фурье По оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат напряжение в вольтах Задача Напряжение и ток на пассивном участке цепи соответственно равны = ) (t u 10+ 14,1 t 314 sin + 14,1 t 942 sin В = ) (t i 1+ 1,41 ) 30 314 sin( o − t А. Найти действующие значения напряжения и тока, коэффициент мощности цепи. Решение Действующие значения напряжения и тока = + + = 2 1 , 14 2 1 , 14 10 2 2 2 U 17,3 В = + = 2 41 , 1 1 2 2 I 1,41 А. Коэффициент мощности м Активная мощность o 30 cos 2 41 , 1 2 1 , 14 10 ⋅ + = P = 10 + 8,66 = 18,66 Вт. Полная мощность = S 17,3 ⋅1,41 = 24,4 ВА. Коэффициент мощности м = Задача К цепи со схемой рис. 5.2 приложено напряжение В. Найти мгновенное значение тока 1 i , если = R 10 Омана частоте ω напряжения реактивные сопротивления = C X 30 Ом, = L X 30 Ом. Решение L C R ) (t u 1 i 2 i 3 i Рис. 5.2 Рассчитываем ток 10 i для постоянной составляющей U0 =10 В. На постоянном токе емкость С – разрыв, индуктивность L – короткое замыкание. По закону Ома ток 10 i = = = 10 10 0 R U 1 А. Расчет гармонических составляющих выполняем символическим методом. Первая гармоника Комплексная амплитуда 1 , 14 1 = m U& В. Комплексное сопротивление C j L j C j L j Z LC ω − ω ω − ⋅ ω = 1 1 1 = − − ⋅ = 30 30 ) 30 ( 30 j j j j ∞ − j , следовательно 0 1 1 = m I& (на участке C L − имеет место резонанс токов. Третья гармоника Комплексная амплитуда 1 , 14 3 = m U& В. Комплексное сопротивление C j L j C j L j Z LC ω − ω ω − ⋅ ω = 3 1 3 3 1 3 3 = − − ⋅ = 10 90 ) 10 ( 90 j j j j –11,25 j Ом. Ток = 3 1 m I& = − = + j Z R U LC m 25 , 11 10 1 , 14 3 3 & 0,94 4 , 48 j e А. Мгновенное значение ( ) t j m e I t i ω = 3 3 3 1 Im ) ( 1 & = 0,94 ) 4 , 48 3 sin( o + ωt А. Для тока 1 i получим + = 1 ) ( 1 t i 0,94 ) 4 , 48 3 sin( o + ωt А. Задача К цепи со схемой рис. 5.3 приложено периодическое несинусоидальное напряжение В (рис. 5.4). Найти мгновенные и действующие значения тока i 1 и напряжения u 23 . Рассчитать активную мощность, потребляемую цепью. Параметры цепи R 1 = 15 Ом R 2 = 200 Ом L = 0,15 Гн ; С = 200 мкФ 70 R 1 R 2 C L u t ( Рис. 5.3 0 0 01 , 0 02 , 5 0 , 0 10 0 , u t ( Рис. 5.4 Решение Раскладываем вряд Фурье функцию напряжения u t ( ) . Функция u t ( ) – четная, в разложении будет постоянная составляющая U 0 и гармонические составляющие Период функции приложенного напряжения Т 0,01 с. Циклическая частота основной гармоники 628 2 с Следовательно, 0 2 ω = ω , где ω 0 = 314 с –1 . Заданную функцию мощно представить в виде ряда u t ( ) Φ = U 0 + C 1 t ω cos + C 2 t ω 2 cos + C 3 t ω 3 cos + K = = U 0 + C 1 t 0 2 cos ω + C 2 t 0 4 cos ω + C 3 t 0 6 cos ω + K Вычисляем коэффициенты ряда. Постоянная составляющая dt t u T U T ) ( 1 0 0 ∫ = dt t ∫ = 01 , 0 0 314 sin 10 01 , 0 1 = 6 366 , В. Коэффициенты ряда первых трех гармоник ∫ ω ω = T t t t T C 0 0 0 1 d 2 cos sin 10 2 = −4 244 , В, ∫ ω ω = T t t t T C 0 0 0 2 d 4 cos sin 10 2 = −0 849 , В, ∫ ω ω = T t t t T C 0 0 0 3 d 6 cos sin 10 2 = −0 В. Ряд Фурье для постоянной составляющей, основной и двух высших гармоник имеет вид u t ( ) Φ = 6 366 , − 4 244 , cos2 0 t ω − 0 849 , 4 cos 0 t ω − 0 В. Расчет для постоянной составляющей 0 = 6 366 , В. I U R R 10 0 1 2 = + = 0,03 А, U I R 230 10 2 = ⋅ = 5,922 В. Расчет для гармонических составляющих выполняем символическим методом. Используем переменные с индексами k = 1, 2, Комплексная амплитуда гармонической составляющей с индексом Комплексные сопротивления участков цепи на частоте 0 2 ω = ω k k : L jk R Z k ω + = 1 1 ; Z R k 2 2 = ; C jk Z k ω = 1 3 ; C jk R C jk R Z k ω + ω = 1 1 23 2 2 ; Z Z Z k k k = + 1 Комплексные амплитуды тока и напряжения гармоник k k m k m Z U I & & = 1 ; k k m k m Z I U 23 Амплитудные значения и начальные фазы тока и напряжения определяются выражениями k m k m I I 1 1 & = ; ) 1 arg( 1 mk k I i & = ψ , k m k m U U 23 23 & = ; Действующие значения тока и напряжения 2 1 1 k m k I I = ; 2 23 Мгновенные значения гармонических составляющих тока и напряжения ) 1 sin( 1 ) ( 1 1 1 1 i t I t i m ψ + ω = ; = ) ( 1 2 t i ) 1 2 sin( 1 2 2 i t I m ψ + ω ; = ) ( 1 3 t i ) 1 3 sin( 1 3 3 i t I m ψ + ω ; = ) ( 23 1 t u ) 23 sin( 23 1 1 u t U m ψ + ω ; = ) ( 23 2 t u ) 23 2 sin( 23 2 2 u t U m ψ + ω ; = ) ( 23 3 t u ) 23 3 sin( 23 Действующие значения тока и напряжения 2 3 2 2 2 1 2 1 1 1 1 10 I I I I I + + + = ; 72 2 3 2 2 2 1 2 23 23 23 23 Активная мощность Р, потребляемая цепью, + = 1 2 1 R I P 2 2 23 R U Для численного расчета используем программу Mathcad. Um 10 f 50 ω0 2 π f ω 2 ω0 T 0.01 R1 15 R2 200 L 0.15 c 200 10 6 ω 2 ω0 u( ) t Um sin( ) ω0 t k , 1 2 3 U0 1 T d 0 T t u( ) t C k 2 T d 0 T t cos( ) k ω t u( ) t = U0 6.366 C k 4.244 0.849 0.364 I10 U0 R1 R2 = I10 0.03 U230 R2 I10 = U230 5.922 um k C k e j π 2 um k 4.244i 0.849i 0.364i z1 k R1 j k ω L z2 k R2 z3 k 1 j k ω c z23 k z2 k z3 k z2 k z3 k z k z1 k z23 k z1 k 15 94.248i 15 188.496i 15 282.743i z23 k 0.316 7.945i 0.079 3.977i 0.035 2.652i z k 15.316 86.303i 15.079 184.518i 15.035 280.091i i1m k um k z k u23m k i1m k z23 k ← Задание исходных данных и индексов k. ← Расчет коэффициентов ряда Фурье. ← Расчет постоянной составляющей тока и напряжения. Комплексная амплитуда приложенного напряжения гармоники с номером k. Комплексные сопротивления участков цепи для тока гармоники с номером k. ← Расчет комплексных амплитуд тока и напряжения гармоник с номером 4 3.432i 10 3 I1m k i1m k ψi1 k arg i1m k U23m k u23m k ψu k arg u23m k I1m k 0.048 4.585 10 3 1.297 10 3 ψi1 k 2.966 3.06 3.088 U23m k 0.385 0.018 3.44 10 3 ψu k 1.786 1.672 1.638 I1 k I1m k 2 U23 k U23m k 2 II1 I10 2 = 1 3 k I1 k 2 UU23 U230 2 = 1 3 k U23 k 2 = II1 0.045 = UU23 5.928 P II1 2 R1 UU23 2 R2 = P 0.207 Pe U0 I10 1 2 = 1 3 k Re um k i1m k = Pe 0.207 Pe U0 I10 1 2 = 1 3 k Re um k i1m k = Pe 0.207 ← Расчет амплитуд и начальные фазы гармоник (начальные фазы в радианах) ← Расчет действующих значений гармоник ← Расчет действующих значений несинусоидальных тока и напряжения Расчет активной мощности цепи ← Проверка выполнения баланса активных мощностей Программа построения графиков ряда Фурье u t ( ) Φ и входного напряжения и напряжения ) ( 23 t u на интервале 0 < t <2 T. t , 0 T 100 2 T uF( ) t U0 C 1 cos( ) 1 ω t C 2 cos( ) 2 ω t C 3 cos( ) 3 ω t u( ) t Um sin( ) ω0 t u23( ) t U230 U23m 1 sin 1 ω t ψu 1 U23m 2 sin 2 ω t ψu 2 U23m 3 sin 3 ω t ψu 3 74 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0 2 4 6 8 10 u23( ) t uF( ) t u( ) t На графиках по оси абсцисс откладывается время в секундах, по оси ординат – напряжение в вольтах. Внимание! В программе расчета используются переменные с индексами. Недопустимо использовать одни и те же переменные с индексами и без индексов. Мгновенные значения тока и напряжения соответственно равны + − ω ⋅ + − ω + = − ) 06 , 3 2 sin( 10 585 , 4 ) 966 , 2 sin( 048 , 0 03 , 0 ) ( 3 1 t t t i ) 088 , 3 3 sin( 10 297 , 1 3 − ω ⋅ + − t А + + ω + + ω + = ) 672 , 1 2 sin( 018 , 0 ) 786 , 1 sin( 385 , 0 92 , 5 23 t t u ) 638 , 1 3 sin( 10 44 , 3 3 + ω ⋅ + − t В. Действующие значения тока и напряжения = 1 I 0,045 А 23 U = 5 928 , В. Активная мощность, потребляемая цепью, 2 045 , 0 = P ⋅15 + = 200 928 , 5 2 0,207 Вт. Задача 5.5 К электрической цепи с операционным усилителем (рис. 5.5) приложено периодическое напряжение u t U t T U T t T m m 1 2 2 ( ) / / = + − , 0 < < , < < 0 0 0 , где U m = 10 B, T 0 = 10 –3 c ( f 0 = =1/T 0 = 1 кГц). Параметры элементов R 1 = R 2 = R = 10 кОм, С 0,0022 мкФ, С С / 2 u 1 ∆u 1 2 R 2 R 1 C 1 C 2 u 2 a u u 2 ∞ ОУ Рис. 5.5 Считая операционный усилитель идеальным, найти мгновенное значение напряжения 75 Решение Функция напряжение u t 1 ( ) является нечетной и симметричной относительно оси абсцисс со сдвигом наполовину периода. Ряд Фурье для такой функции содержит нечетные синусоидальные составляющие Для расчета выбираем основную (Т 10 си две высшие гармоники, тогда u t 1 ( ) = + + 4 4 3 3 4 5 5 0 0 0 U t U t U t m m m π ω π ω π ω sin sin sin , где 0 0 2 Определяем комплексную амплитуду гармоники с номером Операционный усилитель идеальный, ∆u = 0 . Напряжение, приложенное кем- кости C 2 , равно Узловые уравнения для комплексных амплитуд напряжений k m a U& и k m U 2 & имеют вид R U U C jk R a U C jk R k m k m k m 1 2 1 2 1 0 1 0 & & & = ω + − ω + ; 0 2 1 1 2 Обозначаем комплексные проводимости узлов 1 и 2 как 1 0 1 0 1 12 ; 2 11 C jk R Y C jk R Y k k ω + = ω + = ; 2 0 1 22 ; 1 21 C jk R Y R Y k k ω + = = , узловые токи R U J k m k 1 11 & & = ; 0 22 = k J& , получаем узловое уравнение в матричной форме = ⋅ − − k k mk mk k k k k J J U a U Y Y Y Y 22 11 2 22 21 12 Решаем уравнение = mk mk U a U 2 & & ⋅ − − −1 22 21 12 11 k k k k Y Y Y Y k k J J 22 11 & & , определяем комплексную амплитуду напряжения k m U 2 & Мгновенное значение напряжения гармоники с номером k k t u ) ( 2 ( ) t jk k m e U 0 Для численного расчета используем программу Mathcad. f0 1000 C1 0.022 10 6 C2 C1 2 R 10 10 3 Um 10 ω0 2 π f0 T0 2 π ω0 = T0 1 10 3 k , 1 3 5 t , 0 T0 100 2 T0 u1( ) t Im um 1 e j ω 0 t Im um 3 e j 3 ω 0 t Im um 5 e j 5 ω 0 t um k 4 Um k π y11 k 2 R j k ω0 C1 y12 k 1 R j k ω0 C1 y21 k 1 R y22 k 1 R j k ω0 C2 Ynn k y11 k y21 k y12 k y22 k Jnn k um k R 0 uam k u2m k Ynn k 1 Jnn k U2m k u2m k U2m k 9.206 0.49 0.107 ψ k 180 π arg u2m k ψ k 88.151 151.376 163.195 u2( ) t Im u2m 1 e j ω 0 t Im u2m 3 e j 3 ω 0 t Im u2m 5 e j 5 ω 0 t u1( ) t Im um 1 e j ω 0 t Im um 3 e j 3 ω 0 t Im um 5 e j 5 ω 0 t 0 0.5 1 1.5 2 15 10 5 0 5 10 15 u2( ) t u1( ) t .t103 ← Задание исходных данных и значений индексов k. ← Ряд Фурье входного напряжения Расчет комплексных амплитуд приложенного напряжения. ← Расчет комплексных проводимостей и матриц узловых проводимостей и задающих токов. ← Решение узлового уравнения Расчет амплитудных значений и начальных фаз (в градусах) напряжения u2(t) . ← Расчет мгновенных значений напряжений u2(t) и u1(t) для построения графиков. Графики рассчитанных напряжений. На графиках по оси абсцисс откладывается время в миллисекундах, по оси ординат – напряжение в вольтах Внимание В программе расчета используются переменные с индексами. Недопустимо использовать одни и те же переменные с индексами и без индексов. Мгновенное значение напряжения B ) 163 5 sin( 107 , 0 ) 151 3 sin( 49 , 0 ) 88 sin( 206 , 9 ) ( 0 0 0 2 o o o − ω + − ω + − ω = t t t t u 5. 3. Задачи и вопросы для самоконтроля 1. Разложить вряд Фурье периодическую функцию напряжения при однополупериодном выпрямлении синусоидального напряжения (кривая 1 на рис. 5.6). 2. Разложить вряд Фурье периодическую функцию напряжения однополяр- ных импульсов треугольной формы кривая 2 на рис. 5.6). 3. Найти действующее значение периодического несинусоидального тока t 01 , 0 0 0 , 4 0 , 8 0 , 12 B u 1 2 02 , 0 Рис. 5.6 ) 60 628 sin( 10 ) 30 314 sin( 10 10 ) ( o o + − − + = t t t i А. 4. Напряжение и ток на пассивном участке цепи соответственно равны ) 30 314 sin( 100 100 ) ( o + + = t t u В ) 60 628 sin( 10 314 sin 10 10 ) ( o + − + = t t t i А. Вычислить активную, реактивную, полную мощности и мощность искажений на этом участке. 5. Рассчитать напряжение ) (t u вцепи со схемой рис. 5.2, если ток ) 60 628 sin( 10 ) 30 314 sin( 10 10 1 o На частоте = ω 314 с величины реактивных сопротивлений = C X 60 Ом и = L X 30 Ом, = R 40 Ом. Найти действующее значение напряжения на участке L – C 6. К входу электрической цепи со схемой рис. 5.6 приложено напряжение в виде периодических разно полярных импульсов прямоугольной формы. Период следования импульсов = T 0,02 с, скважность 0,5, амплитуда = U 10 В. Найти мгновенное значение напряжения вых u , если = R 47 кОм, емкость = C 0,068 мкФ. 8. Определить метод расчета линейной электрической цепи при несинусоидальных э. д. си токах источников. R R ∞ R C вх u вых u ОУ Рис. 5.6 |