Рво. Руководство по самостоятельной работе студентов Челябинск 2001 2 удк 621 011(075. 8)
 Скачать 0.79 Mb.
|
|
2.3. Задачи и вопросы для самоконтроля 1. Мгновенное значение напряжения ) 90 100 sin( 10 o + = t u В. Записать комплекс мгновенного значения. Чему равна комплексная амплитуда и комплекс действующего значения этого напряжения 2. Комплексная амплитуда тока 60 80 j I m − = & мА. Изобразить m I& на комплексной плоскости. Записать показательную форму комплексной амплитуды. Чему равнодействующее значение этого тока 3. Ток = I& 0,05 – j 0.087 А на пассивном участке цепи создает напряжение o & 30 200 j e U = В. Изобразить на комплексной плоскости векторные диаграммы тока и напряжения. Чему равно комплексное сопротивление участка цепи 4. Для пассивного двухполюсника (рис. 1.5) экспериментально определены U = 10 В I = 2 А ϕ = – 30°. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника. 5. Мгновенные значения напряжения и тока на входе пассивного двухполюсни- ка соответственно равны ( ) o 90 314 sin 100 + = t u В ( ) o 53 314 sin 2 , 0 + = t i А. Определить комплексное сопротивление и комплексную проводимость двухполюсника. Чему равна комплексная мощность двухполюсника? 6. Найти комплексные сопротивления Z и проводимости Y цепей со схемами рис. 1.14. 30 7. Найти мгновенные значения токов ветвей цепи со схемой рис. 2.9. Действующее значение напряжения В, = = = C L X X R 10 Ом. Рассчитать комплексную мощность источника. Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы тока и напряжения. Найти комплексы действующих значений токов ветвей и напряжения между точками a ирис, если действующее значение напряжения равно 100 В, = R 20 Ом, = = C L X X 2 10 Ом. Проверить выполнение баланса мощностей. Построить векторные диаграммы тока и напряжения. Для цепей со схемами рис. 2.11 не выполняя расчета построить векторные диаграммы токов и топографические диаграммы напряжений. 10. Записать выражения комплексных мгновенных, амплитудных и действующих значений синусоидальных напряжения, токов. Рис. 2.9 R L X R C X u i 1 i 2 i а b ab u Рис. 2.10 11. Как определяется комплексное сопротивление пассивного участка цепи 12. Как определяется комплексная проводимость пассивного участка цепи Рис. 2. 11 13. Записать уравнения идеальных элементов R , L и Св цепи синусоидального тока. Нарисовать на комплексной плоскости векторные диаграммы напряжения и тока для этих элементов. 14. Как рассчитать комплексную мощность пассивного участка цепи 15. Как рассчитать комплексную мощность источников напряжения и тока 16. Как составить уравнения баланса мощностей в комплексной форме записи 17. Записать выражения комплексных сопротивлений ветвей цепей со схемами рис. 2.11. 31 3. Расчет разветвленных цепей синусоидального тока комплексным методом 3.1. Общие сведения Переход от вещественных синусоидальных функций времени токов и напряжений к их изображению в комплексной форме записи позволяет распространить методы расчета разветвленных цепей постоянного тока на расчет разветвленных цепей синусоидального тока. Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид 11 Y 10 U& – 12 Y 20 U& – 13 Y 30 U& = 11 J& ; – 21 Y 10 U& + 22 Y 20 U& – 23 Y 30 U& = 22 J& ; – 31 Y 10 U& – 32 Y 20 U& + 33 Y 30 U& = 33 J& , где 11 Y ; 22 Y ; 33 Y – собственные комплексные проводимости ветвей, принадлежащих узлам, 12 Y = 21 Y ; 23 Y = 32 Y ; 13 Y = 31 Y – общие комплексные проводимости ветвей одновременно принадлежащих двум узлам, 11 J& ; 22 J& ; 33 J& – узловые токи. Каноническая форма уравнений метода контурных токов для случая трех независимых контуров имеет вид 11 Z 11 I& + 12 Z 22 I& – 13 Z 33 I& = 11 E& ; 21 Z 11 I& + 22 Z 22 I& + 23 Z 33 I& = 22 E& ; 31 Z 11 I& + 32 Z 22 I& + 33 Z 33 I& = 33 E& , где 11 Z ; 22 Z ; 33 Z – собственные комплексные сопротивления контуров, 12 Z = 21 Z ; 23 Z = 32 Z ; 13 Z = 31 Z – общие комплексные сопротивления ветвей одновременно принадлежащих двум контурам, 11 E& ; 22 E& ; 33 E& – собственные э. д. с. контуров. Правила получение узловых и контурных уравнения остаются такими, как в цепях постоянного тока. Схема и граф обобщенной ветви цепи синусоидального тока показаны на рис. 3.1. Уравнения Кирхгофа в матричной форме для электрической цепи со схемой, имеющей b обобщенных ветвей и q узлов, имеют вид 0 I A = & ; Матрицы соединений (инциденций) Аи главных контуров В составляются по тем же правилам, что вцепи постоянного тока. Рис. 3.1 Матрицы э. д. с. ветвей b E& , токов источников тока b J& формируются по тем же правилам, что для цепи постоянного тока. Коэффициенты в этих матрицах комплексные действующие значения. Коэффициенты в матрицах сопротивлений комплексные сопротивления, в матрицах проводимостей – комплексные проводимости ветвей. Матрицы приобретают вид Z b и Y b Матричное уравнение метода узловых напряжений для цепи синусоидального тока имеет вид Обозначив через Y A Y A nn b b T = квадратную матрицу комплексных узловых проводимостей,через = nn J& b b b J A E Y A & & + − столбцевую матрицу комплексных действующих значений узловых токов, получим узловые уравнения в матричной форме Y Решение этого уравнения & & U Y J n nn nn 0 определяет матрицу комплексных действующих значений узловых напряжений. Далее рассчитываются напряжения 0 n T U A U & & = , и токи b b b U Y I & & = , Матричное контурное уравнение для цепи синусоидального тока имеет вид B Z Обозначив через Z B Z B nn b T = квадратную матрицу комплексных контурных сопротивлений,через b b b nn E B J Z B E & & & + − = матрицу комплексов действующих значений э. д. с. контуров, получим контурное уравнение в матричной форме Z I E nn Решение этого уравнения & & I Z E nn nn nn = −1 определяет матрицу комплексных контурных токов. Далее рассчитываются токи ветвей nn T I B I & & = ; J I I & & & + = b , и напряжения b b b I Z U & & = ; E U U & & & − = b 3. 2. Решение типовых задач Задача. 3.1 На рис. 3.1 показан фрагмент цепи синусоидального тока. Найти действующее значение напряжения U& , если В I& =15 6 π − j e А = Z 4 + j 2 Ом. Решение Назначаем положительные направления тока I& и напряжения Рис. Уравнение второго закона Кирхгофа для принятого на рис. 3.1 направления обхода контура имеет вид U& – I& = Z – Откуда U& = I& Z – E& = 15 6 π − j e – 220 = – 267,6 – j 47,2 В. Действующее значение напряжения равно = U U& = 271,8 В. Задача. 3.2 На рис. 3.2 показан фрагмент цепи синусоидального тока. Найти ток I& , если U& = 380 В E& = 220 В j J − = & 20 А = Z 5 – j 2 Ом. Решение. Назначаем положительные направления токов ветвей и напряжения Уравнения Кирхгофа имеют вид – I& + J& + b I& = 0; U& – b I& = Z – Из второго уравнения находим Рис. 3.2 34 b I& = = + Z E U & & = − − + 2 5 210 18 , 65 380 j j 91,25 – j 5 А. Из первого уравнения получаем I& = J& + b I& = –j 20 + 91,2 – j 5 = 91,25 – j 25 = 94,75 o 6 , 15 j e − А. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. u 380 e 220 e j 2 π 3 = e 65.185 210.121i j j 20 z 5 j 2 ib u e z = ib 91.247 5.525i i ib j = i 91.247 25.525i I i = I 94.75 ψi 180 π arg( ) i = ψi 15.628 ← Исходные данные. ← Расчет тока ветви. ← Расчет тока I& в показательной форме записи. Аргумент в градусах. Задача Цепь со схемой рис. 3.3 содержит идеальный операционный усилитель ОУ. Параметры цепи 1 R = 2 R = 3 R = R = 47 кОм, С = 0,068 мкФ. Найти напряжение вых u , если t u 314 sin 10 вх = В. Решение Назначаем положительные направления токов (рис. 3.3). 2 10 вх = U& В. Поскольку усилитель идеальный (токи входов равны нулю, уравнение по законам Кирхгофа имеют вид 1 I& + 2 I& = 0; – вх U& + С Z = 0; – вх U& + 1 I& 1 R – 2 I& 2 R + вых U& = 0 , R 1 R 2 ∞ 3 R C вх u вых u 2 i 1 i C i ОУ Рис. 3.3 где Z = C j R ω − = (4,7 – j 4,68)⋅10 4 Ом. Из второго уравнения находим С Z U вх & По закону Ома = 3 R U& С I& 3 R = Z U вх & 3 R Токи 3 вх R U U R & & − ; 1 I& = – Комплексное действующее значение выходного напряжения определяется из уравнения Кирхгофа вых U& = вх U& Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. Расчет ведется относительно комплексных амплитуд. Ubxm 10 R 47 10 3 C 0.068 10 6 ω 314 ubxm Ubxm z R j 1 ω C = z 4.7 10 4 4.683 10 4 j uR3m ubxm z R i1m ubxm uR3m R i2m i1m uvxm ubxm i1m R i2m R = uvxm 0.035 + 10j Uvxm uvxm = Uvxm 10 ψu 180 π arg( ) uvxm = ψu 89.797 ← Исходные данные. ← Комплексная амплитуда входного напряжения. ← Расчет комплексного сопротивления Расчет напряжения на резисторе Расчет тока ветвей. ← Расчет выходного напряжения в показательной форме записи. Аргумент в гра- дусах. Амплитуда выходного напряжения m U вых = 10 В. Начальная фаза u ψ = Мгновенное значение выходного напряжения ( ) o 8 , 89 314 sin 10 вых + = t u В. Задача Вцепи со схемой рис. 3.4 найти комплексные действующие значения токов ветвей. Действующее значение синусоидального напряжения U =220 B. Активные сопротивления R 1 = 91 Ом R 3 = Ом R 4 = 820Ом.Реактивные сопротивления Ом X 2 = 1/ ω C 2 = Ом X 3 = 1/ ω Ом. Расчет выполнить методом узловых напряжений. 36 u i C 3 L 1 R 1 C 2 R 3 R 4 u 34 i 1 i 2 i 3 i 4 u 12 4 1 Рис. 3.4 Решение Комплексные сопротивления ветвей рассчитаны в задаче 2.5. Имеем Z R jX j e j 1 1 1 69 91 240 256 Ом Z jX j e j 2 2 90 150 150 = − = Ом Z R jX j e j 3 3 3 20 4 510 190 544 Ом Z R 4 Ом. Для расчета схему цепи удобно представить как на рис. 3.5. Рассчитываем 34 U& методом узловых напряжений. Узловое уравнение имеет вид Z 4 Z 1 Z 2 Z 3 & U 34 & U &I &I 2 &I 1 &I 3 &I 4 Рис. 3.5 ( ) & ( ) & 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 34 1 2 Z Z Z Z U Z Z U + + + − + = , откуда 4 3 2 1 2 1 34 1 1 1 1 Токи ветвей & & & I U U Z 1 34 1 = − o 2 , 97 А & & & I U U Z 2 34 1 = − o 62 А 37 o & & 6 , 45 3 34 А o & & 25 4 34 А 2 o 4 , 37 А. Задача Для цепи со схемой рис. 3.6 найти комплексы действующих значений токов ветвей, если Z j 1 Ом 6 8 = +Ом, Z 3 Ом, Z Z 4 1 = , Z j 5 7 = Ом А В Проверить выполнение баланса мощностей. Решение Назначаем положительные направления токов ветвей. Выбираем в качестве базисного узел 0. Напряжение узла 2 относительно базисного & & U E 20 = Z 1 &I 1 Z 2 Z 3 Z 4 Z 5 &I 2 &I 3 &I &I 5 &E 0 & U 10 & U 20 & U 30 1 2 Рис. 3.6 Напряжения & U 10 и & U 30 определяем методов узловых напряжений. Узловые уравнения имеют вид Y U Y U Y U J 11 10 12 20 13 30 11 & & & & − − = ; − − + = Y U Y U Y U J 31 10 32 20 33 30 33 & & & & , где Y 11 = 1 1 Z + + 1 3 Z 1 4 Z = + + = 1 10 1 3 1 10 j j 0 33 0 2 , , − j Ом –1 ; Y 33 = 1 2 Z + + 1 5 Z 1 4 Z = + + − + = − 1 6 8 1 7 1 10 0 06 0 037 j j j j , , Ом –1 – собственные комплексные проводимости узлов 1 и 3, Y 12 = 1 1 Z = = 1 10 j − 0 1 , j Ом –1 ; Y 13 = 1 4 Z = = 1 10 j − 0 Ом –1 ; 13 31 Y Y = ; = 32 Y 2 1 Z = + = 8 6 1 j j 08 , 0 Ом –1 – общие комплексные проводимости, & & J J 11 1 = = j5 А & & J J j 33 1 5 = − = А узловые токи. Поскольку & & U E 20 = , решив матричное уравнение 38 & & & & & & U U Y Y Y Y Y E J Y E J 10 30 11 13 31 33 1 12 1 32 1 = − − + − − , найдем значения узловых напряжений 4 , 42 2 10 j U − = & В 13 , 128 32 , 35 30 j U − = & В Токи ветвей определяются по уравнениям & & & , , , I U E Z j e j 1 10 1 111 4 24 10 8 11 6 = − = А & & & , , , , I U E Z j e j 2 30 2 6 6 14 73 1 71 14 А & & , , , , I U Z j e j 3 10 3 92 7 0 67 14 13 14 15 = − = А & & & , , , I U U Z j e j 4 10 30 4 21 8 57 3 33 9 А & & , , , I U Z j e j 5 30 5 164 18 3 5 05 18 99 = − = А & & & I I I = − = 2 1 18,97 – 9,09 j = − 21 03 25 А. Баланс мощностей. Комплексная мощность источников ист 3 1 30 10 10 43 , 1 10 92 , 1 ) ( ⋅ + ⋅ = − + = & & & ВА. Комплексная мощность потребителей пот 2 5 4 2 4 3 2 3 2 2 2 1 2 1 Z I Z I Z I Z I Z I + + + + = = ⋅ + ⋅ 1 92 10 1 43 10 3 3 , , j ВА. Здесь J I 1 , – сопряженные комплексные значения. Баланс мощностей выполняется ист S пот Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. z1 j 10 z2 6 j 8 z3 3 z4 z1 z5 j 7 e 110 j1 5 rg 180 π y11 1 z1 1 z3 1 z4 y33 1 z2 1 z5 1 z4 = y11 0.33 0.2i = y33 0.06 0.04i y12 1 z1 y32 1 z2 y13 1 z4 y31 y13 = y12 0.1i = y32 0.06 0.08i = y13 0.1i u10 u30 y11 y31 y13 y33 1 y12 e j1 y32 e j1 ← Исходные данные. ← Расчет собственных и общих комплексных проводимостей. ← Расчет комплексных узловых напряжений 14.73 + 1.71i = I2 14.83 = ψi2 6.64 i3 u10 z3 I3 i3 ψi3 rg arg( ) i3 = i3 0.67 + 14.13i = I3 14.15 = ψi3 92.7 i4 u10 u30 z4 I4 i4 ψi4 rg arg( ) i4 = i4 8.57 + 3.33i = I4 9.2 = ψi4 21.24 i5 u30 z5 I5 i5 ψi5 rg arg( ) i5 = i5 18.3 5.05i = I5 18.99 = ψi5 164.59 i i2 i1 I i ψi rg arg( ) i = i 18.97 9.09i = I 21.03 = ψi 25.59 se e i ( ) u10 u30 j1 = se 1.92 10 3 + 1.43 10 3 i sz I1 2 z1 I2 2 z2 I3 2 z3 I4 2 z4 I5 2 z5 = sz 1.92 10 3 + 1.43 10 3 i ← Расчет комплексных токов ветвей. Баланс мощностей. ← Расчет комплексной мощности источников. ← Расчет комплексной мощности нагрузок. Задача Для цепи со схемой рис. 3.7 найти комплексные действующие значения токов ветвей. Комплексные сопротивления Ом 6 8 = +Ом, Z 3 Ом, Z Z 4 1 = , Z j 5 7 = Ом, &J 1 А В Проверить выполнение баланса мощностей. Решение Назначаем положительные направления токов ветвей. Определяем независимые контуры стоками и Рис. 3.7 как показано на рис. 3.7. Ветвь с источником тока не должна входить в эти контуры. Контурный ток &J 1 равен току источника тока. Уравнения относительно контурных токов &I 11 и имеют вид Z I Z I Z J E 11 11 12 22 13 1 4 & & & & + + = − ; Z I Z I Z J E 21 11 22 22 23 1 4 & & & & + + = , где Z Z Z Z 11 1 3 4 = + + = j10 + 3 + j10 = 3 + Ом 2 5 4 = + + = 6 + j8 – j7 + j10 = 6 + Ом 4 = − = – Ом, Z Z 21 12 = ; Z Z 13 1 = − = – Ом Z Z 23 2 = − = – 6 – j8 Ом. Решение уравнения J E Z J 11 22 11 12 21 22 1 4 13 1 4 23 1 дает значения контурных токов &I 11 = 2,26 + j 3,98 А &I 22 = 11,72 + j 7,29А. Токи ветвей o & & & 5 , 124 1 11 1 83 , 4 98 , 3 74 , 2 j e j J I I = + − = − = А o & & & 3 , 47 1 22 2 91 , 9 29 , 7 72 , 6 j e j J I I = + = − = А o & & 4 , 60 11 3 58 , 4 98 , 3 26 , 2 j e j I I = + = = А o & & & 25 , 19 11 22 4 02 , 10 3 , 3 46 , 9 j e j I I I = + = − = А o & & 1 , 148 22 5 8 , 13 29 , 7 72 , 11 j e j I I − = − − = − = А. Рассчитываем баланс мощностей. Комплексная мощность источников ист 1 I E J U J & & + = , где & U J – напряжение на источнике тока, 4 1 ; I J – сопряженные комплексные токи. Напряжение & & & , , U I Z I Z e J j = − − = − 1 1 2 2 50 5 90 84 o В. Подставляя данные, получаем ист 26 , 652 j + = ВА. Комплексная мощность пот потребителей пот 2 5 4 2 4 3 2 3 2 2 2 1 2 1 Z I Z I Z I Z I Z I + + + + = 82 , 689 26 , 652 j + = ВА. Получили ист пот, баланс мощностей выполняется. Программа расчета в пакете Mathcad приводится ниже. 41 z1 j 10 z2 6 j 8 z3 3 z4 z1 z5 j 7 j1 5 e4 j 110 rg 180 π z11 z1 z3 z4 = z11 3 + 20i z22 z2 z4 z5 = z22 6 + 11i z12 z4 = z12 10i z21 z12 z13 z1 = z13 10i z23 z2 = z23 6 8i inn z11 z21 z12 z22 1 e4 z13 j1 e4 z23 j1 = i11 2.26 + 3.98i = i22 11.72 + 7.29i i1 i11 j1 I1 i1 ψi1 rg arg( ) i1 = i1 2.74 + 3.98i = I1 4.83 = ψi1 124.51 i2 i22 j1 I2 i2 ψi2 rg arg( ) i2 = i2 6.72 + 7.29i = I2 9.91 = ψi2 47.31 i3 i11 I3 i3 ψi3 rg arg( ) i3 = i3 2.26 + 3.98i = I3 4.58 = ψi3 60.4 i4 i22 i11 I4 i4 ψi4 rg arg( ) i4 = i4 9.46 + 3.3i = I4 10.02 = ψi4 19.25 i5 i22 I5 i5 ψi5 rg arg( ) i5 = i5 11.72 7.29i = I5 13.8 = ψi5 148.13 uj i1 z1 i2 z2Uj uj ψuj rg arg( ) uj = Uj 90.84 = ψuj 50.5 sej uj j1 e4 i4 = sej 652.26 + 689.82i sz I1 2 z1 I2 2 z2 I3 2 z3 I4 2 z4 I5 2 z5 = sz 652.26 + 689.82i ← Исходные данные. ← Формула перевода из радиан в градусы. ← Расчет собственных и общих комплексных сопротивлений Расчет контурных токов. ← Расчет токов ветвей. ← Расчет напряжения на источнике тока. ← Расчет комплексной мощности источников. ← Расчет комплексной мощности нагрузок. Задача 3.7 Вцепи со схемой рис. 3.8 действующее значение синусоидальной э. д. с. Е =2В Частота f Гц Ом R 2 = Ом C мкФ µ = – 1 . На частоте f комплексное сопротивление нагрузки Z = + 5100 j3000 Ом. Найти мгновенное значение тока в нагрузке. Решение Определяем направления токов ветвей и напряжений & U 1 и & U 2 узлов 1 и 2 как на рис. 3.8. Принимаем E& = Е Уравнения метода узловых напряжений имеют вид = + − + + 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 U Z R U Z R R C C & & 1 R E& = ; & & U U 2 1 = µ , откуда E& R 2 C µ & U 1 & U 1 Z 1 Рис. 3.8 ( )( ) C Z R R R E U 1 1 1 1 2 1 1 Комплексное сопротивление емкости Сна частоте ω π = = 2 6283 c -1 f j C j Z C 3 10 18 , 3 ⋅ − = ω − = Ом. Тогда ⋅ − + ⋅ + + = 3 1 10 18 , 3 1 2700 1 ) 1 1 ( 1600 1 1600 2 j U& = o 155 83 , 0 j e В o & & 180 1 2 j e U U − = µ = o 155 83 , 0 j e = − 0 83 25 , e j o В. Комплексное действующее значение тока нагрузки & & , , I U Z = = − ⋅ + ⋅ − − 2 5 4 8 026 10 1154 10 = ⋅ − 1 405 10 А. Мгновенное значение тока определяется по выражению i Ie j t = Im( & ) 2 ω = ⋅ ⋅ = ω − ) 10 405 , 1 2 Im( 125 4 t j j e e o ) 125 sin( 10 А. Задача 3. Вцепи со схемой замещения рис. 3.9 действующее значение синусоидальной э. д. с. Е В. Частота f Гц R 1 =160 Ом R 2 =2700 Ом; R 3 =30000Ом; C = мкФ = Ом. На частоте f комплексное сопротивление нагрузки Ом 1 U G & & U 10 Z 1 2 & U 20 &I &I 2 &I C &I 3 E& R 1 &I 1 C R 3 &I 4 & U 1 Рис. 3.9 Найти мгновенное значение тока в нагрузке. Рассчитать баланс мощностей. 43 Решение Назначаем направления токов и напряжений 10 U& ; 20 U& узлов как на рис. 3.9. Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид 0 3 2 1 = + + + − C I I I I & & & & ; & & & & I I I I C − − − = 4 Выражаем токи ветвей через напряжения & U 10 и & U 20 : & & & I E U R 1 10 1 = − ; & & I U R 2 10 2 = ; & & & I U U R 3 10 20 3 = − ; & & & I U U Z C C = − 10 20 ; & & I U Z = 20 ; ) ( 10 1 4 U E G U G I & & & & − = = , получаем узловые уравнения 1 20 3 10 3 2 1 1 1 1 1 1 1 R E U Z R U Z R R R C C & & & = + − + + + ; 1 1 1 1 1 20 3 10 В узловых уравнениях для схем цепей с зависимыми источниками в общем случае Y Y 12 Ток нагрузки равен Z U I 20 & & Комплексные мощности источника ист и нагрузок пот соответственно равны ист 10 R U E E & & − = ; пот 2 1 R U + + 2 2 10 R U + 3 2 12 R U + C Z U 2 12 Z U 20 4 20 I U& − , где E и 4 I – сопряженные комплексные значения э. д. си тока 4 I& , 1 U ; 10 U ; 12 U ; 20 U – действующие значения напряжений. Внимание. При расчете по этим выражением комплексных мощностей знак + перед реактивной мощностью в выражении jQ P S + = соответствует емкостному характеру нагрузки. Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже. R1 160.0 R2 2700 R3 30000 z 300 j 600 C 0.1 10 6 G 0.001 f 1000 E 2 ← Исходные данные Расчет комплексного сопротивления емкости на частоте f 44 ω 2 π f = ω 6.283 10 3 zc j ω C Y11 1 R1 1 R2 1 R3 1 zC Y22 1 z 1 R3 1 zC Y12 1 R3 1 zC Y21 1 R3 1 zC G Ynn Y11 Y21 Y12 Y22 J11 E R1 J22 G E Jnn J11 J22 Un0 Ynn 1 Jnn = Un0 1.738 0.215j 0.605 + 1.247j u10 Un0 0 u20 Un0 1 = u20 0.605 + 1.247j i u20 z = i 1.259 10 3 + 1.638 10 3 j Im 2 i = Im 2.922 10 3 ψi 180 arg( ) i π = ψi 52.457 U1 E u10 U10 u10 U12 u10 u20 U20 u20 Sz U1 2 R1 U10 2 R2 U12 2 R3 U20 2 z U12 2 zC u20 G ( ) E u10 Se E E u10 R1 = Sz 3.28 10 3 + 2.687 10 3 j = Se 3.28 10 3 + 2.687 10 3 j ← Расчет собственных и общих комплексных проводимостей ← Расчет матрицы узловых проводимостей ← Расчет узловых токов ← Расчет узловых напряжений ← Расчет комплекса действующего значения тока нагрузки Расчет амплитудного значения тока нагрузки Расчет начальной фазы тока нагрузки ← Расчет действующих значений напряжений для баланса мощностей ← Комплексная мощность нагрузок Комплексная мощность источника S ист Из расчета следует − амплитудное значение тока нагрузки = m I 2,92 мА − начальная фаза = ψ i 52,5 ° , следовательно, мгновенное значение тока ) 5 , 52 sin( 92 , 2 ) ( o + ω = t t i мА. Комплексные мощности − ист 3 10 687 , 2 10 28 , 3 − −4/p> ⋅ + ⋅ = ВА; − пот 3 10 687 , 2 10 28 , 3 − − ⋅ + ⋅ = ВА. Баланс выполняется ист пот Задача 3. Вцепи с операционным усилителем ОУ (схема на рис. 3.10) действующее значение синусоидальной э. д. с. Е В. Частота f Гц. Найти амплитудное значение напряжения вых U& и угол сдвига фаз между этим напряжением и э. д. с. Параметры элементов ветвей Ом Ом С 1 = 0,068мкФ; С 2 = С 1 . Операционный усилитель – идеальный. &I 1 R 1 R 2 C 1 C 2 & U a &I C 2 &I C1 &I 2 1 2 a &E R R & U вых & & U U 1 2 = ОУ &I вых Рис. 3. 10 Решение Назначаем положительные направления токов ветвей как на рис. 3.10. Пусть E E = & = 1 В. Идеальный ОУ не потребляет ток по входами, поэтому & & I I C 2 2 = Напряжение & & & U U U 1 2 2 = = вых Уравнения первого закона Кирхгофа для узлов аи имеют вид 0 1 2 1 = − + − C I I I & & & − + = & & I I C 2 Выражаем токи ветвей через напряжения a U& и вых U& : 1 1 R U E I a & & & − = ; 2 вых 2 2 R U U I a & & & − = ; 1 вых 1 C a C Z U U I & & & − = ; 2 вых 2 2 C C Z U I & & Получаем узловые уравнения 1 вых 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 R E U Z R U Z R R C a C & & & = + − + + ; 0 2 1 2 1 1 вых 2 Следует обратить внимание, что в узловых уравнениях Y Y 12 Численное решение в пакете Mathcad приводится ниже. 46 R1 2300 R2 R1 R 5100 C1 0.068 10 6 C2 C1 E 1 rg 180 π f0 1000 ω0 6283 zc1 1 j ω0 C1 zc2 1 j ω0 C2 ua ub_x 1 R1 1 R2 1 zc1 1 R2 1 2 R2 1 zc1 1 2 R2 1 2 zc2 1 E R1 0 = ua ub_x 1.034 0.981i 0.071 2.033i = ub_x 0.07 2.03i ψub_x rg arg( ) ub_x = ψub_x 88 Ub_xm 2 ub_x = Ub_xm 2.88 ← Исходные данные Формула перевода из радиан в градусы. ← Расчет комплексных сопротивлений емкостей на частоте Расчет узловых напряжений и & U вых . ← Расчет вых U& ← Расчет начальной фазы выходного напряжения. ← Расчет амплитудного значения выходного напряжения Комплексное действующее значение o & 88 вых 033 , 2 03 , 2 В. Амплитудное значение U m = ⋅ = 2 2 033 2 88 , , В. Поскольку &E e j = 1 0 o , то угол сдвига фаз ψ = − − = 0 88 88 ( ) o Примечания. Для цепи со схемой рис. 3.10 узловые уравнения можно записать непосредственно по виду схемы 1 вых 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 R E U Z U R U Z R R C a C & & & & = − − + + ; 0 1 1 1 1 2 2 2 = + + − U Z R U R C a & & ; 0 2 вых 1 = − U U & & , откуда 1 вых 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 R E U Z R U Z R R C a C & & & = + − + + ; 47 0 2 1 2 1 1 вых 2 Задача 3.10 Для электрической цепи со схемой рис. 3. 11 найти комплексное действующее значение тока Рис. 3.11 Параметра элементов ветвей = 1 Y 0, 02 j Ом –1 ; = 2 Z 80 j Ом = 3 Z 60 Ом = Z 50 Ом = E& – 100 В = J& 0,1 j А. Решение Для расчета тока одной ветви удобно избрать метод эквивалентного генератора. Определяем э. д. с. эквивалентного генератора. Разрываем ветвь с сопротивлением Z . Рассчитываем напряжение холостого хода 0 U& (рис. 1.12). Рис. 3.12 Уравнение второго закона Кирхгофа для контура, указанного на рис. 3.12, имеет вид 0 U& + 2 I& 2 Z – 1 1 Y I& = откуда 0 U& = 1 1 Y I& – 2 I& 2 Z Находим 2 I& = + = 3 2 Z Z E& = + − 60 80 100 j 1 o 127 j e А J I & & 1 j 0,1 А 0 U& 02 , 0 1 , 0 j j = – 1 o 127 j e ⋅80 j = 69 + 48 j = 84 o 35 j e В. 1 Y 2 Z 3 Z Г Z Рис. 3.13 Определение комплексного сопротивления эквивалентного генератора Г поясняет схема рис. 3. 13. Г 1 Y 3 2 3 2 Z Z Z Z + = = 38,4– 21,2 j = 43,86 o 29 j e − Ом Ток I& определяем из уравнения ГА. Рассчитаем ток I& методом наложения. В соответствие с методом ток ветви линейной электрической цепи определяется как алгебраическая сумма частичных токов, вызываемых действием каждого источника в отдельности. Рассчитаем ток 01 I& от действия источника тока J& (схема рис. 3.14). Комплексное сопротивление Z Z = 023 + 3 2 3 2 Z Z Z Z + = = 50 + 38,4 + 28,8j = 88,4 + 28,8j = = 93 o 18 j e Ом. Комплексная проводимость Рис. 3.14 1 Y Y = + = 023 1 Z 0, 02 j + 0.0102 – 3.33 ⋅10 –3 j = 0,0102 + 0,017 j = = 0,0196 o 58 j e Ом Ток 01 I& 023 Z Y J& = o o 18 58 93 0196 , 0 1 , 0 j j e e j = = 0,0535+0,013j А. Рассчитаем ток 02 I& от действия источника тока J& (схема рис. 3.15). Комплексные сопротивления = 02 Z 1 2 1 2 1 1 Y Z Z Y Z Z + + + = = 94,12+23,53 j = 97 o 14 j e Ом; E& Z 1 Y 2 Z 3 Z 02 I& Рис. 3.15 = 302 Z = + 02 3 Z Z 60 + 94,12+23,53 j =156 o 7 , 8 j e Ом. Ток 02 I& = + ⋅ = 1 02 302 1 Y Z Z Z E& = ⋅ − − o o o 45 14 7 , 8 7 , 70 97 156 100 j j j e e e – 0,56– 0,68 j А. Ток = I& 01 I& – 02 I& = 0,0535+0,013j + 0,56+ 0,68 j = 0,615 + 0,69j = 0,82 o 5 , 47 j e А. Задачи и вопросы для самоконтроля 1. Записать канонические формы узловых и контурных уравнения. 2. Как определяются собственные nn Y и общие km Y комплексные проводимости узлов 3. Определить понятие узлового тока nn J& 4. Как определяются собственные nn Z и общие km Z комплексные сопротивления контуров 5. Определить понятие собственной э. д. с. контура nn E& 6. Нарисовать граф и схему обобщенной ветви. 7. Записать для схемы рис. 3.16 узловые и контурные уравнения. 8. Определить правила записи топологические матриц инциденций А, главных контуров В, э. д. си токов источников тока обобщенных ветвей. 9. Нарисовать направленный граф для схемы рис. 3.16. Записать матрицы инциденций и главных контуров для этого графа. 10. Записать топологические матрицы Аи для графа схемы рис. 3.16. 11. Записать уравнения по методу контурных токов для цепей со схемами рис. 3.8 и 3.9. Рис. 3.16 50 |