ряды. Ряды.Гармонический анализ. Ряды. Гармонический анализ. Понятие ряда. Ряды с положительными членами
 Скачать 455.43 Kb.
|
|
Е. В. Прейс, Е. А. Волкова, В.М. Волков Ряды. Гармонический анализ. Понятие ряда. Ряды с положительными членами. Пустьзадана бесконечная последовательность чисел Числовым рядом называется выражение вида .Ряд считается заданным, если задан . Пример 1. Дан ряд . Записать первые пять членов ряда. Следовательно, ряд можно записать: Пример 2. Записать для ряда: а) б) Числа 1,5,9,13 образуют арифметическую прогрессию с разностью , первый член прогрессии равен . Общий член арифметической прогрессии . Следовательно, . В знаменателе, под корнем, первый сомножитель совпадает с номером , а второй с Сумма ряда. Суммы вида называются частичными суммами ряда. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм . Этот предел называют суммой ряда. Если предел не существует или равен бесконечности, то числовой ряд называют расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет. Перечислим свойства сходящихся рядов: 1. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число его членов, то полученный ряд также будет сходиться. Верно и обратное утверждение: если сходится ряд, полученный отбрасыванием конечного числа членов у данного ряда, то и данный ряд тоже сходится. 2. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Тогда ряд , где произвольное число, также сходится и его сумма равна 3. Пусть ряды и сходятся, и их суммы, соответственно, равны . Тогда ряд также сходится, и его сумма равна Пример 3.Найти сумму ряда Воспользуемся свойствами сходящихся рядов и распишем ряд на сумму двух рядов: Ряды представляют собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Знаменатель первого ряда , первый член . Для второго ряда . Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Тогда Пример 4. Найти сумму ряда Представим в виде суммы простейших слагаемых, применив метод неопределенных коэффициентов. Знаменатели равны, следовательно, равны и числители: ; ; Составим частичные суммы для этого ряда: ; ; ; ; ; В сумме уничтожаются слагаемые с , в сумме уничтожаются слагаемые с , и т.д. Все частичные суммы будут состоять из шести слагаемых, следовательно, и тоже. Запишем учитывая, что шестое слагаемое получается из последнего слагаемого при подстановке , пятое слагаемое получается из того же слагаемого при и четвертое слагаемое получается также, при . ; Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд сходится, то предел его - ого члена при равен нулю, т.е. Если , или не существует, то ряд расходится. Пример 5. Исследовать ряд на сходимость: Проверим, выполняется ли необходимый признак сходимости для данного ряда. Так как , то данный ряд расходится. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами и : 1) Если при всех и ряд сходится, то сходится и ряд , причем его сумма не превосходит суммы ряда . 2) Если при всех и ряд расходится, то расходится и ряд . 3) Если существует конечный и отличный от нуля предел , то ряды сходятся или расходятся одновременно. В качестве рядов для сравнения выбирают: Геометрическая прогрессия Ряд Дирихле При вычислении пределов можно пользоваться таблицей эквивалентных бесконечно малых функций. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций ( . 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Пример 6. Исследовать сходимость ряда Так как , следовательно, . Ряд расходится (ряд Дирихле при ), и по второму признаку сравнения расходится и ряд Пример 7. Исследовать сходимость ряда Имеем ( . Ряд сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом ряда . Следовательно, по первому признаку сравнения сходится и исходный. Можно было использовать и третий признак сравнения. , (использована таблица эквивалентных функций) следовательно, ряды ведут себя одинаково, т.е. исходный ряд сходятся. Пример 8. Исследовать сходимость ряда Применим предельный третий признак сравнения. В качестве сравниваемого ряда возьмем ряд ,члены которого получены как отношение старших степеней числителя и знаменателя, т.е. исходный ряд будем сравнивать с рядом Этот ряд сходится (ряд Дирихле при . Найдем предел , следовательно, ряды ведут себя одинаково, и исходный ряд тоже сходится. Признак Даламбера. Если для ряда существует , то ряд сходится при и расходится при . Если , то признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда. В этом случае используют другие признаки. Пример: Исследовать на сходимость ряд Применим признак Даламбера: , тогда .Следовательно, данный ряд сходится. Пример 9. Исследовать на сходимость ряд Применим признак Даламбера: , Следовательно, исходный ряд сходится. Пример 10. Исследовать на сходимость ряд Применим признак Даламбера: , исходный ряд расходится. Признак Коши. Если для ряда существует предел , то при ряд сходится, при ряд расходится, а при признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. В этом случае используют другие признаки. Пример 11. Исследовать сходимость ряда: Применим признак Коши: , ряд сходится. Пример 12. Исследовать сходимость ряда: Здесь удобно применить признак Коши, так как .Следовательно , ряд расходится. Использовали второй замечательный предел Интегральный признак Коши. Если при функция является непрерывной, положительной и монотонно убывающей, то ряд , где , сходится, если сходится несобственный интеграл , и расходится, если этот интеграл расходится. Исследуем на сходимость ряд Дирихле с помощью интегрального признака Коши. Функция является монотонно убывающей и положительной при . Найдем несобственный интеграл при : Значение предела будет зависеть от показателя степени . Если , , тогда предел равен и интеграл расходится. Следовательно, расходится и исходный ряд. Если – , , то предел и интеграл сходится. Ряд Дирихле при тоже сходится. Если , то , тогда интеграл расходится, и исходный ряд тоже расходится. Ряд Дирихле используется в признаках сравнения. Пример 13. Исследовать сходимость ряда Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши. Функция при является непрерывной, положительной и убывающей. Исследуем на сходимость несобственный интеграл Так как интеграл расходится, то расходится и исходный ряд. Задание №2. Для исследования рядов с положительными членами на сходимость в задании №2 необходимо применить достаточные признаки сходимости рядов. Если ый член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то применяют признаки сравнения. Если у ряда , является функцией от выражения , то применяют признак Даламбера. Если , то применяют признак Коши. Если представляет собой функцию, которая легко интегрируется, то применяют интегральный признак Коши. Знакопеременные ряды. Знакочередующимся называется ряд, в котором любые два соседних члена имеют разные знаки. Так знакочередующийся ряд это ряд вида , или , где Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд. Если выполнены условия: а) (т.е. абсолютные величины членов ряда монотонно убывают) б) (т.е. ый член ряда стремится к нулю), то ряд сходится, а его сумма удовлетворяет условию для ряда . Ряд, содержащий и положительные и отрицательные члены, называется знакопеременным. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Для знакопеременного ряда справедливо утверждение. Пусть дан знакопеременный ряд , где произвольные числа. Если ряд , составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то данный ряд также сходится. В этом случае знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд расходится, то данный ряд называется условно сходящимся. При исследовании знакопеременного ряда на абсолютную сходимость, к ряду можно применить все признаки, используемые при исследовании рядов с положительными членами. Из расходимости ряда не следует расходимость ряда . Но если к ряду применяли признак Даламбера или признак Коши, т.е. ( ) , то в этом случае оба ряда расходятся. Пример 14. Исследовать на сходимость ряд Данный ряд является знакочередующимся. Проверим условия признака Лейбница: а) т.е. первое условие выполнено. б) . Второе условие тоже выполнено. Ряд сходится по признаку Лейбница (т.е. условно). Проверим ряд на абсолютную сходимость. Для этого исследуем ряд с положительными членами . Применим к нему признак Даламбера: . Следовательно, ряд с положительными членами сходится, а исходный ряд сходится абсолютно. Пример 15. Исследовать на сходимость ряд Применим признак Лейбница: а) условие выполняется. б) . Ряд сходится по Лейбницу (условно). Проверим на абсолютную сходимость. Применим признак сравнения. Будем сравнивать исходный ряд с рядом . Согласно 3) признака сравнения, вычислим предел .Так как предел отличен от нуля, ряды ведут себя одинаково. Ряд расходится, как ряд Дирихле при Следовательно, исходный ряд не имеет абсолютной сходимости. Ряд сходится условно. Пример 16. Исследовать на сходимость ряд Этот ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница. . б) Второе условие признака Лейбница не выполняется. Следовательно, исходный ряд расходится. Остаток ряда и его оценка. Рассмотрим сходящийся ряд . Его сумма при достаточно больших значениях приближенно равна , причем точность этой оценки возрастает с ростом . Для оценки точности этого приближенного значения суммы введем понятие остатка ряда. Обозначим остаток ряда . Сумма всех членов ряда , а остаток ряда . Для сходящихся рядов , следовательно, Абсолютная погрешность при замене суммы ряда его частичной суммой равна . Таким образом, чтобы вычислить сумму ряда с заданной точностью , надо взять сумму такого числа первых членов ряда, чтобы , т.е. надо уметь оценивать остаток ряда. Пусть дан абсолютно сходящийся знакопеременный ряд . Тогда абсолютная величина его остатка не превосходит остатка ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда. Пример 17. Оценить остаток ряда . Обозначим его . Это знакопеременный ряд, так как может принимать положительные и отрицательные значения. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда Обозначим его остаток . Оценим , т.е. . Следовательно, Если знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, то его ый остаток по абсолютной величине не превосходит модуля первого из отброшенных членов ряда, т.е. . Пример 18. Найти сумму ряда с точностью Это знакочередующийся ряд. Проверим его на сходимость по признаку Лейбница. а) б) Условия признака Лейбница выполняются, ряд сходится. Найдем такое , при котором остаток ряда , , , , Следовательно, , и сумма ряда Функциональные ряды. Ряд, членами которого являются функции, определенные в некоторой области изменения аргумента , называется функциональным рядом: . Пример: . Придавая различные значения, будем получать числовые ряды, которые могут, как сходится, так и расходится. Пусть , , тогда функциональный ряд превращается в числовой ряд . Если этот ряд сходится, то называют точкой сходимости, если расходится – то точкой расходимости. Совокупность точек сходимости образует область сходимости. Частичная сумма является функцией от переменной . . Для всех из области сходимости , где есть сумма ряда. Для точек из области расходимости предел не существует или равен Пример 19. Найти область сходимости функционального ряда: Этот ряд представляет геометрическую прогрессию со знаменателем Геометрическая прогрессия имеет сумму, когда . Следовательно, Решаем неравенство методом интервалов и получаем Пример 20. Найти область сходимости функционального ряда: Для определения области сходимости воспользуемся признаком Даламбера. , . Решим неравенство . Следовательно, Внутри этой области ряд имеет абсолютную сходимость. Проверим сходимость ряда на концах интервала, так как признак Даламбера не отвечает на этот вопрос. , получаем ряд Исследуем его по признаку Лейбница, так как это знакочередующийся ряд: а) ; б) ряд сходится условно. Проверим абсолютную сходимость. Исследуем ряд , составленный из абсолютных величин исходного ряда. Воспользуемся признаком сравнения (пункт 3). Будем сравнивать с рядом (ряд расходится). , следовательно, ряды ведут себя одинаково. Значит, абсолютной сходимости нет. При получаем ряд . Этот ряд расходится и точка не входит в область сходимости. Ответ: Степенные ряды. Степенной ряд является частным случаем функционального ряда и имеет вид: (1) При ряд имеет вид: . (2) Найдем область сходимости степенного ряда (2). Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (2). Применим признак Даламбера к этому ряду , где . Из неравенства следует, что . Т.е. ряд сходится при , а расходится при . Если признак Даламбера не отвечает на вопрос о сходимости. Таким образом, областью сходимости степенного ряда (2) является решение неравенства , т.е. интервал . Число называется радиусом сходимости степенного ряда. Точки могут быть включены в область сходимости, если числовые ряды, полученные при этих значениях, являются сходящимися. Для ряда (1) область сходимости смещается по оси на : Пример 20. Найти область сходимости степенного ряда Это ряд вида (2). Областью сходимости этого ряда является интервал Найдем радиус сходимости для этого ряда. , , следовательно, ряд сходится при . Проверим на сходимость концы интервала. При исходный степенной ряд становится числовым рядом . Это ряд Дирихле с параметром , и он расходится. При исходный степенной ряд становится знакочередующимся числовым рядом . Применим к нему признак Лейбница: а) ; б) , оба условия выполняются. Ряд сходится условно. Проверим ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд , он расходится, следовательно, абсолютной сходимости нет. Ответ: областью сходимости степенного ряда будет интервал Пример 21. Найти область сходимости степенного ряда . Это ряд типа (1). Найдем радиус сходимости для этого ряда. . Так как радиус сходимости равен , ряд сходится для любых . Пример 22. Найти область сходимости степенного ряда . Это ряд типа (1). Найдем радиус сходимости для этого ряда. , . Следовательно, интервал сходимости для этого ряда , т.е. . Проверим сходимость на концах интервала. При степенной ряд становится числовым рядом Применим к этому ряду признак сравнения. Будем сравнивать с рядом . Это ряд Дирихле с , и этот ряд сходится. , Следовательно, ряды ведут себя одинаково, и ряд сходится, и входит в область сходимости исходного ряда. При степенной ряд становится знакочередующимся числовым рядом Применим к нему признак Лейбница: а) . Условия выполняются, ряд сходится условно. Проверим знакочередующийся ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из абсолютных величин знакочередующегося ряда . Уже показали, что этот ряд сходится. Значит, знакочередующийся ряд сходится абсолютно и точка входит в область сходимости ряда. Ответ: Разложение функции в ряд Тейлора и Маклорена. Пусть функция бесконечно дифференцируема в точке , тогда для неё справедлива формула Тейлора: , т.е , где остаточный член ряда, который используют для оценки точности описания функции рядом Тейлора. Эта формула справедлива только в случае, когда . В этом случае говорят, что функция разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки : . Если в ряде Тейлора , то получим ряд Маклорена . Чтобы разложить функцию в ряд Тейлора (или Маклорена), нужно: а) найти значение функции, и её производных в точке и подставить их в общее выражение ряда Тейлора (или Маклорена) для произвольной функции; б) определить множество значений , при которых полученный ряд сходится к функции, т.е. при которых Исследование остаточного члена ряда часто бывает затруднительным, поэтому исследуют сходимость ряда Тейлора как обычного степенного ряда. При разложении функций в ряд Тейлора могут быть использованы разложения основных элементарных функций: , , , , , . Пример 23. Найти разложение функции в ряд Тейлора. Воспользуемся разложением элементарной функции в ряд. Пусть , тогда , Ответ: Пример 24. Найти разложение функции в ряд Тейлора. Представим исходную функцию в виде . Обозначим Воспользуемся разложением элементарной функции = Учитывая, что , получим разложение исходной функции: . Пример 25.Разложить в ряд функцию в точке Воспользуемся общим видом ряда Тейлора. Найдем все производные и значение функции в точке , , , , . Подставляем значения производных и функции в ряд Тейлора: . Приближенные вычисления. Пусть требуется найти значение функции в точке с точностью . Разложим функцию в степенной ряд , точка принадлежит области сходимости . Тогда значение функции в точке можно заменить значением суммы степенного ряда . Чтобы достичь заданной точности при вычислении значения функции в точке, нужно оставить у ряда первые членов так, чтобы . Т.е. выбираем так, чтобы остаток ряда был меньше заданной точности. Для знакочередующегося ряда, согласно признаку Лейбница, выбираем из условия, чтобы первый из отбрасываемых членов ряда был меньше точности . Для знакоположительных рядов делаем оценку остатка ряда Пример 26. Вычислить с точностью Преобразуем число под корнем: Воспользуемся стандартным рядом , где . Получаем: Получили знакочередующийся числовой ряд. Четвертое слагаемое меньше заданной точности, поэтому это слагаемое и все последующие можно отбросить. Получаем: Пример 27. Вычислить с точностью Воспользуемся разложением в ряд функции . Получили знакочередующийся ряд. Учитывая, что получаем, что слагаемое . Следовательно, Пример 28. Найти с точностью . Воспользуемся разложением функции ряд Тейлора: Следовательно, . Получился ряд с положительными членами. Сделаем оценку остатка ряда: . Выражение в скобках представляет сумму убывающей геометрической прогрессии, т.к. . Получили оценку для остатка ряда Найдем, при каких значениях остаток ряда будет меньше заданной точности: , , , Следовательно, и Пример 29. Вычислить с точностью Разложим подынтегральное выражение в ряд. Воспользуемся для этого рядом . Подставим вместопеременной выражение , получим ряд: . Заменим выражение, стоящее под интегралом, на полученный ряд: Полученный числовой ряд является знакочередующимся, слагаемое , начиная с него ряд можно отбросить, тогда . Пример 30. Найти разложение в степенной ряд частного решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям: .(записать три первых, отличных от нуля, члена разложения в ряд) Из начальных условий следует, что , тогда искомую функцию разложим в ряд Маклорена Два первых коэффициента даны в условии задачи, третий получим при подстановке известных величин в данное уравнение Следовательно, . Найдем путем последовательного дифференцирования исходного уравнения Подставляя эти значения в ряд Маклорена, получим исходное разложение Ряды Фурье. Простое гармоническое колебание описывается функцией , где координата колеблющейся точки, время, амплитуда колебаний, частота колебаний, начальная фаза. Функция называется простой гармоникой. Колебания, которые получаются в результате наложения нескольких простых гармонических колебаний, называются сложными гармоническими колебаниями. Например, в случае наложения двух простых колебаний, получаем .Сложное колебание будет периодическим, с периодом Вообще сумма простых гармоник при различных значениях параметров приводят к самым разнообразным периодическим функциям. На языке механики это означает, что наложение простых гармонических колебаний создает разнообразные периодические движения. Мало того, оказалось, что если рассмотреть бесконечные суммы простых гармоник, т.е. ряды, то практически любую периодическую функцию можно разложить на простые гармоники. Пусть функция, заданная на отрезке [– , тогда называется рядом Фурье, где , , . Условие сходимости ряда установлены немецким математиком Дирихле: Если непрерывна или имеет конечное число точек разрыва на и при этом монотонна или имеет конечное число экстремумов на , то ряд Фурье сходится для всех , и его сумма равна: во всех точках непрерывности из интервала ; для точек разрыва; . Пример 31. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале . Запишем разложение функции в общем виде: Найдем неизвестные коэффициенты — , , т.к. , т.к. Следовательно, . Ряд Фурье для четных и нечетных функций. Пусть четная функция, т.е. . Тогда , , где Если нечетная функция, т.е. , тогда , , где Пример 32. Разложить в ряд Фурье функцию Функция является нечетной, все коэффициенты . Найдем коэффициенты , Ряд Фурье для функций, заданных на произвольном интервале. Пусть периодическая функция, с периодом , удовлетворяющая условиям Дирихле на интервале . Тогда функцию можно разложить в ряд Фурье: , где Пример 33. Разложить в ряд Фурье функцию на интервале Распишем по определению Функция является четной, . Запишем ряд Фурье для четных функций: . , . . |