Олимпиадные задачи с решениями. Сборник олимпиадных задач по физике
 Скачать 2.52 Mb.
|
|
E , откуда Bl mgR Bl E 1 Ответ 1 мс. При В стержень не сдвинется с места и его скорость будет равна нулю. 4. Дайте определения фокусного расстояния и оптической силы тонкой линзы bЗадача. Светящаяся точка S приближается к собирающей тонкой линзе и пересекает ее главную оптическую ось на расстоянии d = 30 см от линзы. В этот момент скорость точки составляет угол = 30 с осью линзы. Найдите угол β между скоростью изображения S точки S и главной оптической осью линзы в тот же момент времени. Фокусное расстояние линзы F = 20 см. Решение При прямолинейном движении светящейся точки её изображение будет двигаться также по прямой. Из рисунка видно, что d H tg ; f H tg . Отсюда tg Применив формулу тонкой линзы F f d 1 1 1 , находим, что tg Ответ arctg F F d ; изображение удаляется от линзы. 20 Олимпиада школьников Покори Воробьевы горы по физике Олимпиада проводится Московским государственным университетом имени МВ. Ломоносова совместно с Издательским Домом Московский комсомолец. Официальный портал олимпиады размещен в сети Интернет по адресу www.pvg.mk.ru Олимпиада включает два обязательных этапа – первый этап – отборочный, который проводится в заочной форме с применением дистанционных образовательных технологий в период с ноября по декабрь – второй этап – заключительный, который проводится в очной форме в период с февраля по март. Для участия в отборочном этапе необходимо пройти регистрацию на официальном портале Олимпиады, получить задания, отправить свои решения в электронном виде через личный кабинет на портале Олимпиады. К участию в заключительном этапе допускаются победители и призеры отборочного этапа, а также победители и призеры Олимпиады школьников Покори Воробьевы горы предыдущего года поданному предмету, продолжающие освоение общеобразовательных программ среднего (полного) общего образования. Транспортные расходы участников заключительного этапа, а также проживание участников и сопровождающих их лиц, традиционно оплачиваются оргкомитетом Олимпиады. При этом вопрос о выборе города, где школьники участвуют в заключительном этапе Олимпиады, решается Оргкомитетом. 21 Отборочный этап олимпиады школьников Покори Воробьевы горы Пример задания для х – х классов Тестовая задача В схеме, показанной на рисунке, сопротивление всех соединительных проводов и контактов ключей пренебрежимо мало. Все три резистора одинаковы. Пока оба ключа были разомкнуты, амперметр показывал силу тока вцепи, равную 1 А. Когда один из ключей замкнули, сила тока возросла до 2 А. Какой станет сила тока, если замкнуть и второй ключ Считать, что провода и приборы не выйдут из строя. Решение Пока оба ключа были разомкнуты, то ток тек через три последовательно соединенных резистора. Поэтому ток в первом случае r R I 3 1 , где мы обозначили – ЭДС источника (равную напряжению, которое источник создает на своих клеммах при разомкнутой цепи, r – внутреннее сопротивление источника, а R – сопротивление каждого из резисторов. После замыкания одного из ключей (любого) два резистора оказываются закороченными, и ток течет только через один резистор. Поэтому 2 3 1 2 2 r R r R I I r R I , и поэтому R r . После замыкания второго ключа оказывается, что ток опять течет через все три резистора, но они оказываются подключены к клеммам источника параллельно. Поэтому r R I ) 3 / ( 3 , и мы можем найти, что 3 3 ) 3 ( 3 1 3 r R r R I I , то есть 3 А. Ответ 3 А. 22 Творческие задачи 1. Перекресток Два автомобиля подъезжают по разным дорогам к перекрестку (дороги пересекаются под прямым углом – см. рисунок. Скорость первого автомобиля 54 1 V км/час, а второго – 72 2 V км/час. В тот момент времени, когда первому автомобилю осталось проехать до перекрестка расстоянием, второму осталось до перекресткам. В дальнейшем скорости автомобилей не изменяются. Найдите минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения. Решение Так как нас спрашивают только про величину, характеризующую относительное положение автомобилей, то удобная система отсчета – связанная с одним из автомобилей. Рассмотрим движение в СО автомобиль 1». Отметим характерные точки так, как показано на рисунке. В этой СО автомобиль 1 покоится, а автомобиль 2 движется с постоянной скоростью 1 2 2 V V V . Построив векторный треугольник скоростей (см. рисунок, мы находим положение линии BD, вдоль которой движется автомобиль 2 в этой системе отсчета. Минимальное расстояние равно длине перпендикуляра AD, опущенного на эту линию. Далее используем подобие треугольников. Треугольник OBC подобен треугольнику скоростей, поэтому b V V OC 2 Значит, b V V a AC 2 Треугольник ACD тоже подобен треугольнику скоростей, поэтому 2 2 2 1 1 2 2 2 2 Подставляя скорости, находим 140 5 3 м. 23 Ответ 140 5 3 4 2 2 2 1 1 м. 2. Очень большой сифон В архивах одной секретной лаборатории был найден отчет о необычном эксперименте. Для него была построена вертикальная колонна высотой м. Колонна снабжена вентилем небольшого диаметра, расположенным в самом низу колонны и снабженным очень точным электронным счетчиком расхода воды (расход воды – это объем воды, проходящей через вентиль в единицу времени. Если колонну заполнить целиком и открыть вентиль, то расход воды будет максимален и равен некоторой величине m q . Входе эксперимента колонну заполняли водой частично при запертом вентиле, закрывали сверху крышкой с тонкостенной трубкой, идущей сквозь крышку внутрь колонны, тщательно герметизировали все стыки (стенок колонны с крышкой и крышки с трубой, а затем открывали вентиль. В архиве сохранилась таблица данных о связи расхода воды (в процентах от m q ) и высоты уровня воды в колонне. Правда, в таблице не указаны единицы измерения высоты, нов пояснениях сообщается, что погрешность всех данных равна единице последнего указанного разряда. Пользуясь имеющимися данными, ответьте наследующие вопросы На какой высоте над дном колонны находится нижний конец трубы Каков был начальный уровень воды в колонне в этом эксперименте В каких единицах могут быть приведены высоты в таблице При каком атмосферном давлении проводился эксперимент 24 Атмосферное давление считайте неизменными найдите его в мм.рт.ст. плотность ртути примерно в 13,546 раза больше плотности воды. Все высоты нужно найти в метрах. Для всех найденных величин постарайтесь обеспечить наилучшую возможную точность, и укажите ее. Известно, что в рамках требуемой точности вязкое трение, поверхностное натяжение и сжимаемость воды можно не учитывать. Решение Расход воды связан со скоростью вытекания воды v и площадью поперечного сечения потока через вентиль S соотношением S v q . Скорость вытекания проще всего определить из уравнения Бернулли если давление на уровне вентиля (то есть у дна колонны) равно p , а давление снаружи (атмосферное давление) равно 0 p , то (сечение колонны много больше сечения вентиля, и скорость движения воды на уровне вентиля в колонне много меньше скорости вытекания) ) ( 2 2 0 2 0 p p v v p p , где – плотность воды. Значит, ) ( 2 0 p p S q . Приоткрытой полностью заполненной колонне давление у дна H g p p 0 , и поэтому gH S q m 2 . При закрытой колонне в первый момент давление над поверхностью воды равно 0 p , и давление у дна 0 0 x g p p , поэтому начальный расход 0 0 2gx S q . Следовательно, H x q q m 0 0 . Согласно таблице, 001 , 0 816 , 0 0 m q q . Поэтому 0016 , 0 6659 , 0 в промежуточных результатах для повышения точности расчетов сохраняем лишний разрядим. По таблице 01 , 0 62 , 5 0 x неизвестных единиц длины, поэтому используемая единица длины равна 002 , 0 мВ этот диапазон попадает аршин (1 аршин м, так что лаборатория скорее всего располагалась в России. По мере вытекания воды давление над поверхностью уменьшается обратно пропорционально объему воздушного промежутка (при неизменной температуре, поэтому давление у дна x g x H x H p p 0 0 , поэтому скорость вытекания и расход воды через вентиль изменяются 25 x H x x gH p H x q x q m 0 0 ) ( (как видно из таблицы, расход убывает. Однако при этом уменьшается давление у нижнего конца трубки, и когда оно достигнет 0 p , то уровень воды в трубке опустится до ее нижнего конца, и дальше воздух начнет поступать через трубку в колонну, поддерживая давление, равное 0 p на уровне нижнего конца трубки. Поэтому давление у дна будет постоянно и равно где и – высота нижнего конца трубы над дном колонны. На этом этапе расход должен быть постоянен и равен H h q q m . Из таблицы видно, что расход действительно постоянен в пределах точности измерений в диапазоне 00 , 5 00 , 3 x . Усредняя имеющиеся значения, находим 5774 , 0 m q q , и поэтому 0011 , 0 3334 , 0 H h , что дает для высоты нижнего конца трубы над дном колонным. Этот этап прекращается, когда уровень воды достигает нижнего конца трубы. Далее воздух поступает в колонну, поддерживая над поверхностью воды давление 0 p , при этом давление у дна x g p p 0 , и поэтому H x q x q m ) ( – расход воды уменьшается, как и видно из таблицы. Как видно, атмосферное давление можно найти только по одному из значений расхода – при ) 01 , 0 аршин м. Из формулы для расхода жидкости на этом этапе найдем, что 2 2 0 0 ) ( m q q H x x x x H H g p , что позволяет найти атмосферное давление в мм водяного столба. Ясно, что для перевода в мм.рт.ст. нужно учесть различие плотностей 2 2 0 0 ) ( m РТ РТ q q H x x x x H H g p . Подставляя численные значения находим, что ) 300 1500 ( 0 p мм.рт.ст. (точность оказывается низкой, так как при вычислении величины x x 0 возникает очень большая ошибка – это величина около 9 см, и ошибка может быть близка к ней по порядку величины ) 7 , 1 см 26 Обнаруживается, что в любом случае давление значительно превышало нормальное атмосферное (760 мм.рт.ст). Можно сделать вывод, что эксперимент проводился в барокамере очень значительных размеров. Пример задания для х – х классов Тестовая задача В схеме, показанной на рисунке, диод не является идеальным – его вольтамперная характеристика (зависимость силы тока от приложенного напряжения) показана на рисунке. Как видно, у диода есть некоторое пороговое напряжение, ниже которого он заперт даже при прямом включении, а при его превышении он пропускает любой ток (считаем, что это справедливо для токов, характерных для этой схемы. Известно, что величина ЭДС источника враз больше порогового напряжения диода, а внутреннее сопротивление источника во столько же раз меньше сопротивления резистора. Найдите отношение мощности, выделяемой на диоде, к мощности, выделяемой на резисторе. Ответ запишите в виде числа. Решение Источник подключен к диоду в правильной полярности, ив отсутствие диода напряжение на резисторе равнялось бы 0 0 0 7 36 6 / 6 U U R R R U U R , то есть диод будет открыт. Значит, напряжение на диоде и резисторе на самом деле 0 U U U D R , и отношение мощностей рано отношению токов R D R D I I P P . Ток через резистора ток в ветви с источником определяется из уравнения 27 R U I U R I U 0 0 0 30 6 6 . Следовательно, R U I I I R D 0 29 . В итоге Ответ 29. Творческие задачи Архивы профессора Челленджера» 1. Подводная оптика Однажды профессор Челленджер производил наблюдения за обитателями пруда с чистой водой. При этом он использовал плосковыпуклую тонкую линзу, фокусное расстояние которой в воздухе равнялось 30 F см. Линза размещалась на поверхности воды (см. рисунок. Профессор рассматривал мелкий объект, находившийся точно под центром линзы на глубине см. С каким поперечным увеличением был виден объект Известно, что показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза Л, показатель преломления воды 414 , 1 С каким поперечным увеличением был виден объект Известно, что показатель преломления стекла, из которого изготовлена линза Л, показатель преломления воды 414 , 1 Решение Рассмотрим два луча, падающей от крайней точки наблюдаемого объекта на линзу. Первый луч – идущий по радиусу сферической поверхности линзы. Он не преломляется на сферической поверхности линзы, и падает под углом h R l 1 на ее плоскую поверхность. Здесь l – размер объекта, а R – радиус сферической поверхности (в этой и последующих выкладках мы считаем все углы малыми, а 28 толщиной линзы везде будем пренебрегать. После преломления на границе раздела стекло-воздух этот луч будет направлен под углом h R l n n Л Л 1 1 к главной оптической оси линзы. Второй луч – идущий параллельно главной оптической оси линзы. Угол его падения на сферическую поверхность равен R l 2 , и после преломления на границе раздела вода-стекло он будет идти под углом R l n n n R l n n R l Л Л Л 2 к главной оптической оси. После преломления на плоской поверхности этот угол станет равным R l n n n Л Л ) ( 2 2 . Численный анализ позволяет заметить, что 2 1 , и поэтому пересекаются продолжения этих лучей (то есть изображение объекта – мнимое. Обозначив h расстояние от линзы до изображения, запишем два выражения для величины изображения h l h h R l R l 2 1 . Используя полученное соотношение как уравнение для h , находим Л. Подставляя это значение во второе выражение, определяем размер изображения h n n nR nR l h n n nR h n n l l Л Л Л ) ( ) ( ) ( 1 Следовательно, увеличение изображения Л. Отметим, что для плоско-выпуклой линзы с показателем преломления стекла Л в воздухе фокусное расстояние F n R n R F Л Л ) 1 ( 1 Поэтому окончательно 7 , 7 ) ( ) 1 ( ) 1 ( h n n F n n F n n l l Л Л Л Примечание: В этой задаче есть целый ряд альтернативных путей можно мысленно добавить над линзой бесконечно тонкий слой воды. 29 Как известно, бесконечно тонкая параллельная пластина не вызовет смещения или преломления лучей, и задача сводится к анализу комбинации линза вводе+ преломление на границе раздела вода-воздух в этом случае ключевые формулы – это h h n , формула линзы F h n h 1 1 1 и формулы для оптической силы линзы вводе Ли в воздухе Л 1 ). Также можно использовать обобщенную формулу линзы для системы преломляющих поверхностей Л вместе с анализом хода одного из рассмотренных лучей. Но все эти пути должны приводить к тому же ответу. Ответ 7 , 7 ) ( ) 1 ( ) 1 ( h n n F n n F n n l l Л Л Л |