Олимпиадные задачи с решениями. Сборник олимпиадных задач по физике
 Скачать 2.52 Mb.
|
, считая с этого момента перемещения показаны на рисунке отрезками. Массы частиц C и D одинаковы. Была высказана догадка, что эти частицы появились при распаде одной единственной частицы, и что она сначала распалась натри частицы, а затем одна из трёх образовавшихся частиц распалась на две частицы. Установите, верна ли эта гипотеза, и если да, то определите, через какое время после первого распада произошёл второй распад Считайте, что частицы движутся свободно. 49 Решение Так как, согласно условию задачи, частицы движутся свободно, то можно считать скорости всех частиц неизменными по модулю и по направлению. Найдем скорости частиц по их перемещениям за время : / A A l V , / B B l V , / C C l V , Здесь i l – вектор перемещения й частицы за время Если две частицы вылетели одновременно из одной точки места распада, то их траектории – отрезки, выходящие из этой точки, а модули перемещений за любое время полета относятся как модули скоростей (а значит, как модули векторов i l ). Восстановим на чертеже траектории частиц, продолжая отрезки, задающие перемещения за время . Получится всего 6 точек пересечения траекторий. Но из них как места распада годятся только две точки 1 и 2 на рисунке, поскольку только для них отношение перемещений совпадает с отношением скоростей. Другие точки пересечения на рисунке не показаны. Для частиц A и B время полёта от места распада 1 до конечных положений, указанных точками A и B, одинаково и равно 4 . Для частиц C и D время полёта от точки 2 до конечных положений равно 2 . Поэтому второй распад происходит позже первого на время 4 – 2 = Из закона сохранения импульса в случае равных масс частиц C и D найдём вектор скорости V частицы, распавшейся в точке 2 на C и D: D C V m V m V m 2 , откуда 2 / ) ( D C V V V . Если эта частица появилась при первом распаде в точке 1, то ее перемещение от точки 1 до точки 2 должно совпасть с вектором D C D C l l V V V ) ( 2 . И это совпадение, как видно из чертежа, действительно обнаруживается. Таким образом, высказанная догадка верна. Ответ гипотеза верна, второй распад произошел позже первого на время 2 50 Задача 4 (АИ. Бычков, С.Д. Варламов) На горизонтальном участке поля Вася очистил от чистого белого снега площадку с размерами 1 мм. Под лучами весеннего солнца черная земля прогревается и нагревает расположенный над ней воздух. Тепловая мощность, получаемая воздухом от площадки, равна W = 0,3 кВт – поскольку солнце зимой находится довольно низко над горизонтом. В безветренную и сухую погоду при температуре воздуха T 0 = 273 К и давлении возле поверхности земли p = 10 5 Па столб теплого воздуха, поднимающийся над площадкой, имеет на высоте h = 10 м температуру T 1 = 275 К и поперечное сечение, равное S = 2 м. Температура окружающего воздуха не зависит от высоты и равна T 0 . Молярная масса воздуха μ = 29 г/моль, его молярная теплоемкость при постоянном давлении равна c p = 7R/2. 1) Оцените, с какой скоростью поднимается поток воздуха на высоте h, если процесс уже установился 2) Оцените, на какую высоту поднялся бы теплый воздух, если бы отсутствовал теплообмен между теплым воздухом и окружающим его холодным воздухом Примечание Справедлива приближенная формула Решение 1) Поток теплого воздуха уносит с собой от места нагревания некоторое количество теплоты, и мощность этой теплоотдачи равна мощности, поступающей к воздуху от очищенного от снега участка. Воздух нагревается при постоянном давлении. Плотность воздуха равна ρ = μp/(RT) иона мало отличается для теплого и для холодного воздуха. Если скорость подъема потока на высоте h обозначить через u, то масса воздуха, поднимающегося в потоке в единицу времени, равна 1 RT p Su Su t M . Для того чтобы нагревать этот воздух на ΔT = T 1 – T 2 = 2 К, нужна мощность 1 2 1 2 ) ( 7 T T T Sup T t M c W p , откуда 06 , 0 ) ( 7 2 2 1 1 T T Sp W T u мс. 51 2) Столб воздуха будет подниматься вверх до тех пор, пока его плотность не станет равной плотности окружающего воздуха на той же высоте. Кроме того, на этой высоте давление воздуха в столбе равно давлению окружающего воздуха, а значит, одинаковы и их температуры. Температура воздуха в столбе снижается с увеличением высоты из-за адиабатического расширения. Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует, что изменение объема расширяющейся порции воздуха равно 2 p p T T p R p T R V , где – количество вещества в рассматриваемой порции. Запишем для этой порции первое начало термодинамики, учитывая, что процесс является адиабатическим с. Здесь c V – молярная теплоемкость воздуха при постоянном объеме. С учетом предыдущего равенства получаем 0 ) ( p p R T T R с V Поскольку p V с R с , то p p с R T T p Оценим изменение давления на высоте h: оно равно Тогда для максимальной высоты подъема воздуха получаем оценку 200 2 7 0 g T R g T c pg p RT h p м. Ответ 1) поток воздуха на высоте 10 м поднимается со скорость 2 2 1 1 T T Sp W T u мс 2) поток теплого воздуха в отсутствие теплообмена поднялся бы на высоту 200 2 7 g T R h м. 52 Пример задания для го класса (2 тур) Задача 5 (АИ. Бычков) Квадратная пластина составлена из проводников двух сортов серого и белого см. рисунок. Удельное сопротивление белого проводника вдвое меньше, чем серого. Сопротивление пластины между вершинами A и B равно r 1 . Если через эти вершины пропускать ток силой I, то идеальный вольтметр, подключенный к вершинами, показывает значение напряжения U 1 . После охлаждения пластины удельное сопротивление белых проводников уменьшилось вдвое, а серых – в восемь раз. Сопротивление пластины между вершинами A и B при этом стало равным r 2 , а при пропускании через эти вершины прежнего тока силой I тот же вольтметр стал показывать значение U 2 1) Найдите сопротивление пластины между вершинами B и C до её охлаждения. 2) Найдите сопротивление пластины между вершинами A и С до её охлаждения. Решение Пусть потенциал точки А до охлаждения пластины равен 𝜑 𝐴 = 1 2 𝐼𝑟 1 (при пропускании через вершины A и B тока силой I). Тогда потенциал точки В равен 𝜑 𝐵 = − 1 2 𝐼𝑟 1 . Из симметрии пластины следует, что вдоль линии О 1 О 2 (рис. 1) потенциал постоянен и равен нулю. Рис. 1. Следовательно, потенциал точки D равен 𝜑 𝐷 = 1 2 𝑈 1 , а потенциал точки С равен 𝜑 𝐶 = − 1 Если удельное сопротивление обоих проводников уменьшится в одинаковое количество разв раз, то и сопротивление пластины уменьшится в тоже количество раз. На рисунке 2 показана ситуация для 53 𝑛 = 4. Цифрами обозначены удельные сопротивления проводников в относительных единицах слева изображена пластина до уменьшения удельного сопротивления в n = 4 раза, а справа – после этого. При этом при пропускании прежнего тока разности потенциалов между любыми парами точек пластины уменьшатся враз. Рис. 2. Рис. 3. Рассмотрим теперь, как будут изменяться сопротивления участков нашей пластины вследствие охлаждения, заданного в условии задачи. На рисунке 3 слева показана пластина до охлаждения, справа – после него. Заметим, что на рисунках 2 и 3 справа изображены одинаковые пластины – с точностью до поворота рисунка на 90 градусов. Это означает, что если в исходной пластине уменьшить сопротивления всех участков в 4 раза, ток силой I пропускать через 54 вершины В и С, а вольтметр подключить к вершинами, то получится ситуация, изображенная на рис. 2 справа – она соответствует пластине после охлаждения, в которой ток протекает через вершины A и B. Но, согласно условию задачи, в последнем случае сопротивление пластины Рис. 4. равно r 2 . Если теперь обратно увеличить сопротивление всех участков пластины в 4 раза, то получится исходная пластина до охлаждения, в которой ток пропускается через вершины В и С. Следовательно, 55 сопротивление в этом случае равно 4r 2 – это ответ на первый вопрос задачи. Обозначим потенциалы в вершинах пластины для двух ситуаций а) пластина после охлаждения, ток протекает через вершины Аи В (рис. 4, слева б) пластина до охлаждения, ток протекает через вершины В и С рис. 4, справа. Правый рисунок получается из левого путем умножения всех удельных сопротивлений и потенциалов на 4 и последующего поворота на 90 градусов. Рис. 5. Рассмотрим теперь (рис. 5) суперпозицию (наложение друг на друга) двух исходных не охлажденных пластин – при пропускании тока силой I через вершины A и B и при пропускании того же тока через вершины В и С. Эта суперпозиция приводит как раз к ситуации, когда ток силой I пропускается в исходной неохлажденной пластине между вершинами A и 56 С. Ввиду линейности закона Ома, потенциалы складываются. Поэтому окончательно получаем 𝑅 𝐴𝐶 = ( 1 2 𝐼𝑟 1 + 2𝑈 2 ) − (− 1 2 𝑈 1 − 2𝐼𝑟 2 ) 𝐼 = 1 2 (𝑟 1 + 4𝑟 2 ) + 𝑈 1 + 4𝑈 2 Ответ 1) сопротивление пластины между вершинами B и C до её охлаждения равно 4r 2 ; 2) сопротивление пластины между вершинами A и С до её охлаждения равно 𝑅 𝐴𝐶 = 1 2 (𝑟 1 + 4𝑟 2 ) + 𝑈 1 +4𝑈 2 Пример задания для го класса (1 тур) Задача 6 (Ю.А. Черников) Школьник Вася пошел в комнату смеха и обнаружил там большое круглое вогнутое зеркало, стоящее на полу и закрепленное так, что центр зеркала находился на уровнем над полом, а ось симметрии зеркала была горизонтальной. Насмеявшись вдоволь, Вася заметил, что его изображение в зеркале при определенных расстояниях до него либо сильно расплывается, либо получается нечеткими он не может себя разглядеть. Для того чтобы исследовать это явление, Вася начал приближаться к зеркалу, идя издалека вдоль его оптической оси и наблюдая при этом за изображениями своих глаз. Оцените, в каком диапазоне расстояний от глаз до центра отражающей поверхности зеркала школьник мог видеть четкое изображение своих глаз. Диаметр зеркалам, радиус кривизны отражающей поверхности R = 15 м, расстояние от пола до глазу Васи h = H = 1,5 м. Наименьшее расстояние, с которого Вася может рассматривать что-либо в подробностях например, читать условие этой задачи, равном. Будем также считать для упрощения задачи, что бесконечно удаленные от глаз объекты Вася может разглядеть вне зависимости от их размеров. Решение В первую очередь отметим, что глаза Васи всё время находятся на одном уровне с главной оптической осью зеркала. Рассмотрим процесс приближения Васи к зеркалу. Если школьник находится очень далеко от зеркала, то изображение его глаз будет располагаться в фокусе зеркала, и Вася сможет его разглядеть. По мере приближения Васи к зеркалу изображение его глаз будет приближаться к точке, удаленной от зеркала на два его фокусных расстояния. Крайним положением, из которого Вася сможет разглядеть изображение своих 57 глаз, будет такое, при котором расстояние между глазами школьника и их изображением будет равно a. Расстояние d от глаз Васи до зеркала в этом случае можно найти, используя формулу сферического зеркала (она совпадает с формулой тонкой линзы при замене фокусного расстояния F линзы на R/2): R a d d 2 Выбирая больший корень этого уравнения и пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получаем оценку для расстояния от глаз Васи до зеркала При дальнейшем приближении Васи к зеркалу изображение его глаз сначала располагается слишком близко к глазам, а затем и вовсе оказывается позади Васи (то есть на расстоянии большем, чем расстояние от глаз Васи до зеркала. В этом случае школьник будет воспринимать изображение размытым. Однако, когда глаза Васи оказываются в области перед фокусом зеркала (то есть при расстоянии до зеркала меньшем R/2), то изображение глаз становится мнимыми оно располагается так, что Вася может его разглядеть. Ограничение на диапазон видимости изображения глаз в этом случае связано стем, что при слишком сильном приближении глаз Васи к зеркалу расстояние между его глазами и их изображением может стать меньше, чем a. При таких расстояниях зеркало можно считать плоскими поэтому минимальное расстояние от глаз до зеркала, при котором Вася еще сможет рассмотреть изображение, должно составлять a/2 – при этом изображение глаз будет находиться на границе видимости. Этот ответ соответствует меньшему корню записанного выше уравнения (опять же, при пренебрежении слагаемыми второго порядка малости. Таким образом, искомый диапазон видимости изображения глаз состоит из двух интервалов [a/2; R/2] и [R + (a/2); ∞) или [0,1 мм им. Ответ школьник мог видеть четкое изображение своих глаз при следующих расстояниях от глаз до центра отражающей поверхности зеркала [a/2; R/2] и [R + (a/2); ∞) или [0,1 мм им Олимпиада школьников «Робофест» по физике 2017-2018 Олимпиада школьников «Робофест» – новая олимпиада по физике в МГУ. Она была впервые проведена в 2015/16 учебном году в рамках Всероссийского робототехнического фестиваля «РобоФест» по инициативе учредителя Фонда поддержки социальных инноваций Вольное Дело О.В. Дерипаска и ректора МГУ академика В.А. Садовничего. Эта инициатива получила поддержку Правительства Российской Федерации. Отборочный этап олимпиады школьников «Робофест» проходит в рамках муниципальных, региональных и окружных мероприятий Фестиваля. Финальный этап проводится в г. Москва, и состоит из двух туров на первом туре школьники участвуют в робототехнических соревнованиях в рамках Фестиваля в г.Москве и на «FIRST Russia Open», на втором - выполняют задания по физике в МГУ. Следует отметить, что Всероссийский робототехнический фестиваль «РобоФест» является ключевым мероприятием Программы Робототехника инженерно-технические кадры инновационной России. Программа реализуется с осени 2008 года Фондом Вольное Дело при поддержке Министерства образования и науки РФ и Агентства стратегических инициатив. За это время Фестиваль стал крупнейшим в России (ив Европе) мероприятием такого рода, в нем участвуют школьники и студенты из разных стран мира. Олимпиада «Робофест» дает возможность школьникам, увлеченным робототехникой, проявить себя ив решении задач по важнейшей для них дисциплине – физике, и получить льготы при поступлении в профильные ВУЗы. В 2017/18 учебном году олимпиада «Робофест» включена в Перечень олимпиад школьников и является олимпиадой II уровня. 59 Отборочный этап олимпиады школьников «Робофест» Пример задания 1. Роботу которого обе пары колес являются ведущими, одинаковы по размерами снабжены одинаковыми шинами, разгоняется по горизонтальной поверхности. При этом на робота действует, среди прочих сил, сила сопротивления воздуха. В зависимости от размеров робота, его формы и скорости, величина этой силы может быть либо пропорциональна скорости (малые размеры, обтекаемая форма, небольшие скорости, либо пропорциональна квадрату скорости большие размеры, угловатая форма, высокие скорости. В первом случае будем говорить о движении робота в режиме вязкого трения, во втором – о движении в режиме лобового сопротивления. В данном задании нужно исследовать общие и различные черты этих двух режимов) Коэффициент трения шин робота о поверхность не зависит от режима движения. Различаются ли максимально возможные ускорения двух роботов с одинаковыми , если один из них во всем рассматриваемом диапазоне скоростей движется в режиме вязкого трения, а другой – в режиме лобового сопротивления Ответ объяснить. 2) Допустим, что двух роботов из пункта 3.1 перенесли на другую новую) поверхность, на которой для обоих коэффициент трения в два раза больше, чем на старой. Во сколько разу каждого из роботов возрастет максимальная скорость, достижимая при достаточно длительном разгоне 3) На самом деле взаимодействие движущегося тела с воздухом не сводится к силе сопротивления. Вокруг движущегося тела создаются потоки воздуха, из-за которых может возникать направленная вверх подъемная сила (при этом говорят, что тело имеет аэродинамический профиль типа крыло) или направленная вниз прижимающая сила тело имеет аэродинамический профиль типа «антикрыло»). Если не возникает ни подъемной, ни прижимающей силы, то аэродинамический профиль тела называют нейтральным. Пусть робот с нейтральным аэродинамическим профилем, вес которого равен 30 Н, разгоняется на горизонтальной поверхности до максимальной скорости 4 мс. Размеры и форма роботы таковы, что при подобных скоростях сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости. На робота устанавливает легкое антикрыло. Создаваемая им прижимающая сила растет 60 пропорционально скорости, и при 4 мс равна 25 Н. Как установка антикрыла повлияет на максимальную достижимую скорость робота – увеличит или уменьшит Ответ объяснить. Найдите величину максимальной скорости робота на той же поверхности после установки антикрыла. 4) Пусть роботу изданного задания нужно проехать с постоянной скоростью вдоль горизонтальной линии на плоскости, наклоненной под углом 30° к горизонту. Опишите примерно, как должны быть ориентированы плоскости колес робота (считаем, что плоскости всех четырех колес параллельны Ответ объяснить. Куда при этом будут направлены силы трения колесо плоскость Пусть сила сопротивления воздуха на скорости движения враз меньше веса робота. При какой величине коэффициента трения между шинами и поверхностью такое движение возможно Ответы 1) Не различаются Ускорение робота создается разностью сил трения о поверхность и силы сопротивления воздуха. Первая максимальна при проскальзывании шин и равна силе трения скольжения g m . Вторая растет с ростом скорости. Поэтому максимальное ускорение достигается, когда колеса проскальзывают при почти нулевой скорости. Значит, g a max , и максимальная величина ускорения зависит только от коэффициента трения. 2) У робота, движущегося в режиме вязкого трения – в 2 раза, у робота, движущегося в режиме лобового сопротивления – враз Максимальная скорость – та, при которой сила лобового сопротивления уравновешивает максимальную силу отталкивания робота от поверхности, то есть силу трения скольжения. Таким образом, при v F c , такой режим наступает при максимальная скорость увеличивается пропорционально коэффициенту трения. Аналогично при получаем 61 максимальная скорость увеличивается пропорционально корню квадратному из коэффициенту трения. Отсюда получаем ответ. 3) Установка антикрыла увеличит максимальную достижимую скорость, иона станет равна 6 мс После установки антикрыла за счет прижимной силы возрастет и сила трения скольжения. Максимальная скорость определяется условием 2 v F mp , и поэтому максимальная достижимая скорость возрастет. Теперь построим количественный анализ. До установки антикрыла mg F mp , и из условия находим, что 2 m v mg . По условию после установки антикрыла прижимная сила пропорциональна скорости и равна 25 Н (то есть mg 6 5 ) при скорости мс, поэтому можно записать, что при произвольной скорости прижимная сила mg v v F m np 6 5 . Тогда сила трения m m mp v v mg mg v v mg F 6 5 1 6 5 , и уравнение для новой максимальной скорости имеет вид 2 2 2 6 5 Следовательно, 0 1 6 5 2 2 m m m m v v v v . Положительный корень этого уравнения 6 2 3 2 мс. Примечание участники из младших классов могут построить грубую оценку сославшись на то, что за счет прижимной силы сила 62 трения скольжения возрастает примерно враз, а сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости, они могут оценить новую скорость как 4 , 5 мс. За такой ответ баллы ставятся, нов меньшем количестве. 4) Колеса должны быть ориентированы под углом к линии движения так, чтобы опускающаяся к плоскости часть каждого колеса была спереди и выше линии движения. При этом сила трения будет направлена против векторной суммы скорости робота и скорости вращения точки колеса, касающейся поверхности, и тоже впереди вверх по отношению к роботу. Движение возможно, если коэффициент трения не менее 2/3. При таком движении колеса робота не могут быть выставлены параллельно линии движения – иначе у силы трения не будет составляющей, направленной вверх вдоль плоскости на рисунке – вдоль оси y ), и робот будет скользить вниз вдоль плоскости под действием силы тяжести. Кроме того, у силы трения должна быть составляющая, направленная вперед (вдоль оси x ). Ясно, что колеса должны быть ориентированы под углом к линии движения, и поэтому они обязательно проскальзывают при таком движении. Сила трения скольжения всегда направлена против относительной скорости поверхностей, а скорость точки колеса, касающейся поверхности, есть векторная сумма скорости робота и скорости вращения этой точки вокруг оси колеса. Отметим, что вектор линейной скорости вращения вращ v лежит в плоскости колеса. Как видно из построения (рисунок справа, необходимо, чтобы опускающаяся к плоскости часть каждого колеса была спереди и выше линии движения. При движении с постоянной скоростью составляющая силы трения должна уравновешивать силу сопротивления воздуха 3 по условию, а составляющая – компоненту 63 силы тяжести вдоль плоскости ) sin( g m F y mp . Значит, сила трения 3 12 1 ) ( sin 2 mg g m F mp . Но она должна быть не больше ) cos( mg . Значит, 3 2 2 3 3 mg mg 64 Теоретический тур заключительного этапа олимпиады школьников «Робофест» Пример задания для х – х классов |