1 курс МФТИ матан. Сборник распространенных вопросов

• Название: Сборник распространенных вопросов
• Анкор: 1 курс МФТИ матан
• Дата: 17.01.2021
• Размер: 0.6 Mb.
• Имя файла: Matan.pdf
• Тип: Сборник; #168916
• страница: 1 из 5

Сборник распространенных вопросов,
примеров и контрпримеров по курсу математического анализа 2 семестра
Коллектив 1 курса ФБМФ
1 июня 2020 г

Содержание
1.
Многомерный анализ
1.1
Множества в Предел функции многих переменных
1.3
Дифференцируемость функции многих переменных
1.4
Мера Жордана
2.
Интегралы
2.1
Неопределённый интеграл
2.2
Интеграл Римана
2.3
Интеграл с переменным верхним пределом. Формула
Ньютона-Лейбница
2.4
Геометрические приложения определённого интеграла интеграл от знакопостоянной функции Несобственный интеграл от знакопеременной функции числовые ряды
3.2
Знакопеременные числовые ряды
3.3
Перестановки членов рядов. Перемножение рядов
3.4
Функциональные последовательности
3.5
Функциональные ряды
3.6
Комплексные степенные ряды
3.7
Действительные степенные ряды. Ряды Тейлора

Многомерный анализ
1.1
Множества в R
n
1. Приведите примеры разных метрик в Метрическое пространство - упорядоченная пара из линейного пространства и метрики, заданной на нм. Метрика - это достаточно произвольная функция, для неё требуется лишь выполнение 4 аксиом метрики. ρ(x, y)
> 0 ∀(x, y) ∈ M × M
2.ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y
3.ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀(x, y) ∈ M × M
4.ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ M
• Обычная метрика, y) =
v u
u t
n
X
i=1
(x i
− y i
)
2
• Метрика городских кварталов - такая, в которой расстояния считаются параллельно осям, y) =
n
X
i=1
|x i
− y Для этой метрики очевидно выполнение первых трёх аксиом, докажем четвёртую: ρ(x, z) = |x
1
− z
1
|+. . .+|x n
− z n
| 6 (|x
1
− y
1
| + |y
1
− z
1
|)+
. . .+(|x n
− y n
| + |y n
− z n
|) = (|x
1
− y
1
| + . . . + |x n
− y n
|)+(|y
1
− z
1
| + . . . + |y n
− z n
|) =
ρ(x, y) + ρ(y, z) ⇒ я аксиома выполняется Ещё один вариант метрики ρ (x, y) = max k∈{1,··· ,n}
(|x k
− y k
|) - для него я аксиома проверяется аналогично Также существует тривиальный пример дискретной метрики ρ(x, y) =
0, если x = y, и ρ(x, y) = 1 во всех остальных случаях - легко убедиться, что все аксиомы верны.
Определение 1. Пусть X− некоторое множество точек евклидова пространства R
n
. Точка x ∈ X называется внутренней точкой этого множества (относительно пространства R
n
), если существует ε- окрестность этой точки, содержащаяся в множестве X, те. суoе- ствует такое ε > 0, что U
ε
(x) ⊂ X.
3

Докажите, что пересечение конечного числа открытых множеств, и объединение счетного числа открытых множеств открыты. Всегда ли открыто пересечение счетного числа открытых множеств?
Пускай G
1
, . . . , G
m
- конечный набор открытых множеств, докажем что G =
T
m i=1
G
i открыто. Возьмём произвольную точку x ∈ G, тогда по определению пересечения x ∈ G
i
∀i ∈ {1, · · · , n}, а по определению открытого множества в каждое из G
i x входит с некоторой окрестностью, те. ∀i = {1, . . . , m}∀x ∈ G
i
∃ε
i
> 0
U
ε
i
(x) ⊂ G
i
. Т.к. набор конечен, из ε
i можно выбрать минимальную ε
0
, и тогда x входит в G с
ε
0
-окрестностью, что в силу произвольности выбора x и даёт то, что G
открыто.
Доказательство для объединения даже проще - ∀x ∈ G ∃i : x ∈ G
i
,
причём по определению открытого множества ∃ε : U
ε
i
(x) ⊂ G
i
. Но этаже окрестность принадлежит и объединению - а значит, оно открыто.
Важно помнить, что утверждение неверно для счётного пересечения - выберем G
n
= (−
1
n
; 1 +
1
n
), тогда пересекая по всем n ∈ N получаем отрезок- а он, очевидно, открытым множеством не является (концевые точки входят без своих окрестностей).
Дадим ещё некоторые определения Определение 2. Точку x
0
∈ R
n называют точкой прикосновения множества X ⊂ R
n
, если ∀ε > 0 ,→ U
ε
(x
0
)
T X 6= ∅
• Определение 3. Границей множества X ⊂ R
n называется множество. Точки множества ∂X называются граничными точками множества X
• Определение 4. Точку называют предельной для множества если X ⊂ R
n
, если ∀ε > 0 ,→
◦
U
ε
(x
0
)
T X 6= ∅
• Определение 5. Точку называют изолированной точкой множества, если ∃ε > 0 :
U
ε
(x) ∩ X = Докажите, что любая изолированная точка множества X является точкой прикосновения, ноне является предельной, верно и обратное
Доказательство следует напрямую из определений - если точка изолированная, то существует такая её окрестность, которая пересекается с лишь по самой точке x - а значит, пересечение любой окрестности x с

X непусто, а пересечение хотя бы некоторой проколотой окрестности - пусто.
Определение 6. Множество G ∈ R
n называют замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
4.Докажите, что объединение конечного числа и пересечение счётного числа замкнутых множеств замкнутно. Верно ли это для объединения счётного числа замкнутых множеств?
Обозначим F =
S
m k=1
F
k
, где F
k замкнуты ∀k ∈ {1, ..., m}. Возьмём произвольную предельную точку x множества F, докажем что оное содержит. Действительно, по определению предельной точки построим n
} ⊂ F т.ч. lim n→+∞
x n
= x. Так как в объединении содержится лишь счётное количество множеств, хотя бы из одного F
k мы сможем выбрать подпоследовательность {x n
k
}, целиком лежащую в F
k
, и сходящуюся к x по свойству подпоследовательности (предположим что мы этого сделать не сможем, тогда получим что в {x n
} лишь конечное число элементов - а это противоречит счётности N). Но т.к. F
k замкнуто, то x ∈ F
k
, а значит и x ∈ F , чтд.
Для пересечения доказательство проще - также выберем последовательность, сходящуюся к x, но по определению пересечения она лежит во всех множествах из пересечения, а значит получаем что x лежит во всех множествах пересечения(т.к. все множества из пересечения замкнуты),
то есть лежит ив, чтд.
В случае объединения счетного числа множеств легко построить похожий с п пример возьмём F
n
= [1/n; 1 − 1/n], и при объединении по всем n ∈ N получим (0,1), не являющийся замкнутым множеством (легко проверить что 0 - предельная точка, но при этом во множестве не лежит. Верно ли, что любая окрестность граничной точки множества содержит в себе как внутренние точки самого G, таки внутренние точки его дополнения?
Нет, неверно. Во-первых, можно взять изолированную точку y - тогда по определению некоторая её окрестность в пересечении сбудет содержать лишь y - а значит, никаких внутренних точек G в ней нет.
Можно привести и менее тривиальный пример G = [0, 1] ∩ Q. Во- первых, любая его точка является граничной, и это само по себе довольно интересно. Более того, для любой точки G никакая её окрестность не содержит внутренних точек ни самого G, ни его дополнения!(это легко показать, используя всюду плотность рациональных чисел в действи- тельных)
6.

Существует ли множество, состоящее только из изолированных точек, но имеющее предельную?
Да, существует. Это множество G = ∪
n∈N
{
1
n
}. Очевидно, что все его точки изолированные, а точка 0 является предельной(причём по теореме о единственности предела других предельных точек у этого множества нет).

7.Существует ли открытое множество, не совпадающее с внутренностью своего замыкания?
Да, существует. Например, круг в с выколотым центром игра- ницей - его замыкание это целиковый круг с границей, а внутренность замыкания - круг без границы, но содержащий центр.
8.
Существует ли множество, не открытое и незамкнутое Да, это тоже самое G = (0, 1)∩Q. Возьмем точку 0 - она является пре- дельной(к ней стремится последовательность, лежащая в G), но сама вне лежит. А точка 2
, к примеру, лежит в множестве, ноне является внутренней(в любой окрестности есть иррациональные числа, вне лежащие. Таким образом G не является ни открытым, ни замкнутым.
9.Равномощны ли множества [0,1] и (0,1) ⊂ Да, равномощны: рассмотрим отдельно множества рациональных и иррациональных точек каждого из интервалов. Очевидно, что множества иррациональных точек попросту совпадают, а множества рациональных оба счётны по теореме, доказанной в первом семестре, те. рав- номощны N, а значит и друг другу.
10.

Существует ли несчётное, замкнутое множество, мера Лебега которого равна нулю?
Да, и это крайне интересный пример - Канторово множество. Строится оно следующим образом определим K
0
= [0, 1], K
1
= [0,
1 3
] ∪ [
2 3
, и дальнейшие множества по индукции - каждое следующее получается выкидыванием центральной трети каждого из отрезков безграничных точек. А само K определим как K =
T
∞
i=0
K
i
. Легко посчитать, что мера Жордана каждого K
i равна (
2 3
)
n
, а потому мера (но уже Лебега, т.к.
объединение счётного числа множеств) самого К равна нулю.
Докажем, что К несчётно. Заметим, что на каждом шаге мы делим отрезок на два, будем называть один из них левым, а другой правым.
Любую граничную точку K
i можно задать последовательностью переходов влево и вправо, те. нам шаге таких точек 2
i
. Но это значит что само K равномощно 2
N
, те. несчётно, чтд.
Наконец, К действительно замкнуто, т.к. каждое K
i замкнуто, а по пункту 4 пересечение счётного числа замкнутых множеств также за- мкнуто.
Отметим ещё интересные факты про K: оно не содержит в себе никакого отрезка(действительно, на некотором шаге он был бы разбит, все

его точки граничные(в этом смысле оно похоже на [0, 1] ∩ Q), а внутренность его замыкания пуста.
11.Пусть A− множество изолированных точек некоторого множества. Доказать, что если множество A бесконечно и ограничено, то оно не является замкнутым.
Предельная точка множества A не может быть изолированной точкой множества X, т. кв любой ее проколотой окрестности есть точки множества A, те. точки множества Может ли множество изолированных точек некоторого множества X ⊂ R

n быть несчётным?
Нет. Пусть - множество изолированных точек X. Точка множества имеет проколотую окрестность, в которой нет точек A. Выберем в этой проколотой окрестности точку с рациональными координатами. Множество таких точек не более чем счетно, а значит и А тоже не более чем счётно.
13.Может ли для двух множеств X и Y из R

n быть так, что ⊂ Y , но ∂Y ⊂ ∂X, причем оба включения строгие?
Да, может X = [0, 1] ∩ Q, Y = [0, 1], ∂X = [0, 1], ∂Y = {0; Что представляет из себя замыкание графика f (x) = sin
1
x на (0, Рассмотрим некоторую точку нас координатой t, где −1 ≤ t ≤ 1. Для неё определён arcsin t, причём уравнение arcsin t + 2πk, k ∈ N имеет бесконечно много решений, те. есть счётное число точек графика, из которых можно построить последовательность, сходящуюся к (0, t). Значит, весь отрезок Oy[−1; 1] входит в замыкание(очевидно, в него входит также весь исходный график).
15.

Является ли замыкание из предыдущего пункта линейно связным?
Нет, не является. Предположим противное пускай мы можем соединить какую-либо точку (0, t) сточкой с ненулевой координатой непрерывной кривой. Но т.к. при x 6= 0 она должна совпадать с графиком функции,
получаем lim x→0
sin
1
x
= t, а это неверно - противоречие!
1.2
Предел функции многих переменных
1.

Возможно ли такое, что у функции в точке существуют и равны оба повторных предела, а "настоящего"не существует?
Да, возможно. Так (x, y) =
xy x
2
+ y
2 7

lim x→0
lim y→0
f (x, y) = lim x→0 0 = 0 = lim y→0
lim x→0
f (x, Нов тоже время, перейдя к полярным координатам, получим что "настоящего предела нет (x, y) = lim r→0
sin ϕ cos Более простой пример - функция равна 1 на осях и 0 во всех остальных точках.
2.

Возможно ли такое, что функция в точке имеет "настоящий предел, ноне имеет повторных?
Да, возможно и такое, y) = (x
2
+ y
2
) sin
1
x lim
(x,y)→(0,0)
g(x, y) = 0, т.к. g - произведение ограниченной функции sin
1
x на бесконечно малую (x
2
+ y
2
), но повторного предела тут не существует, т.к.


∃ lim Похожий пример, когда не существуют даже оба повторных предела,
но существует настоящий, y) = x sin
1
y
+ y Замечание по теореме о повторных пределах если ∃ lim
(x,y)→(x
0
,y
0
)
f (x, и ∀y из некоторой окрестности (x
0
, y
0
) ∃ lim x→x
0
f (x, y) = ψ(y), то повторный предел lim y→y
0
ψ(y) существует и равен "настоящему. И следствие из не если оба повторных предела существуют(это важно, но различны- "настоящего"предела точно нет Пример такой функции, y) =



x
2
− y
2
x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2


=0,
0, x
2
+ y
2
= 0
lim x→0
lim y→0
z(x, y) = lim x→0
x
2
x
2
= 1
lim y→0
lim x→0
z(x, y) = lim y→0
−y
2
y
2
= −1 3. Пускай функция имеет "настоящий"предел в точке. Может ли она не иметь предела по какому либо направлению, или

иметь, но отличный?
Нет, согласно теореме из курса если есть "настоящий"предел, то есть и по любому направлению, причём их значения совпадают.
4.

Пускай функция имеет в точке совпадающие пределы по всем направлениям. Может ли она не иметь "настоящего"предела?
Да, может (x, y) =
x
2
y x
4
+ y
2
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = lim r→0
r cos
2
ϕ sin ϕ
r
2
cos
4
ϕ + sin
2
ϕ
= 0 Но если взять предел вдоль кривой y = x
2
, получим 2
, а значит настоящего предела нет.
Более простой пример, y) =
(
1, y = x
2
,
0, y


= x
2 5. Как соотносится предел функции вдоль кривой и "настоящий пределЕсли у функции есть совпадающие пределы по всем кривым, тогда, конечно, есть и настоящий, но проверить такое условие не представляется возможным.
В тоже время можно придумать довольно хитрую функцию (x, y) =





ye
−
1
x2
y
2
+ e
−
2
x2
, y


= 0,
0, y = Можно показать, что предел в нуле вдоль любой кривой вида x = αt n
, y =
βt m
, n ∈ N, m ∈ N равен нулю, а "настоящего"всё равно не существует.
6.

А почему тогда работает переход к полярным координатам В чём отличие от простого предела по направлениям?
При переходе к полярным координатам мы оцениваем супремум значения функции по всем ϕ, в то время как при поиске предела по направлению смотрим на каждый угол по отдельности (x, y) =
|x|
1/3
|y|
3/4
px
2
+ y
2
= ρ
1/12
· | sin ϕ|
1/3
| cos ϕ|
3/4
≤ ρ
1/12
−→ 0 9

Тут смогли ограничить выражением, независящим от ϕ, и всё получилось. А тут не сможем, y) =
x
3
y px
2
+ y
2
= ρ
cos
3
ϕ
sin Синус сколь угодно мал, и ограничение не получается. Несмотря на то, что для каждого отдельно взятого угла предел равен нулю, вдоль кривой y = получим бесконечность, то есть "настоящего"предела нет. Верно ли, что любое о-малое от ρ является о-малым от Нет, неверно. Например (в нуле Но lim
(x,y)→(0,0)
y
2
x


∃
1.3

Дифференцируемость функции многих переменных Следует ли из наличия частных производных непрерывность функции?
Нет, не следует. Контрпример (x, y) =
(
1, x = y


=0,
0, Очевидно, что эта функция не непрерывна, т.к. её предел в нуле по направлению x=y равен 1, и не совпадает со значением в нуле. Но при этом легко по определению посчитать её частные производные, и они будут существовать и равняться нулю.
Более того, существует пример функции, разрывной в каждой точке,
но всё равно имеющей частные производные в нуле, y) =
(
0, (x, y) ∈ (R \ Q) × (R \ Q)
1, Легко показать, что, 0) = lim x→0
z(x, 0) − z(0, 0)
x − 0
= lim x→0 1 − 1
x
= 0 10

Следует ли из непрерывности наличие частных производных Нет, не следует - пример |x| в нуле, точно такой же как для функций одной переменной.
3.

Следует ли из наличия частных производных и непрерывности дифференцируемость?
Нет, не следует. Контрпример, y) =



2xy px
2
+ y
2
, (x, y)


=(0, 0),
0, (x, y) = (0, Функция непрерывна, y) = lim
ρ→0 2ρ
2
cos ϕ sin ϕ
ρ
= И имеет обе частные производные, 0) = lim x→0
g(x, 0) − g(0, 0)
x − 0
= lim x→0 2x·0
√
x
2
+0 2
x
= Но при этом не дифференцируема, y) − g(0, 0) − g
0
x
(0, 0) − g
0
y
(0, 0)
px
2
+ y
2
=
lim
(x,y)→(0,0)
2xy x
2
+ y
2
= lim
ρ→0 2ρ
2

cos ϕ sin А какое же тогда условие всё-таки является достаточным для дифференцируемости функции в точке?
Согласно доказанной в курсе теореме, если функция определена в некоторой окрестности точки, и имеет в каждой точке этой окрестности) ограниченные частные производные, которые притом непрерывны в данной точке, тогда функция в точке дифференцируема.
Замечание: это условие является достаточным, ноне необходимым- см. пункт 6 5. А из дифференцируемости следует непрерывность и наличие частных производных?
Да, следует - это доказывается в соответствующих теоремах курса.
6.

Из дифференцируемости функции в точке следуете непрерывная дифференцируемость?
Нет, не следует. Контрпример

h(x, y) =



(x
2
+ y
2
) sin
1
x
2
+ y
2
, (x, y)


=(0, 0),
0, (x, y) = (0, Аналогично предыдущему случаю легко доказать, что в нуле функция имеет обе частные производные и они равны нулю, но она ещё к тому же и дифференцируема. Но если мы посчитаем частную производную по x в любой другой точке(пользуясь обычными правилами дифференцирования, получим что она не непрерывна в нуле, y) = 2x(sin
1
x
2
+ y
2
−
cos
1
x
2
+y
2
x
2
+ Докажем, что эта функция не имеет предела в нуле, по Гейне. Возь- мм (x n
, y n
) = (
1
√
2πn
, 0) - последовательность Гейне в нуле, и для неё
получим отсутствие предела n
, y n
) = 2x n
(sin(2πn)−2πn cos(2πn)) = −2
√

2πn cos(2πn) = Можно ли считать частные производные во всех точках просто "по формулам Если нетто почему?
Легко убедиться, что это часто не работает (к примеру для нашей функции g(x,y)), и производные в особых точках нужно считать по определению. Ведь если мы считаем производную по формуле и потом подставляем значение аргументов в особой точке, мы тем самым считаем эту производную непрерывной(т.е. считаем что её значение в этой точке совпадает се пределом, а это далеко не всегда верно - как мы убедились в этом примере, даже из дифференцируемости может не следовать непрерывная дифференцируемость, не говоря ужо том чтобы она следовала просто из наличия частных производных.