1 курс МФТИ матан. Сборник распространенных вопросов
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
|, то ряд также расходится? Нет, в такой формулировке ряд a может быть знакопеременными сходиться Известно, что a n = o (b n ) при n → ∞, ряд n сходится. Верно ли, что ряд n сходится? Нет, неверно. Например, a n = 1 n , b Известно, что a n ∼ b при n → ∞, ряд n сходится. Верно ли, что ряд n сходится? Нет, неверно - важно понимать, что этот признак работает лишь для знакопостоянных рядов, а для знакопеременных легко привести контрпример Возможно ли такое, что ряд сходится условно, последовательность стремится к нулю, а при этом ряд n z n расходится? Да, возможно - возьмём z n = c n = (−1) n n , тогда исходный ряд сходится условно по признаку Лейбница, а ряд из произведений расходится, как гармонический. 6.Возможно ли выкидыванием бесконечного числа членов сделать из сходящегося ряда расходящийся? Да, возможно. Возьмём ряд n , сходящийся по признаку Лейбница, и выкинем из него все нечётные члены - получим расходящийся ряд Возможно ли выкидыванием бесконечного числа членов сделать из расходящегося ряда сходящийся? Да, возможно. Возьмём ряди выкинем из него все члены, номер которых не является квадратом какого-то числа. Получим сходящийся ряд 1 n 2 Всегда ли интеграл и ряд от одной и той же функции сходятся или расходятся одновременно? Нет, это верно только для знакопостоянных и монотонных функций. Приведём пример sin(x 3 )dx сходится (см. пример в знакопеременных интегралах ∞ X n=1 n sin(n 3 ) расходится, т.к. не выполнено необходимое условие 3.3 Перестановки членов ряда. Перемножение рядов 1. Верно ли, что при перемене мест слагаемых сумма ряда не изменяется? Нет, неверно - см. теорему Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Впрочем, утверждение всё же верно для абсолютно сходящихся рядов. 2.Верно ли, что значения частичных сумм абсолютно сходящегося ряда не меняются при перестановках его членов? Очевидно, неверно - достаточно рассмотреть первую частичную сумму исходного ряда и ряда, полученного перестановкой 1 и 2 членов. 3.Пускай ряд из a сходится условно. Обозначим A + = {n ∈ N, a n ≤ 0}, A − = {n ∈ N, a n < 0}. Что можно сказать о множествах A + и Оба эти множества счётны. Предположим противное - пускай какое- то из них конечно, тогда сумма соответствующих членов ряда конечна. Пускай другая сумма тоже конечна - тогда исходный ряд сходится абсолютно. Если же она равна +∞, то исходный ряд расходится - ведь добавка конечного числа к бесконечности ничего не изменит. Получили противоречие. 4.Пусть ряды и сходятся абсолютно. Что можно сказать о сходимости ряда n b n ? Этот ряд сходится абсолютно, т.к. последовательность его частичных сумм ограничена и монотонна Более того, в курсе доказана куда более сильная теорема пусть ряды и сходятся абсолютно. Тогда ряд k j b m j , составленный из всевозможных произведений членов исходных рядов, сходится абсолютно, а его сумма равна произведению сумм исходных. Замечание важно понимать, что аналогичное утверждение для интегралов неверно, см. пример в теме знакопеременные интегралы. 5.Известно, что ряды и сходятся условно. Может ли ряд n b n а)сходиться абсолютно б)сходиться условно в)расходиться? Да, все три случая возможны, и примеры абсолютно аналогичны соответствующим для несобственных интегралов - см. пример в теме знакопеременные интегралы Укажите перестановку членов ряда такую, что его сумма равна а б)−∞. Решение следует из алгоритма доказательства теоремы Римана сначала будем складывать нечётные члены до тех пор, пока не получим -или меньше (это можно сделать, т.к. ряд условно сходится, а потому ряды, составленные по отдельности из его положительных и отрицательных членов, расходятся - значит, их частичные суммы неограничены и мы можем набрать из них любое число, которое нам захочется, затем будем прибавлять четные, пока не перескочим -100 в обратном направлении, итак далее. Таким образом, мы гарантированно задействуем все члены, а полученный ряд действительно будет сходиться к -100, т.к. модули членов исходного ряда стремятся к нулю(из необходимого условия), а потому отклонения отбудут становиться всё меньше и меньше. Чтобы получить −∞, немного изменим алгоритм будем сначала действовать как в прошлом случае, но получая -1. Когда перескочим его вверх, будем получать уже -2, итак далее на каждом шаге всё увеличивая это число, получим сколько угодно большую по модулю отрицательную частичную сумму. 3.4 Функциональные последовательности 1.Обязана ли g n (x) : lim n→∞ g n (x) f n (x) = 1, где f n (x) ⇒ X f (x), тоже сходится к f (x) на X Нет, например, X = (0, 1), f n (x) = 1 n , g n (x) = 1 n + 1 n 2 x , тогда ∈ (0, 1) ,→ lim n→∞ g n (x) f n (x) = lim n→∞ 1 + 1 nx = При этом f n (x) ⇒ (0,1) 0 при n → ∞, ноне стремится равномерно к на X, так как g n 1 n 2 = 1 n + 1 9 0 при n → Можно ли заменять общий член функциональной последовательности на эквивалентный? Нет, при исследовании на равномерную сходимость не проводят замену на эквивалент, так как неизвестно, каким образом ведут себя отброшенные малые на X - это видно на предыдущем примере, ведь o( 1 n ), n → 0. Вместо этого используют разложение по Тейлору с остаточным членом в форме Лагранжа. 3. Множество Е состоит из конечного числа точек. Функциональная последовательность f n (x) → E f (x). Что можно сказать о раввномерной сходимости на Е Так как Е состоит из конечного числа точек, из N (ε, x) из определения поточеченой сходимости можно выбрать максимальное, иными словами. Его можно выбрать в качестве общего для всех x и использовать в определении равномерной сходимости > 0 ∃N 1 (ε) : ∀n > N 1 ∀xE ,→ |f n (x) − f (x)| < что и доказывает наличие равномерной сходимости на множестве Е. 3.5 Функциональные ряды 1.Следует ли из равномерной сходимости функционального ряда его абсолютная сходимость? Нет, можно привести довольно тривиальный контрпример k (x) = (−1) k k ∀x ∈ Тогда ряд a k (x) сходится, причём равномерно(т.к. зависимости от x простонет, но ряд из модулей расходится, т.к. это гармонический ряд. 2. Будет ли верен признак Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов, если из него убрать условие монотонности Нет, не будет. Рассмотрим пример a k (x) = (−1) k (посл-ть частичных сумм равномерно ограничена, b k (x) = (−1) k k (b k (x) ⇒ 0 на R). Ноне является монотонной, и ряд из произведений расходится k (x)b k (x) = ∞ X k=1 Будет ли верен признак Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов, если в нём условие монотонности заменить следующим условием ∀x ∈ X∃N : ∀k ≥ N ,→ b k+1 (x) 6 b Нет, не будет. Рассмотрим X = [1; +∞); a k (x) = (−1) k - част. суммы ограничены k (x) = 1 k , x ≤ k (−1) k k , x > Заметим, что ∀x ∈ X∃N = [x] + 1 : ∀k > N ,→ b k+1 (x) ≤ b те. наша замена условия монотонности выполнена. Обозначим c k (x) = 37 a k (x) · b k (x), докажем что ряд c k (x) расходится. Используем для этого отрицание условия Коши равномерной сходимости ряда > 0 : ∀N ∈ N∃n ≥ N∃p ∈ N∃x ∈ X : n+p X k=n+1 c k (x) > Положим n = p = N, x = 2N +1. Тогда ∀k ∈ {N +1, . . . , 2N }c k (x) Имеем k (x) = 2N X k=N +1 1 k = 1 N + 1 + 1 N + 2 + . . . + 1 2N > N 2N = 1 Итого, взяв ε = 1 2 , получаем отрицание условия Коши. 4.Будет ли верен признак Дирихле равномерной сходимости функциональных рядов, если в нём условие монотонности заменить условием ∃N : ∀x ∈ X∀k ≥ N ,→ b k+1 (x) ≤ b Да, будет - согласно аналогу принципа локализации для интегралов, мы можем рассматривать сходимость ряда нес единицы, ас любого фиксированного, ив нашем случае для ряда от N до +∞ выполнены все условия признака Дирихле, а потому ряд сходится равномерно. 5.Известно, что функциональные ряды n (x) и сходятся равномерно на Е. Что можно сказать о сходимости ряда n (x)v Покажем, что этот ряд может даже расходиться. Возьмём E = R, u n (x) = v n (x) = (−1) n √ n - оба таких ряда сходятся равномерно по признаку Дирихле, а ряд из их произведений - гармонический, ион расходится. 6.Верно ли, что если ∃ {x k } ∞ k=1 ⊂ X : P ∞ k=1 u k (x k ) расходится, тоне сходится равномерно на Нет, неверно - приведём контрпример X = [1; +∞), u n (x) = 1 n , x ∈ [n; n + 1) 0, Заметим, что в каждой точке отличен от нуля лишь один член этого ряда, и потому верно) − S(x)| ≤ 1 n −→ Значит, ряд сходится равномерно. Но при этом можем подобрать x n = для которой u n (x n ) = 1 n , и ряд расходится, как гармонический. Таким образом, важно помнить, что в отрицании определения и необходимого условия сходимости важно, чтобы x не зависело от Исследовать на равномерную сходимость на R функциональный ряд P ∞ k=1 x 2 x 4 +k 4 Заметим, что ∀a, b ∈ R ,→ a 2 + b 2 ≥ 2ab, значит x 4 + k 4 ≥ 2x 2 k 2 , и x 2 x 4 + k 4 ≤ x 2 2x 2 k 2 = 1 Значит, функциональный ряд сходится равномерно по призанку Вейер- штрасса. 8. Верно ли, что если функциональный ряд сходится, а последовательность его членов равномерно стремится к нулю, то он сходится равномерно? Нет, неверно. Приведём контрпример n n на X = [0, 1). Для последовательности его членов верно n n < 1 n −→ При этом поточечно ряд сходится, т.к. его члены мажорируются членами сходящегося ряда n , но равномерной сходимости нет выберем, тогда по отрицанию условия Коши легко доказать, что ряд сходится неравномерно. 3.6 Непрерывность и дифференцируемость функций, заданных как пределы функциональных последовательностей и суммы функциональных рядов 1.Верно ли, что равномерная сходимость возможна только к непрерывной функции Нет, это верно только если члены самой функциональной последовательности непрерывны, а в противном случае предельная функция может быть разрывной - легко просто составить такую функцию, например сделав у непрерывной функции и равномерно сходящейся к ней последовательности в какой-то точке сдвиг на единицу. 2. Верно ли, что последовательность разрывных функций может равномерно сходиться к непрерывной? Да, верно - можно привести довольно тривиальный пример n (x) = 1 n , x =0, 0, x = 0 39 Очевидно, данная функция сходится к f (x) = 0, причём равномерно на R, т.к. супремум |f n (x) − f (x)| по всем x ∈ R равен, ион стремится к нулю. 3.Можно ли в условии теоремы о непрерывности предельной функции заменить равномерную сходимость поточечной? Нет, нельзя. Контрпример f n (x) = x на X = [0, 1] сходится неравномерно к f (x) = ( 0, x ∈ [0, 1), 1, x = Очевидно, эта функция является разрывной. 4.Является ли условие равномерной сходимости необходимым для непрерывности предельной функции? Нет, не является - возьмём ряд + 1)xe −(n+1)x − nxe −nx . Рассмотрим последовательность частичных сумм нашего ряда) = P n k=1 (k + 1)xe −(k+1)x − kxe −kx = = 2xe −2x − xe −x + 3xe −3x − 2xe −2x + . . . + (n + 1)xe −(n+1)x − Видим что соседние члены посокращаются, и останется только первый и последний) = −xe −x + (n + Исследуем функциональную последовательность S n (x) на поточечную сходимость. Видно, что при фиксированном x lim n→∞ S n (x) = −xe −x =: Эта функция и есть сумма ряда. Она непрерывна в каждой точке как произведение непрерывных функций. Докажем теперь, что функциональная последовательность S n (x) не сходится равномерно (а значит, и ряд не сходится равномерно. Возьмем ∈ Nx N = 1 N +1 ; n N = N |S N (x N ) − S (x N )| = (N + 1)x N e −(N +1)x N = e −1 6→ 0 Можно ли в теореме об интегрировании функциональной последовательности заменить условие равномерной сходимости условием поточечной? Нет, нельзя. Контрпример n (x) = n 2 x, x ∈ [0, 1 1 n ], 2n − n 2 x, x ∈ ( 1 n , 2 n ] 0, x ∈ ( 2 n , 1] 40 Функция представляет собой для каждого n треугольник, высота которого увеличивается с ростом n, а ширина уменьшается, причём она подобрана так, что площадь его остается постоянной и равной единице. Таким образом 0 f n (x) = 1∀N ∈ но функция неравномерно сходится к f (x) = 0, интеграл от которой равен нулю - интегралы не совпали! 6.Является ли условие равномерной сходимости необходимым для того, чтобы ряд можно было интегировать почленно? Нет, не является. Приведём контрпример x 2n сходится неравномерно на [−1; 1], т.к. легко вычислить его частичную сумму) = −x 2 + x 2(n+1) , она сходится к функции) = ( −x 2 , x ∈ (−1, 1), 0, x ∈ {−1, которая является разрывной, в то время как все члены ряда непрерывны. Но тем не менее x 2n ! dx = Z 1 −1 x 2 dx = − 2 3 +∞ X n=1 Z 1 −1 (x 2n+2 − x 2n )dx = +∞ X n=1 2 2(n + 1) + 1 − 2 2n + 1 = − 2 Таким образом, несмотря на отсутствие равномерной сходимости, значения интегралов совпадают. 7.Верно ли, что если функциональная последовательность равномерно сходится на [a, b] и ∀n ∈ N ,→ f n (x) непрерывно дифференцируема на [a, b], то ∀x ∈ [a, b] ,→ (lim n→+∞ f n (x)) 0 = lim n→+∞ (f Нет, неверно - в условии теоремы важна равномерная сходимость производных, а из равномерной сходимости самой функции равенства производных может и не следовать. Приведём контрпример n (x) = arctan(nx) n |f n (x)| ≤ π 2n → 0, значит f n (x) ⇒ 0 на [−1; 1], тогда (lim n→+∞ f Но если вычислить производные отдельных функций, получим f 0 n (x) = 1 n · n 1 + (nx) 2 = 1 1 + (Значит, при x = 0 f 0 n (0) = 1 ∀n ∈ N, значит производная предела и предел производных не совпадают! 8.Может ли быть такое, что функциональная последовательность расходится, а последовательность из производных её членов сходится равномерно? Да, пример довольно тривиален f n (x) = n - расходится f 0 n (x) = 0 - сходится. 3.7 Комплексные степенные ряды 1. Как выглядит область сходимости степенного ряда Может ли это быть, к примеру, квадрат? Рассмотрим один простой, но важный, пример так называемого геометрического ряда его частичные суммы при z 6= 1 можно записать в виде) = 1 + z + ... + z n = 1 − z n+1 1 − Заметим, что в случае |z| < 1 предел частичных сумм существует и равен) = lim n→∞ S n (z) = 1 1 − В случае |z| ≥ 1 не выполняется необходимое условие сходимости ряда и геометрический ряд расходится. Оказывается, что такая ситуация в определенном смысле типична для степенных рядов их область сходимости- только круги ничего другого (точка и вся плоскость - вырожденные случаи). 2.Каков характер сходимости ряда в круге сходимости? В круге сходимости {z ∈ C : |z| < R cx } ряд может сходиться неравномерно По формуле Коши-Адамара R cx = 1 , нона границе круга {z ∈ C : |z| < 1} не выполняется даже необходимое условие сходимости. Действительно при n −→ ∞ , следовательно, z не сходится равномерно на Z к нулю при n −→ Замечание не стоит путать данное утверждение со второй теоремой Абеля. 42 Что можно сказать о сходимости ряда на границе круга сходимости n n + По формуле Коши-Адамара для радиуса сходимости R cx имеем lim n→∞ 1 n √ n + 1 = lim n→∞ 1 n √ n + 1 = lim n→∞ e − ln(n+1) n = e 0 = При z = 1 исходный ряд имеет вид 1 n+1 = ∞ P n=1 1 n , те. это гармонический ряд, который расходится. При z = −1 исходный ряд имеет вид n+1 - и сходится в силу признака Лейбница Таким образом , в граничных точках ряд может как сходиться, таки расходиться 4.Приведите примеры рядов, которые сходятся водной точке и на всей комплексной плоскости Ряд, сходящийся водной точке z = 0: ∞ X n=0 z n (n + 1) n = u n (z) ∀z ∈ C∃ lim n→∞ n pu n (z) = ( 0, if z = 0 +∞, if z isn’t Ряд, сходящийся на всей комплексной плоскости(док-во аналогично n (n + Также существуют ряды Тейлора (см. следующий раздел, сходящиеся к своей функции на всей комплексной плоскости (такие функции называют голоморфными (регулярными) в C: e z = ∞ X n=0 z Назовите связь между экспонентной и тригонометрическими функциями Одним из преимуществ комплексного анализа является то, что в нем наиболее полно раскрываются связи между элементарными функциями В связи с этим оправдано также введение тригонометрических функций посредством равенств, называемых формулами Эйлера (иногда название относят только к последней z = 1 2 (e iz + e −iz ) sin z = 1 2 (e iz − e −iz ) e iz = cos z + i sin Может ли степенной ряд равномерно сходиться на некоторой дуге границы своего круга сходимости iϕk k (e iϕ = Исследовать ряд на равномерную сходимость на дуге D = {ϕ ∈ [δ, 2π − δ]}, где δ ∈ (0, π) R cx = 1 ⇒ область сходимости |z| < По формуле Эйлера |e iϕ | = | cos ϕ + i sin ϕ| = p cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = Отметим, что при ϕ = 0 ряд расходится (гармонический ряд). Таким образом, наша дуга и представляет собой границу круга схо- димости. Представим ряд как сумму двух рядов(по формуле Эйлера iϕk k = ∞ X k=1 cos(ϕk) k + i ∞ X k=1 sin(ϕk) k ∞ P k=1 cos(ϕk) и) имеют ограниченные частичные суммы , а монотонно стремится к нулю при k −→ ∞ ⇒ ряды сходятся равномерно по признаку Дирихле. |