1 курс МФТИ матан. Сборник распространенных вопросов
 Скачать 0.6 Mb.
|
|
Таким образом, исследуемый ряд равномерно сходится на заданной дуге. 7.Найдите радиус сходимости ряда ∞ X n=1 z 2n 3 n Несмотря на то, что коэффициенты при нечетных степенях равны нулю, мы ищем lim, поэтому радиус сходимости равен 44 Каков может быть радиус сходимости суммы рядов, радиусы сходимости которых равны между собой? При сложениирядов может получиться ряд, сходящийся в большей области , чем общая часть кругов сходимости двух исходных рядов, но только при равных радиусах R ≥ r ∞ X n=1 (−1) n+1 3 n − 1 z n , R 1 = 1 ∞ X n=1 (−1) n 2 n + 1 z n , R 1 = При суммировании получим (−1) n 2 n − (−1) n 3 n , R cx = Если взять ряди такой же рядно с минусом , получим R cx = Замечание в ТФКП доказывается , что на границе круга сходим- соти степенного ряда лежит хотя бы одна "особая"точка его суммы f (z), в которой ряд расходится. Отсюда следует,что радиус степенного ряда равен расстоянию от точки a до ближайшей к a особой точки функции f (Действительные степенные ряды. Ряды Тейлора 1.Опишите сходимость степенного ряда на числовой прямой. Ряд P ∞ n=0 a n (x − x 0 ) n , имеющий радиус сходимости R, сходится абсолютно при всех x : |x| < R (это следует из первой теоремы Абеля), расходится при всех x : |x| > R, а при x = R может расходиться, сходиться условно или абсолютно. Кроме того, на любом отрезке [x 0 − r, x 0 + r], где < r < R, ряд сходится равномерно (важно, что наряд может и не сходиться равномерно!). 2. Известно, что про формальном интегрировании и дифференцировании степенного ряда радиус его сходимости не меняется. А может ли меняться характер сходимости в крайних точках? Да, может. Приведём пример n , R = 1, сходится на 1) 45 Проинтегрируем n+1 n + 1 , R = 1, сходится на При x = 1 получаем гармонический ряд (расходится, а вот при x = −1 получаем ряд Лейбница, который сходится по признаку Лейбни- ца. Ещё раз проинтегрируем n+2 (n + 1)(n + 2) , R = 1, сходится на Получаем, что при x = ±1 ряд сходится абсолютно, как эталонный. 3. Сформулируйте определение аналитической функции. Приведите пример функции, бесконечное число раз дифференцируемой, но аналитической не являющейся. Функция f (x), x ∈ R, наз. аналитической в x 0 , если ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) : f (x) = P ∞ n=0 a n (x − Если функция в точке является аналитической, то она в ней бесконечное число раз дифференцируема, и коэффициенты a совпадают с коэффициентами разложения по формуле Тейлора a k = f (k) (x 0 ) x Тогда соответствующий ряд называют рядом Тейлора функции f (x) в точке Но из одной лишь бесконечной дифференцируемости не следует аналитичность функции ряд Тейлора может даже сходиться на всей числовой прямой, ноне к "своей"функции, а к чему-то другому Приведём канонический пример (x) = e −1/x 2 , x 6= 0 0 , x = Заметим, что ∈ N ,→ lim x→0 1 x k e −1/x 2 = lim t→+∞ t k/2 e −t = Отсюда последствию из теоремы Лагранжа получаем) = 2 x 3 e −1/x 2 , x 6= 0 0, x = Это легко обобщить по индукции и на все следующие производные) = P 3n (1/x)e −1/x 2 , x 6= 0 0, x = 0 46 Таким образом, в нуле функция бесконечное число раз дифференцируема, но все её производные равны нулю, и её ряд Тейлора попросту нулевой- те. он сходится на всей числовой прямой, ноне к "своей"функции, а к нулю. Замечание 1: достаточным условием аналитичности функции в точке является существование такой её окрестности, в которой все производные функции определены и ограничены. Замечание 2: в курсе доказывается, что большинство "нормальных"функций - экспонента, гиперболические и тригонометрические функции = +∞), ln(x + 1) и (1 + x) α (R = 1) - являются аналитическими в точке x = Разложите по Маклорену f (x) = ln(x 2 − 3x + В этом примере важно вспомнить, что разложение ведётся в окрестности нуля, а потому неправильно написать что f (x) = ln(x − 2) + ln(x − 1), эта сумма не определена при x < 2! Правильно написать f (x) = ln(2 − x) + ln(1 − x), дальнейшее разложение уже никакой сложности не представляет Источники. В.Ж.Сакбаев - лекции, прочитанные в МФТИ в 2020 г. В.Ж.Сакбаев, С.В.Резниченко, С.В.Иванова, А.А.Скубачевский - семинары в МФТИ, 2020 г. Г.Е.Иванов "Лекции по математическому анализу 2017 4. Л.Д.Кудрявцев "Курс математического анализа. Б.Гелбаум, Дж.Олстед "Контрпримеры в анализе" По вопросам, в связи с опечатками и пожеланиями обращаться: Чернов Никита, Б06-902 Волкова Анна, Б06-903 Сазонов Павел, Б06-907 В создании принимали участие: Кузьмиченко Полина, Б06-901 Яковлев Виктор, Б06-901 Виноградова София, Б06-902 Владимирцев Дмитрий, Б06-902 Облаков Даниил, Б06-902 Потёмкина Алёна, Б06-902 Гордийчук Маргарита, Б06-903 Калужский Иван, Б06-903 Набережная Елизавета, Б06-903 Обухова Анастасия, Б06-903 Хомутов Андрей, Б06-903 Маликов Артур, Б06-906 Эрихман Мая, Б06-906 Богдан Елизавета, Б06-907 Закирова Марфа, Б06-907 Захаржевский Марк, Б06-907 Сергеева Юлия, Б 48 |