Математика и ЛАаГ. Математика Лекции ЛААГ. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Введение. Обозначения n натуральные числа z целые числа
 Скачать 1.14 Mb.
|
|
Глава II. Векторная алгебра. Элементы теории линейных пространств и линейных операторов Раздел математики, в котором изучаются свойства операций над векторами, называется векторным исчислением Векторное исчисление подразделяют на векторную алгебру и векторный анализ . В векторной алгебре изучаются линейные операции над свободными векторами (сложение векторов и умножение вектора на число) и различные произведения векторов (скалярное, псевдоскалярное, векторное, смешанное и двойное векторное). В векторном анализе изучают векторы, являющиеся функциями одного или нескольких скалярных аргументов. § 6. Векторы. Линейные операции на множестве векторов 1. Определение вектора. Основные отношения на множестве векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец). Обозначают: AB (где A – начало вектора, а B – его конец), a , b и т. д. Изображают: A B a Расстояние от начала вектора до его конца называется длиной (или модулем ) вектора. Обозначают: AB или a Вектор, длина которого равна единице, называется единичным Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым . Обозначают: 0 Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю. Векторы, лежащие на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными ( параллельными ). Записывают: a b – если векторы a и b коллинеарные, и a b – если a и b неколлинеарные. Коллинеарные векторы и называются сонаправлен- ными если • их концы лежат по одну сторону от прямой, соединяющей их начала (для векторов лежащих на параллельных прямых) • один из лучей [AB) или [CD) целиком содержит в себе другой (для векторов, лежащих на одной прямой). В противном случае коллинеарные векторы называются противоположно направленными AB CD Записывают: a b – если векторы a и b сонаправленные, и a b – если a , b противоположно направленные. a b AB CD c d MN PK a b A C B D M N P K c d Два вектора a и b называются равными , если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Записывают: a = b. Все нулевые векторы считаются равными. Векторы a и b, лежащие на перпендикулярных прямых, называются перпендикулярными ( ортогональными ). Записывают: a b. Три вектора, лежащие в одной или в параллельных плоскостях, называются компланарными 2. Линейные операции на множестве векторов 1) Умножение на число; 2) Сложение векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением вектора a 0 на число 0 называется вектор, длина которого равна | ||a| , а направление совпадает с направлением вектора a при > 0 и противоположно ему при < 0 . Если a = 0 или = 0, то их произведение полагают равным 0. Обозначают: a Частный случай: произведение (–1)a Вектор (–1)a называют противоположным вектору a и обозначают –a . ЛЕММА 1 (критерий коллинеарности векторов). Два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда a = b, для некоторого числа 0 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ (правило треугольника). Пусть даны два вектора a и b . Возьмем произвольную точку C и построим последовательно векторы a CA и b AB . Вектор CB , соединяющий начало первого и конец второго построенных векторов, называется суммой векторов a и b и обозначается b a . C A B a b b a ОПРЕДЕЛЕНИЕ (правило параллелограмма). Пусть даны два вектора a и b . Возьмем произвольную точку C и построим векторы a CA и b CD . Суммой векторов a и b будет вектор CB , имеющий начало в точке C и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на векторах a CA и b CD . b a a b C A B D Частный случай: сумма a+ (– b) Сумму a+ (– b) называют разностью векторов a и b и обозначают a – b. b a a b СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ НАД ВЕКТОРАМИ 1) a b b a (коммутативность сложения векторов); 2) ) ( ) ( c b a c b a (ассоциативность сложения векторов); 3) a 0 a ; 4) 0 a a ) ( ; 5) a a ) ( ) ( (ассоциативность относительно умножения чисел); 6) a a a ) ( (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения чисел); 7) b a b a ) ( (дистрибутивность умножения на число относительно сложения векторов); 8) a a 1 1) A B B A 2) ) ( ) ( C B A C B A 3) A O A 4) O A A ) ( 5) A A ) ( ) ( 6) A A A ) ( 7) B A B A ) ( 8) A A 1 Свойства линейных операций над матрицами Свойства линейных операций над векторами 1) a b b a 2) ) ( ) ( c b a c b a 3) a 0 a ; 4) 0 a a ) ( ; 5) a a ) ( ) ( 6) a a a ) ( 7) b a b a ) ( 8) a a 1 § 7. Понятие линейного пространства 1. Определение и примеры Пусть L – некоторое множество, элементы которого можно складывать и умножать на числа из F (где F – множество рациональных, действительных или комплексных чисел). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Множество L называется линейным пространством над F если для любых элементов a,b,c L и для любых чисел ,F выполняются условия: 1. a+b=b+a (коммутативность сложения элементов из L); 2. (a+b)+c=a+(b+c)(ассоциативность сложения элементов из L); 3. Во множестве L существует такой элемент o, что a+o=a. Элемент o называют нулевым элементом множества L; 4. Для любого элемента a L элемент –a L такой, что a+ (–a)=o. Элемент –a называют противоположным к a ; 5. (a)=()a (ассоциативность относительно умножения чисел); 6. ( +)a=a+a (дистрибутивность умножения на элемент из L относительно сложения чисел); 7. (a+b)=a+b (дистрибутивность умножения на число относительно сложения элементов из L); 8. 1a=a. Линейное пространство над ℝ называют еще вещественным (действительными) линейным пространством , а над ℂ – комплексным ЛЕММА 2 (простейшие свойства элементов линейного пространства). Пусть L – линейное пространство над F. Тогда для любых элементов a,b L и любых чисел , F справедливы следующие утверждения: 1) 0·a = o, ·o = o; 2) (– ) · a = ·(–a) = –a, (–) ·(–a) = a; 3) ·(a–b) = a – b, (–) · a = a – a. Наряду с термином «линейное пространство» используется также термин « векторное пространство », а элементы линейного пространства принято называть векторами 2. Подпространства линейных пространств Пусть L – линейное пространство над F, L 1 – непустое подмножество в L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что L 1 является подпростран- ством линейного пространства L (или линейным подпро- странством ), если оно само образует линейное простран- ство относительно операций, определенных на L . Если L 1 является подпространством линейного пространства L, то пишут: L 1 ≤ L ТЕОРЕМА 3 (критерий подпространства). Пусть L – линейное пространство над F, L 1 – непустое подмножество в L . L 1 является подпространством линейного пространства L тогда и только тогда, когда для любых элементов a,b L 1 и любого F выполняются условия: 1) a – b L 1 ; 2) ·a L 1 3. Понятие линейной зависимости и независимости. Базис Пусть L – линейное пространство над F, a 1 ,a 2 , …, a k L. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что векторы a 1 ,a 2 , …, a k линейно зависимы , если существуют числа 1 , 2 , …, k , не все равные нулю и такие, что линейная комбинация 1 · a 1 + 2 · a 2 + …+ k · a k равна нулевому элементу o линейного пространства L . Если равенство 1 · a 1 + 2 · a 2 + …+ k · a k = o возможно только при условии 1 = 2 = …= k =0, то векторы a 1 ,a 2 , …, a k называют линейно независимыми . ЛЕММА 4 (необходимое и достаточное условие линейной зависимости векторов). Векторы a 1 ,a 2 , …, a k линейно зависимы хотя бы один из них линейно выражается через оставшиеся. Замечание. Часто в качестве определения линейно зависимых векторов берут формулировку леммы 4, а настоящее определение выводят, как свойство. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Максимальная линейно независимая система векторов линейного пространства называется базисом этого линейного пространства. Иначе говоря, векторы e 1 ,e 2 , …, e n L образуют базис в линейном пространстве L если выполняются два условия: 1) e 1 ,e 2 , …, e n – линейно независимы; 2) e 1 ,e 2 , …, e n ,a – линейно зависимы для любого вектора a L. Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, то пространство называют конечномерным , а n называют размерностью линейного пространства (пишут: dim L = n). ТЕОРЕМА 5. Любые два конечных базиса линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Если в линейном пространстве L для любого натурального n можно найти линейно независимую систему векторов, то пространство называют бесконечномерным (пишут: dim L= ). ТЕОРЕМА 6 (о базисе). Каждый вектор линейного пространства линейно выража- ется через любой его базис, причем единственным образом ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейной оболочкой ℒ (D) подмножества D линейного пространства называется множество всех линейных комбинаций элементов из D. Легко видеть, что линейная оболочка является подпространством. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой L 1 +L 2 подпространств L 1 и L 2 называется линейная оболочка их объединения как множеств ℒ (L 1 ∪ L 2 ). Легко видеть, что L 1 +L 2 = {a 1 +a 2 | a 1 L 1 , a 2 L 1 } ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пересечением L 1 L 2 подпространств L 1 и L 2 называется их пересечение как множеств. Пересечение подпространств вновь является подпространством. ТЕОРЕМА (о размерностях). Для конечномерных подпространств L 1 и L 2 справедлива формула размерностей dim(L 1 +L 2 ) = dim(L 1 ) + dim(L 2 ) - dim(L 1 L 2 ). 4. Координаты вектора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Коэффициенты в разложении вектора по базису называются координатами этого вектора в данном базисе. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ координат свободных векторов в декартовом прямоугольном базисе: ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямую, на которой выбрано направление, называют осью ℓ 1 A 1 B A B Пусть ℓ – ось, – некоторый вектор. Пусть A 1 и B 1 – ортогональные проекции на ось ℓ точек A и B соответственно. AB Вектор назовем векторной проекцией вектора на ось ℓ 1 1 B A AB ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией (ортогональной проекцией) вектора AB на ось ℓ называется длина его векторной проекции 1 1 B A на эту ось, взятая со знаком плюс, если вектор 1 1 B A и ось ℓ сонаправлены, и со знаком минус – если вектор 1 1 B A и ось ℓ противоположно направлены. Обозначают: AB ℓ Пр , AB ℓ Пр ТЕОРЕМА 7. Координаты вектора a V (2) (V (3) ) в декартовом прямоугольном базисе i, j (i, j, k) есть проекции этого вектора на соответствующие координатные оси. ТЕОРЕМА 8. 1) Если вектор a имеет в базисе e 1 ,e 2 , …, e n координаты {α 1 , α 2 , … , α n }, вектор b имеет в том же базисе координаты {β 1 , β 2 , … , β n }, то вектор a + b будет иметь в базисе e 1 ,e 2 , …, e n координаты {α 1 + β 1 , α 2 + β 2 , … , α n + β n }. 2) Если вектор a имеет в базисе e 1 ,e 2 , …, e n координаты {α 1 , α 2 , … , α n }, то для любого числа λ вектор λa будет иметь в том же базисе координаты {λα 1 , λα 2 , … , λα n } . ТЕОРЕМА 9 (критерий коллинеарности свободных векторов в координатной форме). Векторы a = {α 1 ; α 2 ; α 3 } и b= {β 1 ; β 2 ; β 3 } коллинеарны их координаты пропорциональны, т.е. Причем, если коэффициент пропорциональности k > 0 , то векторы a и b – сонаправлены; если k < 0, то a и b – противоположно направлены . 3 3 2 2 1 1 k ТЕОРЕМА (критерий линейной независимости 2). Система векторов линейна независима матрица, составленная из строк-координат (или столбцов- координат) этих векторов в произвольном базисе имеет ранг, равный числу векторов r( a 1 | … | a n )=n ТЕОРЕМА 10 (связь координат вектора в разных базисах). Пусть e 1 , e 2 , …, e n и f 1 , f 2 , …, f n два базиса линейного пространства L . Причем имеют место равенства f 1 = τ 11 e 1 + τ 21 e 2 + … + τ n1 e n , f 2 = τ 12 e 1 + τ 22 e 2 + … + τ n2 e n , …………………………… f n = τ 1n e 1 + τ 2n e 2 + … + τ nn e n Если вектор a имеет в базисе e 1 , e 2 , …, e n координаты {α 1 , α 2 , … , α n }, а в базисе f 1 , f 2 , …, f n – координаты {β 1 , β 2 , … , β n }, то справедливо равенство A = TB , где , 2 1 n … A , 2 1 n … B nn n n n n … … … … … … … 2 1 2 22 21 1 12 11 T Матрицу T называют матрицей перехода от базиса e 1 , e 2 , …, e n к базису f 1 , f 2 , …, f n §8. Простейшие задачи векторной алгебры Пусть на плоскости (в пространстве) задана декартова прямоугольная система координат. Выберем в пространстве V (3) (V (2) ) декартов прямоугольный базис i, j, k (i, j). ЗАДАЧА 1. Найти координаты вектора AB , если известны декартовы координаты начала и конца вектора. A O x y B ЗАДАЧА 2. Найти длину вектора, если известны его координаты в декартовом прямоугольном базисе. x a y a A O x y B C ЗАДАЧА 3. Известны координаты вектора. Найти координаты его орта. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом вектора a называется вектор a 0 , сонаправленный с вектором a и имеющий единичную длину . Пусть , и – углы, которые вектор a образует с коорди- натными осями Ox , Oy и Oz соответственно . cos , cos и cos называются направляющими косинусами вектора aā Координаты орта вектора a являются его направляющими косинусами. Замечание. Так как | a 0 | =1 и a 0 ={cos ; cos ; cos } , то cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1 . Это равенство называют основным тождеством для направляющих косинусов вектора. Геометрический смысл координат орта вектора a a 1 x x 1 B 1 A ЗАДАЧА 4. Известны координаты концов отрезка. Найти координаты точки, которая делит отрезок в заданном отношении. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 в отношении ( –1) если Если > 0 , то точка M 0 лежит между точками M 1 и M 2 В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внутреннем отношении. Если < 0 , то точка M 0 лежит на продолжении отрезка M 1 M 2 В этом случае говорят, что точка M 0 делит отрезок M 1 M 2 во внешнем отношении. 0 M 0 r O 1 M 1 r 2 M 2 r 2 0 0 1 M M M M §9. Нелинейные операции на множестве векторов СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) Скалярное произведение векторов коммутативно, т.е. b a O ) , ( ) , ( a b b a ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, т.е. число | a | | b | cos Если a= 0 или b = 0, то скалярное произведе- ние векторов a и b полагают равным нулю. 1. Скалярное произведение векторов 2) Скалярное произведение ненулевых векторов a и b равно про- изведению длины вектора a на проекцию вектора a на вектор b (длины вектора b на проекцию b на a ). Т.е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Проекцией вектора a на вектор b называется проекция вектора a на ось, определяемую вектором b . 3) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынес- ти за знак скалярного произведения. Т.е. ℓ a b a b b a b a b a Пр Пр ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( b a b a b a 4) Если один из векторов записан в виде суммы, то их скалярное произведение тоже можно записать в виде суммы. Т.е. 5) Скалярное произведение вектора на себя (скалярный квадрат вектора) равно квадрату его длины. Т.е. ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 b a b a b a a ) , ( ) , ( ) , ( 2 1 2 1 b a b a b b a 1 a b 2 a 2 1 a a 2 ) , ( a a a 6) Ненулевые векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю . (критерий перпендикулярности векторов). 7) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a и b имеют координаты: a= {a x ; a y ; a z } , b = {b x ; b y ; b z }, то (a , b ) = a x b x + a y b y + a z b z (1) Формулу (1) называют выражением скалярного произведения через декартовы координаты векторов 8) Если под действием постоянной силы F точка перемещается по прямой из точки M 1 в M 2 , то работа силы F будет равна (физический смысл скалярного произведения). 2 1 M M F, A §9. Нелинейные операции на множестве векторов 1. Скалярное произведение векторов 2. Векторное произведение векторов 3. Смешанное произведение векторов 2. Векторное произведение векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тройка векторов a, b и c называется правой , если поворот от вектора a к вектору b на меньший угол ви- ден из конца вектора c против часовой стрелки. a c b ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением двух ненулевых векторов aи b называется вектор c , удовлетворяющий следующим условиям: 1) | c | = | a | | b | sin, где – угол между векторами aи b ; 2) вектор c ортогонален векторам aи b ; 3) тройка векторов a, b и c – правая. Если хотя бы один из векторов a или b нулевой, то их векторное произведение полагают равным нулевому вектору. Обозначают: [ a, b] или a b . СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) При перестановке векторов aи b их векторное произведение меняет знак, т.е. [ a , b ] = – [ b , a ] . 2) Числовой множитель любого из двух векторов можно вынести за знак векторного произведения , т.е. [ a , b ] = [ a , b ] = [ a , b ] . ] , [ b a b a a ) 0 ( ] , [ b a ) 0 ( ] , [ b a a b a ) 0 ( ] , [ b a ) 0 ( 3) Если один из векторов записан в виде суммы, то векторное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно: [ a 1 + a 2 , b ] = [ a 1 , b ] + [ a 2 , b ] . [ a , b 1 + b 2 ] = [ a , b 1 ] + [ a , b 2 ] . 4) Критерий коллинеарности векторов . Ненулевые векторы aи b коллинеарные их векторное произведение равно нулевому вектору . 5) Геометрический смысл векторного произведения . Модуль векторного произведения неколлинеарных векторов aи b равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах . 6) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы aи b имеют координаты: a = {a x ; a y ; a z }, b = {b x ; b y ; b z } , то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 7) Механический смысл векторного произведения. Если вектор F это сила, приложенная к точке M , то векторное произведение представляет собой момент силы F относительно точки O . y x y x x z x z z y z y b b a a b b a a b b a a ; ; ] [ b , a F OM, z y x z y x b b b a a a k j i 3. Смешанное произведение векторов ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Смешанным произведением трех векторов a, b и с называется число, равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и с , т.е. (a, [ b, с ]) . Обозначают: (a, b, с) или a b с . СВОЙСТВА СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 1) При циклической перестановке векторов a, b и с их сме- шанное произведение не меняется, т.е. ) , , ( ) , , ( ) , , ( b a c a c b c b a 2) При перестановке любых двух векторов их смешанное произведение меняет знак. 3) Числовой множитель любого из трех векторов можно вынести за знак смешанного произведения, т.е. 4) Если один из векторов записан в виде суммы, то смешанное произведение тоже можно записать в виде суммы. А именно: ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( c b a c b a c b a c b a , ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 2 1 c b a c b a c b a a , ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 2 1 c b a c b a c b b a ) , , ( ) , , ( ) , , ( 2 1 2 1 c b a c b a c c b a 5) Критерий компланарности векторов. Ненулевые векторы a, b и с компланарны их смешанное произведение равно нулю . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ] , [ b a c b a рис. 1 рис. 2 c b a 6) Если (a, b, с) > 0 , то a, b , с образуют правую тройку. Если (a, b, с) < 0 , то тройка векторов a, b , с – левая. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ] , [ b a c b a рис. 3 ] , [ b a b a c рис.4 7) Геометрический смысл смешанного произведения . Модуль смешанного произведения некомпланарных векторов a, b, с равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ] , [ b a ] , [ b a b c a b a c рис. 5 рис. 6 8) Следствие свойства 7. Объем пирамиды, построенной на векторах a, b , с , равен 1/6 модуля их смешанного произведения. 9) Если в декартовом прямоугольном базисе векторы a, b, с имеют координаты: a = {a x ; a y ; a z }, b = {b x ; b y ; b z } , с = {c x ; c y ; c z }, то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно ) , , ( z y x z y x z y x c c c b b b a a a c b a |