Математика и ЛАаГ. Математика Лекции ЛААГ. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Введение. Обозначения n натуральные числа z целые числа
 Скачать 1.14 Mb.
|
|
§ 13. Прямая в пространстве 1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0 и A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2 =0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ℓ . Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы 0 , 0 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A (1) Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), параллельно вектору } ; ; { p n m ℓ Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой. z 0 M ℓ 0 r r M O y x Уравнение (2*) и систему уравнений (2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в векторной и координатной форме соответственно). Пусть в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. m 0, n 0 и p 0). Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве . ℓ t 0 r r , , 0 0 0 p t z z n t y y m t x x ℓ p z z n y y m x x 0 0 0 Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) и M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) . Уравнения (4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) и M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) . 1 M 2 M 1 2 1 1 2 1 1 2 1 z z z z y y y y x x x x 2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим Пусть прямая ℓ задана общими уравнениями: 0 , 0 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A (1) Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) на прямой. а) Координаты точки M 0 – это одно из решений системы (1). б) Направляющий вектор где N 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } и N 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } – нормальные векторы к плоскостям 1 и 2 , уравнения которых входят в общие уравнения прямой. ] , [ 2 1 N N ℓ 1 N 1 ℓ 3. Взаимное расположение прямых в пространстве В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться. Пусть прямые ℓ 1 и ℓ 2 заданы каноническими уравнениями: 1 ℓ : 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x , 2 ℓ : 2 2 2 2 2 2 p z z n y y m x x 1) Пусть прямые ℓ 1 и ℓ 2 параллельны: Получаем: прямые параллельны их направляющие векто- ры и коллинеарные, т.е. выполняется условие: 1 ℓ 1 ℓ 2 ℓ 2 ℓ 2 1 2 1 2 1 p p n n m m } ; ; { 1 1 1 1 p n m ℓ } ; ; { 2 2 2 2 p n m ℓ 2) Пусть прямые ℓ 1 и ℓ 2 пересекаются: 1 M 2 M 1 ℓ 2 ℓ 1 ℓ 2 ℓ Получили: прямые ℓ 1 и ℓ 2 пересекаются они не параллельны и для них выполняется условие или, в координатной форме, 0 , , 2 1 ℓ ℓ 2 1 M M , (7*) 0 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 p n m p n m z z y y x x (7) 3) Если для прямых ℓ 1 и ℓ 2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются. 4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам: 1) параллельные прямые расстояние между прямыми (т.е. расстояние от точки до прямой)? 2) пересекающиеся прямые а) угол между прямыми? б) точка пересечения прямых? 3) скрещивающиеся прямые а) угол между прямыми? б) расстояние между прямыми? Пусть даны 2 прямые: и – направляющий вектор прямой ℓ i , M i (x i ;y i ;z i ) ℓ i (i = 1,2) 1 1 1 1 1 1 1 : p z z n y y m x x ℓ 2 2 2 2 2 2 2 : p z z n y y m x x ℓ } ; ; { i i i i p n m ℓ ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещива- ющимися) прямыми в пространстве. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ 1 и ℓ 2 называется угол между прямой ℓ 1 и проекцией прямой ℓ 2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ 1 . 1 ℓ 2 ℓ 1 ℓ 2 ℓ 2 ℓ 1 2 Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Получаем: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 ) , ( cos p n m p n m p p n n m m ℓ ℓ ℓ ℓ где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого. Пусть дана прямая M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) – точка, не принадлежащая ℓ . ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве. Обозначим: – направляющий вектор прямой ℓ , M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка на прямой ℓ , d – расстояние от точки M 1 до ℓ . ℓ 0 M 1 M ℓ d Получаем: ℓ ℓ 1 0 M M , d } ; ; { p n m ℓ , : 0 0 0 p z z n y y m x x ℓ Пусть даны две скрещивающиеся прямые: и – направляющий вектор прямой ℓ i , M i (x i ;y i ;z i ) ℓ i (i = 1,2) . ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между ℓ 1 и ℓ 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Получаем: 2 2 2 2 2 2 C B A D Cz By Ax d где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ , M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2 ) – любая точка на прямой ℓ 2 1 ℓ 1 ℓ 2 ℓ 2 ℓ 1 M 2 M d d 1 1 1 1 1 1 1 : p z z n y y m x x ℓ 2 2 2 2 2 2 2 : p z z n y y m x x ℓ } ; ; { i i i i p n m ℓ 1 ℓ 2 ℓ 1 ℓ 2 ℓ 1 M 2 M d 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , , 2 1 , , 6 1 3 3 ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ 2 1 2 1 M M M M осн пир S V d Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M 2 Следовательно: ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых. Пусть M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка пересечения прямых. Тогда (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – решение системы уравнений Пусть даны две пересекающиеся прямые 1 ℓ : 1 1 m x x 1 1 n y y 1 1 p z z и 2 ℓ : 2 2 m x x 2 2 n y y 2 2 p z z , , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x p z z n y y m x x или , , , , , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 p z z n y y m x x p t z z n t y y m t x x 5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Пусть в пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Пусть λ: Ax + By + Cz + D = 0 и Тогда N = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ, – направляющий вектор прямой ℓ } ; ; { p n m ℓ , : 0 0 0 p z z n y y m x x ℓ а)Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости, то или в координатной форме Am + Bn + Cp = 0 . (11) N ℓ N ℓ ℓ N 0 , ℓ N (10) Если условие (10)(условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. б)Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 , где M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – любая точка прямой. Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является перпендикулярность прямой и плоскости ℓ N В этом случае N ℓ т.е. p C n B m A ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между прямой ℓ и плоскостью λ называется угол φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ . Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый. N ℓ 0 M 1 ℓ ℓ Следовательно, sin cos ℓ ℓ N N, Пучок плоскостей ● Пучком плоскостей называется множество плоскостей, проходящих через фиксированную прямую — ось пучка Пучок плоскостей ● Теорема (уравнение пучка). Пусть (A 1 x+B 1 y+C 1 z+D=0) и (A 2 x+B 2 y+C 2 z+D=0) — две различных плоскости из пучка плоскостей, тогда уравнение пучка имеет вид α(A 1 x+B 1 y+C 1 z+D)+β(A 2 x+B 2 y+C 2 z+D)=0 (α 2 +β 2 ≠0), то есть любая плоскость такого вида принадлежит пучку и наоборот любая плоскость пучка представляется в таком виде. § 10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1. Определение линейного оператора Пусть L и V – линейные пространства над F (где F – поле). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция, заданная на L и имеющая областью значений V 1 V называется оператором (преобразованием), действующим из L в V . Оператор, действующий из L в L, называют оператором пространства L Если оператор φ:L V, φ:x y, то y называется образом элемента (вектора) x и обозначается φ(x) или φx , x называют прообразом элемента (вектора) y Оператор φ называется линейным , если для любых x 1 ,x 2 L и любого α F выполнены следующие условия: 1) φ(x 1 +x 2 ) = φ(x 1 ) + φ(x 2 ), 2) φ(α · x) = α · φ(x). Первое условие называется свойством аддитивности , второе – свойством однородности оператора. Вместе оба эти свойства называются свойствами линейности оператора и могут быть записаны в виде φ(α · x 1 + β · x 2 ) = α · φ(x 1 ) + β · φ(x 2 ) где x 1 ,x 2 L , α,β F . ЛЕММА 1. Если φ – линейный оператор, то φ(o) = o. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО – самостоятельно 2. Линейные операторы конечномерных пространств Пусть φ – оператор n-мерного пространства L n , e 1 ,…,e n – базис L n Разложим векторы φ(e i ) по базису e 1 ,e 2 ,…e n : φ(e 1 ) = a 11 e 1 + a 21 e 2 + … + a n1 e n , φ(e 2 ) = a 12 e 1 + a 22 e 2 + … + a n2 e n , ……………………………….. φ(e n ) = a 1n e 1 + a 2n e 2 + … + a nn e n Матрицу A nn n n n n n a a a a a a a a a a a a 3 2 1 2 23 22 21 1 13 12 11 … … … … A составленную из координат векторов φ(e i ) в базисе e 1 ,e 2 ,…,e n называют матрицей линейного оператора φ в базисе e 1 ,e 2 , …,e n (относительно базиса e 1 ,e 2 ,…e n ) Если A – матрица линейного оператора φ в базисе e 1 ,e 2 ,…,e n , то вектор x и его образ y = φ(x) будут связаны соотношением: Y=AX, где X, Y – матрицы-столбцы из координат векторов x и y в базисе e 1 ,e 2 ,…,e n ТЕОРЕМА 2.Пусть φ – оператор n-мерного пространства L n , e 1 ,e 2 ,…,e n и f 1 ,f 2 ,…,f n – два базиса пространства , причем f 1 = c 11 e 1 + c 21 e 2 + … + c n1 e n , f 2 = c 12 e 1 + c 22 e 2 + … + c n2 e n , …………………………… f n = c 1n e 1 + c 2n e 2 + … + c nn e n Если A=(a ij ) – матрица оператора φ в базисе e 1 ,e 2 ,…,e n , B=(b ij ) – матрица оператора φ в базисе f 1 ,f 2 ,…,f n , то B=C –1 AC, где C=(c ij ) – матрица перехода от базиса e 1 ,e 2 ,…e n к базису f 1 ,f 2 ,…,f n , т.е. nn n n n n c c c c c c c c c … … … … … … … 2 1 2 22 21 1 12 11 C Квадратные матрицы A и B , для которых найдется невырожденная матрица C такая, что имеет место равенство B=C –1 AC, называются подобными Образ оператора Im φ — это множество образов всех элементов линейного пространства. Образ оператора является подпространством. Размерность образа равна рангу матрицы оператора. Ядро оператора Ker φ — это множество всех элементов линейного пространства отображающихся в нулевой элемент. Ядро оператора является подпространством. ТЕОРЕМА. Для любого оператора φ линейного пространства L справедливо следующее соотношение dim(Im φ) + dim(Ker φ) = dim L 3. Диагонализируемость линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор φ n–мерного пространства L n называется диагонализируемым , если в L n существует базис, в котором матрица линейного оператора диагональная. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть φ – оператор пространства L. Если для некоторого ненулевого вектора x L и числа λ имеем φ(x)= λ·x, то число λ называется собственным значением оператора φ , а вектор x называется собственным вектором оператора φ , относящимся к собственному значению λ Множество всех собственных значений оператора называется его спектром . СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ 1. ЛЕММА 3. Каждый собственный вектор x оператора φ относится к единственному собственному значению. 2. ЛЕММА 4. Если x 1 и x 2 – собственные векторы оператора φ, относящиеся к одному и тому же собственному значению λ , то их линейная комбинация α·x 1 +β·x 2 – собственный вектор оператора φ, относящийся к тому же собственному значению. Следствия ЛЕММЫ 4: а) каждому собственному значению λ соответствует беско- нечное множество собственных векторов; б) если к множеству всех собственных векторов x оператора φ, относящихся к собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получится подпространство простран- ства L. Оно называется собственным подпространством оператора и обозначается L λ 3.ЛЕММА 5. Собственные векторы x 1 ,x 2 ,…,x k оператора φ, относящиеся к различным собственным значениям λ 1 ,λ 2 ,…, λ k , линейно независимы. Следствия ЛЕММЫ 5: а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве L n , не может иметь более n собственных значений; б) в пространстве может существовать базис, хотя бы часть которого – собственные векторы оператора. ТЕОРЕМА 6 (необходимое и достаточное условие диагональ- ности матрицы оператора) . Матрица A оператора φ в базисе e 1 ,e 2 ,…,e n имеет диагональный вид все базисные векторы e i являются собственными векторами этого оператора. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КРИТЕРИЙ ДИАГОНАЛИЗИРУЕМОСТИ ОПЕРАТОРА: оператор φ диагонализируем тогда и только тогда, когда в пространстве L n существует базис из собственных векторов оператора . ВЫВОД: если система векторов, составленная из базисов собственных подпространств оператора, является базисом линейного пространства, то оператор диагонализируем. 5. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора Пусть φ – оператор n-мерного пространства L n , x – собственный вектор оператора φ , относящийся к собственному значению λ , т.е. φ(x)= λ·x. Пусть e 1 ,e 2 ,…,e n – базис L n , A – матрица линейного оператора φ в базисе e 1 ,e 2 ,…,e n x = 1 e 1 + 2 e 2 + … + n e n Получили: 1) x – собственный вектор оператора φ , относящийся к соб- ственному значению λ его координаты ξ 1 ,ξ 2 ,…,ξ n являются решением (нетривиальным) системы линейных однородных уравнений (A–λE)X=O. 2) Подпространство L λ является конечномерным, а его базис образуют собственные векторы x 1 ,x 2 ,…,x k , координатами которых являются решения из фундаментальной системы решений СЛОУ (A–λE)X=O. Матрица A–λE называется характеристической матрицей оператора φ (матрицы A) . Определитель характеристической матрицы, т.е. det(A–λE) – многочлен степени n относительно переменной λ . Многочлен det(A–λE) называют характеристическим много- членом оператора φ ( матрицы A ). Корни многочлена det(A–λE) называют характеристи- ческими корнями оператора φ ( матрицы A ). Таким образом, число λ является собственным значением оператора φ тогда и только тогда, когда оно является его характеристическим корнем. Кратность собственного числа λ как корня характеристического многочлена называется его алгебраической кратностью Размерность пространства решений системы (A–λE)X=O называется геометрической кратностью собственного числа λ. ЛЕММА. Геометрическая кратность собственного числа меньше или равна его алгебраической кратности. Канонический вид линейного оператора ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элемент x называется присоединенным элементом оператора φ, отвечающим собственному значению λ, если для некоторого целого m≥1 выполнены соотношения (φ-λE) m x ≠ 0, (φ-λE) m+1 x = 0. При этом число m называется порядком присоединенного элемента. ● ТЕОРЕМА (Жорданова нормальная форма). Пусть φ —линейный оператор в линейном пространстве над полем F и все корни его характеристического многочлена лежат в F. Тогда существует базис { }, k=1, …, l; m=1, …, n k , n 1 +...+n k =n=dim L, образованный из собственных и присоединенных векторов, в котором ● φ(e 1 )=λ 1 e 1 ● φ(e k m )=λ k e k m + e k m-1 e k m |