Математика и ЛАаГ. Математика Лекции ЛААГ. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Введение. Обозначения n натуральные числа z целые числа
 Скачать 1.14 Mb.
|
|
Глава III. Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. Линией на плоскости называют геометрическое место точек M(x;y), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0, (1) где F(x,y) – многочлен степени n. Поверхностью называют геометрическое место точек M(x;y;z), координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, (2) где F(x,y,z) – многочлен степени n. Линией в пространстве называют пересечение двух поверхностей. Уравнения (1) и (2) называют общими уравнениями линии на плоскости и поверхности соответственно. Степень многочлена F(x,y) ( F(x,y,z) ) называют порядком линии ( поверхности ). § 11. Прямая на плоскости 1. Общее уравнение прямой на плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), перпендикулярно вектору N = {A; B}. N 0 M 0 r r M O Уравнения (r – r 0 , N) = 0 и A(x – x 0 ) + B(y – y 0 )= 0 называют уравнением прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ) перпендикулярно вектору N = {A; B} (в векторной и координатной форме соответственно). Уравнения (r , N) + C = 0 и Ax + By + C = 0 называют общим уравнением прямой на плоскости (в векторной и координатной форме соответственно). ВЫВОДЫ: 1) Прямая на плоскости является линией первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+C = 0, где A,B,C – числа. 2) Коэффициенты A и B не обращаются в нуль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Вектор, перпендикулярный прямой, называют нормальным вектором этой прямой. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ Если в уравнении Ax+By+C = 0 все коэффициенты A,B и C отличны от нуля, то уравнение называют полным ; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – уравнение называют неполным 1) Пусть общее уравнение прямой – полное. Тогда его можно записать в виде ) 5 ( 1 b y a x y B(0; b) A(a; 0) x С геометрической точки зрения a и b – отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно. Уравнение (5) называют уравнением прямой в отрезках 2) Пусть в общем уравнении прямой коэффициенты A и B – ненулевые, а C = 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+By = 0. Такая прямая проходит через начало координат O(0;0). y O(0; 0) x 3) Пусть в общем уравнении прямой один из коэффициентов A или B – нулевой, а C 0, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax+C = 0 или By+C = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = a и y = b . y A(a; 0) x y B(0; b) x Таким образом, прямая в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты 4) Пусть в общем уравнении прямой C = 0 и один из коэф- фициентов A или B тоже нулевой, т.е. уравнение прямой имеет вид Ax = 0 или By = 0. Эти уравнения можно записать в виде x = 0 (уравнения координатной оси Oy) и y = 0 (уравнения координатной оси Ox). Замечание. Пусть прямая ℓ не проходит через O(0;0). y 0 P O x Тогда уравнение ℓ можно записать в виде cosα·x + cosβ·y + C = 0, где C = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения прямой называется нормальным уравнением прямой Обозначим: 1) P 0 (x 0 ;y 0 ) – основание перпендикуляра, опущенного на ℓ из начала координат, 2) n = {cos , cos} – орт вектора , 3) – расстояние от начала координат до прямой ℓ . 0 OP 0 OP p 2. Другие формы записи уравнения прямой на плоскости 1) Параметрические уравнения прямой ЗАДАЧА 2. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ), параллельно вектору ℓ = {m; n} . 0 M ℓ 0 r r M O Вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором этой прямой. Уравнение r = r 0 + t ℓ и систему уравнений называют параметрическими уравнениями прямой (в век- торной и координатной форме соответственно). , 0 0 n t y y m t x x 2) Каноническое уравнение прямой на плоскости Пусть в задаче 2 вектор ℓ не параллелен ни одной из коорди- натных осей (т.е. m 0 и n 0). Уравнение называют каноническим уравне- нием прямой на плоскости . 3) Уравнение прямой, проходящей через две точки – частный случай канонического уравнения прямой. Пусть прямая проходит через две точки M 1 (x 1 ,y 1 ) и M 2 (x 2 ,y 2 ) . Уравнение называют уравнением прямой, проходящей через две точки M 1 (x 1 ,y 1 ) и M 2 (x 2 ,y 2 ) . 1 M 2 M n y y m x x 0 0 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x 4) Уравнение прямой с угловым коэффициентом Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox. Тогда она пересе- кается с Ox, образуя при этом две пары вертикальных углов. Угол , отсчитываемый от оси Ox к прямой ℓ против часовой стрелки, называют углом наклона прямой ℓ к оси Ox y y x x Число k = tg (если оно существует, т.е. если прямая ℓ не параллельна оси Oy) называют угловым коэффициентом прямой . Для прямой, параллельной оси Ox, угол наклона прямой к оси Ox считают равным нулю. Следовательно, угловой коэффициент такой прямой k = tg0 = 0. Пусть прямая ℓ не параллельна оси Ox и Oy и проходит через точки M 1 (x 1 ,y 1 ) и M 2 (x 2 ,y 2 ) (где x 1 < x 2 ). Найдем угловой коэффициент этой прямой. Получили: Уравнение прямой, проходящей через две точки перепишем в виде: y y 2 M 1 M 1 M K P 2 M x x 1 2 1 2 tg x x y y k 1 1 2 1 2 1 x x x x y y y y k Уравнение y – y 1 = k (x – x 1 ) – это уравнение прямой, проходящей через точку M 1 (x 1 ,y 1 ) и имеющей угловой коэффициент k Перепишем это уравнение в виде y = kx + b (где b = y 1 – kx 1 ). Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом . С геометрической точки зрения b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy. Замечание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом было получено в предположении, что прямая не параллельна оси Ox и Oy. Для прямой, параллельной Ox общее уравнение можно рассматривать как уравнение с угловым коэффициентом. Действительно, уравнение такой прямой y = b или y = 0 · x + b, где k = 0 – угловой коэффициент прямой. 3. Взаимное расположение прямых на плоскости На плоскости две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения прямых ℓ 1 и ℓ 2 имеют вид: ℓ 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 или y = k 1 x + b 1 ℓ 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 или y = k 2 x + b 2 Получаем, что прямые ℓ 1 и ℓ 2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е. 2 1 2 1 B B A A или их угловые коэффициенты равны, т.е. k 1 = k 2 . 1 N 1 ℓ 2 ℓ 2 N 1 2 x 1 ℓ 2 ℓ 1) Пусть прямые параллельны: 2) Пусть прямые пересекаются 1 ℓ 2 2 ℓ 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( cos B A B A B B A A 2 1 2 1 N N N N где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. Критерий перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями: 0 ) , ( 2 1 2 1 B B A A 2 1 N N 1 N 2 N 1 2 ℓ 1 ℓ 1 2 1 x где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. Критерий перпендикулярности прямых, имеющий угловые коэффициенты k 1 и k 2 : 1 2 1 2 2 , 1 1 tg k k k k 1 2 1 k k 4. Расстояние от точки до прямой ЗАДАЧА 3. Пусть прямая ℓ задана общим уравнением Ax + By + C = 0 , M 0 (x 0 ;y 0 ) – точка, не принадлежащая прямой ℓ. Найти расстояние от точки M 0 до прямой ℓ . N 1 M 0 M ℓ d 2 2 0 0 ) , ( B A C By Ax d N M M N 0 1 Пучок прямых § 12. Плоскость 1. Общее уравнение плоскости и его исследование ЗАДАЧА 1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), перпендикулярно вектору N = {A; B; C}. Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости. N 0 r r O 0 M M Уравнения (r – r 0 , N) = 0 (1*) и A(x – x 0 ) + B(y – y 0 )+ C(z – z 0 ) = 0 (1) называют уравнением плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) перпендикулярно вектору N = {A; B; C} (в векторной и координатной форме соответственно). Уравнения (r , N) + D = 0 (2*) и Ax + By + Cz + D = 0 (2) называют общим уравнением плоскости (в векторной и координатной форме соответственно). ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка. В общем случае она задается уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа. 2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от нуля, то уравнение называют полным ; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным 1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде ) 3 ( 1 c z b y a x С геометрической точки зрения a , b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответ- ственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках z ) , 0 , 0 ( c C ) 0 , , 0 ( b B y x ) 0 , 0 , (a A 2) Пусть в общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C – ненулевые, а D = 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид Ax+By +Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат O(0;0;0). z 1 ℓ O y 2 ℓ x ℓ 1 : By+Cz = 0 (пересечение с плоскостью Oyz) ℓ 2 : Ax+By = 0 (пересечение с плоскостью Oxy) а) плоскость отсекает на осях Ox и Oy отрезки a и b соответственно и параллельна оси Oz; 3) Пусть в общем уравнении плоскости один из коэффициентов A, B или C – нулевой, а D 0, т.е. уравнение плоскости один из следующих трех видов: а) Ax+By+D = 0 б) Ax+Cz+D = 0 в) By+Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде а) 1 b y a x б) 1 c z a x в) 1 c z b y z b y a x б) плоскость отсекает на осях Ox и Oz отрезки a и c соответственно и параллельна оси Oy; в) плоскость отсекает на осях Oy и Oz отрезки b и c соответственно и параллельна оси Ox. z z c c y b y a x x Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствует одна из координат, параллельна оси отсутствующей координаты. 4) Пусть в уравнении плоскости (2) два из трех коэффициентов A, B или C – нулевые, а D 0, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+D = 0 или б) By+D = 0 или в) Cz+D = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) 1 a x б) 1 b y в) 1 c z а) плоскость отсекает на оси Ox отрезок a и параллельна осям Oy и Oz (т.е. параллельна плоскости Oyz); a z x y б) плоскость отсекает на Oy отрезок b и параллельна осям Ox и Oz (т.е. параллельна плоскости Oxz); в) плоскость отсекает на Oz отрезок c и параллельна осям Ox и Oy (т.е. параллельна плоскости Oxy). z x y b c z x y Иначе говоря, плоскость, в уравнении которой отсутствуют две координаты, параллельна координатной плоскости, проходящей через оси отсутствующих координат. 5) Пусть в общем уравнении плоскости (2) D = 0 и один из коэффициентов A, B или C тоже нулевой, т.е. уравнение плоскости имеет вид: а) Ax+By = 0 или б) Ax+Cz = 0 или в) By+Cz = 0. Плоскость проходит через начало координат и ось отсутствующей координаты x y z x x z z y y 6) Пусть в общем уравнении плоскости (2) три коэффициента равны нулю, т.е. уравнение плоскости имеет вид а) Ax = 0 или б) By = 0 или в) Cz = 0. Эти уравнения можно записать соответственно в виде: а) x = 0 – уравнение координатной плоскости Oyz; б) y = 0 – уравнение координатной плоскости Oxz, в) z = 0 – уравнение координатной плоскости Oxy. Замечание. Пусть плоскость λ не проходит через O(0;0;0). Тогда уравнение λ можно записать в виде cosα · x + cosβ · y + cosγ · z + D = 0, где D = – p (доказать самим). Этот частный случай общего уравнения плоскости называется нормальным уравнением плоскости Обозначим: 1) P 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – основание перпендикуляра, опущенного на λ из начала координат, 2) n = {cos , cos, cos } – орт вектора , 3) – расстояние от начала координат до λ . O n 0 P 0 OP 0 OP p 2. Другие формы записи уравнения плоскости 1) Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам ЗАДАЧА 2. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), параллельно неколлинеарным векторам } ; ; { 1 1 1 1 p n m ℓ и } ; ; { 2 2 2 2 p n m ℓ Другие формы записи: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикуляр- но вектору (см. уравнение (1) и (1*)); Уравнение плоскости в отрезках (см уравнение (3)); Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам; Уравнение плоскости, проходящей через три точки; 1 ℓ 2 ℓ 0 M M 0 r r O Уравнения (4*) и (4) называют уравнениями плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам (в векторной и координатной форме соответственно). 0 , , 2 1 ℓ ℓ 0 r r 0 2 2 2 1 1 1 0 0 0 p n m p n m z z y y x x 2) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой – частный случай уравнения (4) Пусть плоскость проходит через три точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) и M 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ), не лежащие на одной прямой. Уравнения (5*) и (5) называют уравнениями плоскости, проходящей через три точки M 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ) и M 3 (x 3 ;y 3 ;z 3 ) (в векторной и координатной форме соответственно). 2 M M 3 M 1 M 0 , , 1 3 1 2 1 r r r r r r 0 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 z z y y x x z z y y x x z z y y x x 3. Взаимное расположение плоскостей В пространстве две плоскости могут: а) быть параллельны, б) пересекаться. Пусть уравнения плоскостей λ 1 и λ 2 имеют вид: λ 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 λ 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Тогда: N 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } – нормаль к λ 1 ; N 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } – нормаль к λ 2 1) Пусть плоскости параллельны: 1 N 2 N 1 2 Получаем, что плоскости λ 1 и λ 2 параллельны тогда и только тогда, когда в их общих уравнениях коэффициенты при соответствующих неизвестных пропорциональны, т.е. 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2) Пусть плоскости пересекаются 2 1 1 1 1 1 N 2 N 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( cos C B A C B A C C B B A A 2 1 2 1 N N N N где знак плюс берется в том случае, когда надо найти величину острого угла, а знак минус – когда надо найти величину тупого угла. Частный случай – плоскости перпендикулярны, т.е. 0 ) , ( cos 2 , 1 2 1 2 1 N N N N 0 ) , ( 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 2 1 N N Критерий перпендикулярности плоскостей, заданных общими уравнениями: ∘ 90 2 1 0 cos cos 2 1 4. Расстояние от точки до плоскости ЗАДАЧА 3. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка, не принадлежащая плоскости λ . Найти расстояние от точки M 0 до плоскости λ . 2 2 2 0 0 0 ) , ( C B A D Cz By Ax d N M M N 0 1 0 M N 1 M d 4. Проекция точки на плоскость ЗАДАЧА. Пусть плоскость λ задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) – точка, не принадлежащая плоскости λ . Найти координаты ортогональной проекции точки M 0 на плоскость λ. r проекции = r 0 − ( r 0 − r 1 , N ) | N| 2 N |