Математика и ЛАаГ. Математика Лекции ЛААГ. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Введение. Обозначения n натуральные числа z целые числа
 Скачать 1.14 Mb.
|
§ 10 10 . . Евклидовы линейные пространства Евклидовы линейные пространства ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть E – линейное пространство над ℝ . Отображение f:(x,y) ℝ , которое каждой паре элементов x,y E ставит в соответствие единственный и однозначно определенный элемент r ℝ , называется скалярным произведением , если выполняются следующие условия: 1) f(x,y) = f(y,x) ; 2) f(x 1 +x 2 ,y) = f(x 1 ,y) + f(x 2 ,y) ; 3) f(λx,y) = λf(x,y) , λ ℝ ; 4) f(x,x) > 0, x o ; f(x,x) = 0 x = o . Обозначают: (x,y) Линейное пространство E , на котором определено скалярное произведение векторов, называется евклидовым линейным пространством . ТЕОРЕМА 2. Любое конечномерное линейное пространство над ℝ может быть превращено в евклидово пространство . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Назовем длиной вектора x E число Обозначают: |x| . ЛЕММА 3 (неравенство Коши – Буняковского). Для любых x,y E справедливо неравенство (x,y) |x| · |y| . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между векторами x,y E (x o , y o) назовем число φ [0;π] , удовлетворяющее условию ) , ( x x y x y x ) , ( cos ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторы x,y E (x o , y o) называются ортогональными , если (x,y) = 0. Система векторов x 1 ,x 2 , … , x n E называется ортогональной , если все векторы этой системы попарно ортогональны, т.е. если (x i ,x k ) = 0 , i k . Ортогональная система векторов x 1 ,x 2 , … , x n E называется ортонормированной , если длины всех векторов этой систе- мы равны 1 , т.е. если (x i ,x k ) = 0 , i k и (x i ,x i ) = 1 , i . ЛЕММА 4. Ортогональная система векторов линейно незави- сима. ТЕОРЕМА 5. В любом конечномерном евклидовом пространстве существуют ортогональные (ортонормированные) базисы. Д-во: Процесс (метод) ортогонализации Грама-Шмидта e 1 , …, e n — произвольный исходный базис h 1 , …, h n — ортогональный базис, полученный из исходного f 1 , …, f n — ортонормированный базис h 1 = e 1, h 2 = e 2 − ( e 2, h 1 ) ( h 1, h 1 ) h 1, ... , h k+1 = e k +1 − ∑ i=1 k ( e k+1 , h i ) ( h i , h i ) h i f i = h i ∣ h i ∣ Матрица Грама — матрица составленная из попарных скалярных произведений векторов базиса Можно составлять матрицу попарных скалярных произведений для любой системы векторов ТЕОРЕМА. Детерминант матрицы, составленной из попарных скалярных произведений векторов равен нулю тогда и только тогда, когда векторы системы линейной зависимы. ТЕОРЕМА 6. Базис e 1 , e 2 , … , e n евклидова пространства E (n) является ортонормированным , ) , ( 1 n i i i y x где x = α 1 e 1 + α 2 e 2 +… + α n e n = {α 1 , α 2 , … , α n } , y = β 1 e 1 + β 2 e 2 +… + β n e n = {β 1 , β 2 , … , β n } . Вычисление скалярного произведения в координатах. Пусть х, y — столбцы координат соответственно векторов х, y. Тогда (х, y)=x T Гy. ТЕОРЕМА. Пусть Г — матрица Грама базиса e 1 , … e n , Г` — матрица базиса f 1 , …, f n , а S — матрица перехода от базиса e 1 , … e n к базису f 1 , …, f n . Тогда Г`=S T ГS ● Линейные функции ● Сопряженное пространство ● Билинейные формы ● Матрица билинейной формы ● Формула замены матрицы при замене базиса ● Симметричная форма Квадратичная форма ● Диагональный и канонический вид формы ● Метод Лагранжа (метод выделения полных квадратов) приведения формы к диагональному виду: любая квадратичная форма приводится к диагональному виду ● Индекс, положительный индекс, ранг квадратичной формы ТЕОРЕМА (закон инерции квадратичных форм). Ранг, а также положительный и отрицательный индексы квадратичной формы не зависят от базиса (в котором она приводится к диагональному виду). Сигнатурой квадратичной формы называется пара чисел: ее положительный и отрицательный индексы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичная форма k(x) называется положительно (отрицательно) определенной если она принимает только строго положительные (отрицательные) значения для всех ненулевых элементов линейного пространства, т. е. ∀ x≠0: k(x)>0 (соответственно, k(x)<0). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичная форма k(x) называется положительно (отрицательно) полуопределенной если она принимает только нулевые или положительные (отрицательные) значения для всех ненулевых элементов линейного пространства ∀ x≠0: k(x)≥0 (соответственно, k(x)≤0). ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Миноры расположенные в левом верхнем углу матрицы называются главными ТЕОРЕМА (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма была положительно определена необходимо и достаточно, чтобы главные миноры ее матрицы были положительными. ● СЛЕДСТВИЕ. Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определена необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров ее матрицы чередовались: нечетных размеров были отрицательными, четных — положительными. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор A называется самосопряженным (или симметрическим относительно скалярного произведения), если для любых векторов x, y справедливо (Ax, y)=(x, Ay). Матрица симметрического оператора относительно стандартного скалярного произведения является симметричной. ● Все собственные числа симметричной матрицы являются действительными числами. ТЕОРЕМА. Собственные векторы симметрического матрицы отвечающие различным собственным значениям ортогональны, а в линейном пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Оператор A называется ортогональным , если он сохраняет скалярное произведение, т. е. для любых векторов x, y справедливо (Ax, Ay)=(x, y). Матрица ортогонального оператора относительно стандартного скалярного произведения является ортогональной, т. е. A T A=AA T =E. ЛЕММА. Собственные числа ортогональной матрицы равны по абсолютному значению единице. ТЕОРЕМА (Эйлера). Произведение (т. е. последовательное выполнение) поворотов (вообще говоря вокруг различных осей) в трехмерном пространстве вновь является поворотом (вообще говоря вокруг третьей оси). ТЕОРЕМА. Любая квадратичная форма может быть приведена к диагональному виду путем ортогонального преобразования (т. е. путем поворота начальной системы координат). § 14. Кривые второго порядка Кривые второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные кривые второго порядка это прямые и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка плоскости, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную кривую (мнимую кривую второго порядка). Невырожденными кривыми второго порядка являются эллипс, окружность, гипербола и парабола. 1. Эллипс и окружность ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная 2a (2a>|F 1 F 2 |). Точки F 1 и F 2 называют фокусами эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат: F 1 (–c;0) и F 2 (c;0) , где |OF 1 | = |OF 2 | = c. O 1 F 2 F M Уравнение (1): 1 2 2 2 2 b y a x называется каноническим уравнением эллипса Система координат, в которой эллипс имеет такое уравнение, называется его канонической системой координат ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСА 1) Эллипс лежит внутри прямоугольника, ограниченного x = a, y = b. 2) Эллипс имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии эллипса называют центром эллипса Ось симметрии эллипса, проходящую через фокусы (ось Ox) называют большой (или фокальной) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – малой осью. 3) Из уравнения эллипса получаем: Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе: 2 2 x a a b y 2 2 x a a b y а) D(y) = [–a; a] , y( a) = 0 ; б) функция возрастает при x(–a; 0) (y > 0) , убывает при x (0; a) (y < 0) , экстремум (максимум) в точке x = 0 , y(0) = b ; в) кривая всюду выпуклая . 2 2 x a x a b y 0 ) ( 3 2 2 x a ab y Точки A 1 , A 2 , B 1 , B 2 называются вершинами эллипса Отрезок A 1 A 2 и его длина 2a называются большой ( фокальной ) осью , отрезок B 1 B 2 и его длина 2b – малой осью Величины a и b называются большой и малой полуосью соответственно. Длина отрезка F 1 F 2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием . Если M – произвольная точка эллипса, то отрезки MF 1 , MF 2 и их длины r 1 , r 2 называются фокальными радиусами точки M 1 A 1 F 2 A 1 B 2 B 2 F x y ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния эллипса к его большой оси, называется эксцентриситетом эллипса, т.е. ε= 2c 2a = c a Так как , то 0 < < 1 . Величина характеризует форму эллипса. Зная эллипса легко найти фокальные радиусы точки M(x;y): r 1 = | MF 1 | = a + x , r 2 = | MF 2 | = a – x . Замечания. 1) Пусть в уравнении эллипса a = b = r. Для этой кривой F 1 = F 2 = O , Геометрически, это означает, что точки кривой равноудалены (на расстояние r) от ее центра O, т.е. кривая является окружностью Каноническое уравнение окружности принято записывать в виде x 2 + y 2 = r 2 , где r – расстояние от любой точки окружности до ее центра; r называют радиусом окружности a b a c 2 2 0 2 2 b a c 0 a c 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 были на оси Oy на одинаковом расстоянии от начала координат, то уравнение эллипса будет иметь вид 1 2 2 2 2 a y b x Для этого эллипса большая ось – ось Oy, малая ось – ось Ox, фокусы имеют координаты F 1 (0;–c) и F 2 (0;c) , где 2 2 b a c Фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам r 1 = | MF 1 | = a + y , r 2 = | MF 2 | = a – y . 1 A 1 F 2 A 1 B 2 B 2 F x y 2. Гипербола ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек плоскости F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная 2a (2a < |F 1 F 2 |). Точки F 1 и F 2 называют фокусами гиперболы. Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 лежали на оси Ox на одинаковом расстоянии от O. В такой системе координат: F 1 (–c;0) и F 2 (c;0) , где |OF 1 | = |OF 2 | = c. O 1 F 2 F M Уравнение (2): 1 2 2 2 2 b y a x называется каноническим уравнением гиперболы Система координат, в которой гипербола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛЫ 1) Точек гиперболы нет в полосе, ограниченной прямыми x= a. 2) Гипербола имеет центр симметрии (начало координат) и две оси симметрии (оси Ox и Oy). Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы Ось симметрии гиперболы, проходящую через фокусы (ось Ox) называют действительной (или фокальной ) осью симметрии, а вторую ось (ось Oy) – мнимой осью 3) Из уравнения гиперболы получаем: Исследуем кривую методами, разработан- ными в математическом анализе: 2 2 a x a b y 2 2 a x a b y а) D(y) = (– ;–a] ∪ [a; + ) , y(a) = 0 ; б) линия имеет асимптоты Напомним: Прямая ℓ называется асимптотой кривой, если расстояние от точки M кривой до прямой ℓ стремится к нулю при удалении точки M от начала координат. Существуют два вида асимптот – вертикальные и наклонные. Вертикальные асимптоты кривая y=f(x) имеет в тех точках разрыва II рода функции y=f(x) , в которых хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности. Наклонные асимптоты кривой y=f(x) имеют уравнение y=k 1,2 x+b 1,2 , где x x f k x ) ( lim 2 , 1 , x k x f b x 2 , 1 2 , 1 ) ( lim 2 2 a x a b y x a b y в) функция возрастает при x(a; +) (y > 0) , убывает при x (– ; –a) (y < 0) , экстремумов нет (критические точки x = 0 D(y) и x = a – граничные); г) кривая всюду выпуклая . 2 2 a x x a b y 0 ) ( 3 2 2 a x ab y Точки A 1 , A 2 называются вершинами гиперболы Отрезок A 1 A 2 и его длина 2a называются действительной ( фокальной ) осью , отрезок B 1 B 2 и его длина 2b – мнимой осью Величины a и b называются действительной и мнимой полуосью соответственно. Длина отрезка F 1 F 2 (равная 2c) называется фокусным расстоянием . Если M – произвольная точка гиперболы, то отрезки MF 1 , MF 2 и их длины r 1 , r 2 называются фокальными радиусами точки M 1 A 1 F 2 A b 2 F x y a b 1 B 2 B ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Величина , равная отношению фокусного расстояния гиперболы к ее действительной оси, называется эксцентриситетом гиперболы, т.е. a c a c 2 2 Так как , то > 1 . Величина характеризует форму гиперболы. Зная эксцентриситет гиперболы легко найти фокальные радиусы точки M(x;y). Если точка M лежит на правой ветке гиперболы (т.е. x > 0), то r 1 = | MF 1 | = a + x , r 2 = | MF 2 | = – a + x . Если M лежит на левой ветке гиперболы (т.е. x < 0), то r 1 = | MF 1 | = – (a + x) , r 2 = | MF 2 | = – (– a + x) . a b a c 2 2 Замечания. 1) Если в уравнении гиперболы a=b, то гипербола называется равнобочной Асимптоты равнобочной гиперболы, перпендикулярны. можно выбрать систему координат так, чтобы координатные оси совпали с асимптотами. Тогда уравнение гиперболы будет xy=0,5a 2 (3) Уравнение (3) называют уравнением равнобочной гиперболы, отнесенной к асимптотам 2) Если выбрать систему координат так, чтобы фокусы F 1 и F 2 были на одинаковом расстоянии от O(0;0), но лежали на Oy, то уравнение гиперболы будет иметь вид 1 2 2 2 2 a y b x 1 A 1 F 2 A b 2 F x y a b Для этой гиперболы: действительная ось – ось Oy, мнимая ось – ось Ox, F 1 (0;–c) и F 2 (0;c) (где ) 2 2 b a c асимптоты: x b a y фокальные радиусы точки M(x;y) находятся по формулам а) при y > 0: r 1 =|MF 1 | = a+ y, r 2 =|MF 2 | = – a+ y; б) при y < 0: r 1 =|MF 1 |= –(a+ y), r 2 =|MF 2 |= –(– a+ y). 3. Парабола Пусть ℓ – некоторая прямая на плоскости, F – некоторая точка плоскости, не лежащая на прямой ℓ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до фиксированной прямой ℓ и до фиксированной точки F (не лежащей на прямой ℓ) одинаково. Точку F называют фокусом параболы , прямую ℓ – директрисой Выберем декартову прямоугольную систему координат так, чтобы директриса параболы ℓ была перпендикулярна оси Ox, фокус F лежал на положительной части Ox и расстояние от O до F и до ℓ было одинаковым. В такой системе координат: F (0,5p;0) и ℓ: x + 0,5p =0 , где p – расстояние от F до ℓ . O F M ℓ Уравнение (4): y 2 = 2px называется каноническим уравнением параболы Система координат, в которой парабола имеет такое уравнение, называется ее канонической системой координат ИССЛЕДОВАНИЕ КАНОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ 1) Парабола лежит в полуплоскости x ≥ 0. 2) Парабола имеет ось симметрии (ось Ox). Ось симметрии параболы называют осью параболы 3) Из уравнения параболы получаем: Исследуем кривую методами, разработанными в математическом анализе: а) D(y) = [0; + ) , y(0) = 0 ; б) асимптот нет (проверить самим); в) функция всюду возрастает; г) кривая всюду выпуклая . px y 2 px y 2 0 2 2 x p y 0 4 2 3 x p y Точка, в которой парабола пересекает свою ось, называется вершиной параболы , Число p называется параметром параболы Если M – произвольная точка параболы, то отрезок MF и его длина называются фокальными радиусами точки M. p F x y ℓ Замечание. Введем систему координат так, чтобы фокус F параболы лежал на отрицательной части оси Ox, директриса была перпендикулярна Ox, и расстояние от O до F и до директрисы было одинаково. y ℓ x F p Тогда получим для параболы уравнение y 2 = –2px, (5) а для директрисы и фокуса: F(–0,5p;0) и ℓ : x – 0,5p = 0. Выберем систему координат так, чтобы директриса была перпендикулярна Oy, фокус лежал на положительной (отрицательной) части оси Oy и O была на одинаковом расстоянии от F и от директрисы (рис. 2 и рис. 3): Тогда уравнение параболы будет иметь вид x 2 = 2py, (6) а для директрисы и фокуса получим: F(0; 0,5p) и ℓ : y 0,5p = 0. Уравнения (5) и (6) тоже называются каноническими уравнениями параболы , а соответствующие им системы координат – каноническими системами координат p F x y ℓ y ℓ x F p 2 рис 3 рис py x 2 2 py x 2 2 4. Общее определение эллипса, гиперболы и параболы ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Прямые называются дирек- трисами эллипса и гиперболы Пусть M – произвольная точка эллипса или гиперболы. r i = | MF i | , d i = d(M,ℓ i ) ТЕОРЕМА. Для любой точки M эллипса (гиперболы) имеет место равенство i i d r a x ∓ ℓ : 2 , 1 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b y a x Замечание. По определению параболы r = d. параболу можно считать кривой, у которой эксцентриситет = 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до фиксированной прямой (директрисы) есть величина постоянная и равная , называется 1) эллипсом, если <1 ; 2) гиперболой, если >1; 3) параболой, если = 1. 5. Полярное уравнение эллипса, параболы и ветки гиперболы Полярная система координат: O P O – полюс; OP – полярная ось. r – полярный радиус точки M; φ – полярный угол точки M. M r Cвязь декартовых и полярных координат: x = rcosφ, y = rsinφ . x y Введем на плоскости полярную систему координат: 1 F x y 1 ℓ 2 F x y 2 ℓ F x y ℓ F ℓ M d r K S G L Уравнение – уравнение эллипса, параболы и ветви гиперболы в полярной системе координат ( полярное уравнение кривой ). cos 1 p r 6. Оптическое свойство эллипса, гиперболы и параболы Получаем: α = β .С физической точки зрения это означает: 1) Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе. 2) Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы они исходили из другого фокуса. 3) Если источник света находится в фокусе параболического зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее параллельно оси. 1 F 2 F x y M 1 F 2 F x y M F x y M 7. Координаты точки в разных системах координат Общее уравнение кривой второго порядка Получаем: O C x 1 x M y 1 y 0 r 1 r 2 r Формулу (8) называют формулой преобразования координат точки при переносе начала координат в точку C(x 0 ;y 0 ). ) 8 ( , 0 1 0 1 y y y x x x а) Пусть заданы декартовы прямоугольные системы координат xOy и x 1 Сy 1 такие, что Ox Cx 1 , Oy Cy 1 (« параллельные системы координат »). Рассмотрим уравнение Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (9) С помощью элементарных преобразований, уравнение (9) может быть приведено к виду: 1) при AC 0: 2) при C = 0: 3) при A = 0: ВЫВОД: Уравнение (9) определяет кривую, каноническая система координат которой параллельна заданной, но имеет начало в точке C(x 0 ,y 0 ). Говорят: уравнение (9) определяет кривую со смещенным центром (вершиной), а уравнение (10) называют каноническим уравнением кривой со смещенным центром ( вершиной ). 1 ) ( ) ( 2 0 2 0 y y x x ) ( ) ( 0 2 0 y y x x ) ( ) ( 0 2 0 x x y y ) 10 ( Замечание. Приводить уравнение (9) к виду (10) необходимо, если мы хотим построить кривую. Тип кривой можно определить и без уравнения (10). А именно: 1) если AC = 0 и A 2 +C 2 0 , то кривая является параболой; 2) если AC < 0, то кривая является гиперболой; 3) если AC > 0, A C – эллипсом; 4) если AC > 0, A = C – окружностью. Получаем: O x 2 x M y 2 y r Формулу (11) называют формулой преобразования координат точки при повороте координатных осей. б) Пусть заданы декартовы прямоугольные системы координат xOy и x 2 Oy 2 такие, что угол поворота от Ox к Ox 2 равен (« x 2 Oy 2 развернута по отношению к xOy »). 2 2 2 2 cos sin sin cos y x y x y x T y x y x y x cos sin sin cos 1 2 2 T ) 11 ( cos sin , sin cos 2 2 y x y y x x Рассмотрим уравнение Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + F = 0 (12) Каноническая система координат x 2 Oy 2 кривой (12) развернута относительно заданной на угол . Ее можно найти следующим образом. Пусть Q – матрица диагонализируемого оператора пространства V (2) базис c 1 , c 2 (единичной длины и ортогональные), в котором оператор имеет диагональную матрицу C B B A Q 2 1 0 0 H Связь базисов: Связь координат точки: Преобразуем уравнение (12) с помощью формул (13). Таким образом в системе координат x 2 Oy 2 , оси которой определены векторами c 1 и c 2 , уравнение кривой (12) будет иметь вид: 1 (x 2 ) 2 + 2 (y 2 ) 2 + F = 0 2 2 2 2 cos sin sin cos y x y x y x T ) 13 ( cos sin , sin cos 2 2 2 2 y x y y x x cos sin , sin cos j i c j i c 2 1 АЛГОРИТМ построения кривой, заданной уравнением (12). 1) записать Q и найти ее собственные значения 1 , 2 ; 2) найти собственные векторы c 1 , c 2 (единичной длины и ортогональные),и построить каноническую систему координат x 2 Oy 2 ; 3) записать уравнение 1 (x 2 ) 2 + 2 (y 2 ) 2 + F = 0 и построить кривую. Из формул (11) и (8) получаем: O C x x M y y 0 r 0 0 1 y x y x y x T , Формулу (14) называют формулой преобразования координат точки при переходе к новой системе координат . в) Пусть заданы декартовы прямоугольные системы координат xOy и x̃Cy такие, что x̃Cy смещена и развернута по отношению к xOy (т.е. общий случай) ) 14 ( cos sin , sin cos 0 0 y y x y x y x x Рассмотрим уравнение Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 (15) Каноническая система координат кривой (15) развернута относительно заданной на угол и ее начало смещено в некоторую точку. Чтобы построить кривую 2-го порядка в общем случае необходимо найти ее каноническую систему координат и уравнение кривой в этой системе координат. Это делают в 2 этапа: 1) Ищут систему координат, в которой уравнение кривой не содержит слагаемого с произведением переменных (разворачивают координатные оси на угол ). 2) Приводят полученное в 1) уравнение к виду (10) и сдвигают систему координат в точку C . Полученная система координат – каноническая. |