Математика и ЛАаГ. Математика Лекции ЛААГ. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Введение. Обозначения n натуральные числа z целые числа
 Скачать 1.14 Mb.
|
Математика Лектор: Зюбин С.А. Математика 1.1 1 семестр ● Линейная алгебра ● Аналитическая геометрия Математика Основная литература 1)Д.В. Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры 2)Л.А. Беклемишева и др. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре Введение. Обозначения N —Натуральные числа Z — Целые числа Q — Рациональные числа R — Действительные числа C — Комплексные числа Глава I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия Линейная алгебра – часть алгебры, изучающая линейные пространства, линейные операторы, линейные, билинейные и квадратичные функции на линейных пространствах. Аналитическая геометрия – раздел геометрии, в котором простейшие линии и поверхности (прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка) исследуются средствами алгебры. § 1. Матрицы и действия над ними § 1. Матрицы и действия над ними 1. Определение и некоторые виды матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, образованная из элементов некоторого поля (например, действительных чисел) и имеющая m строк и n столбцов. Если m n, то матрицу называют прямоугольной Если m n, то матрицу называют квадратной, порядка n Элементы поля, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы Элементы матриц обозначаются малыми латинским буквами с верхними и нижними индексами. Например, a 24 , a 13 , a 2 4 Две матрицы A и B считаются равными , если они одинакового размера, и элементы, стоящие в A и B на одинаковых местах, равны между собой, т.е. a ij b ij mn m m n n a a a a a a a a a … … … … … … … 2 1 2 22 21 1 12 11 A , mn m m n n a a a a a a a a a … … … … … … … 2 1 2 22 21 1 12 11 A ) ( ij a A , , , 1 ( m i ) , 1 n j ) ( ij a A , ) , 1 , ( n j i Некоторые частные случаи матриц 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … … … … … … … O 1) Матрицу , размера m × 1 называют матрицей-столбцом высоты m . 2)Матрицу , размера 1 × n называют матрицей-строкой длины n . 3) Нулевой матрицей называют матрицу, все элементы которой равны нулю: ) ( 1 1 21 11 i m a a a a … A ) ( 1 1 12 11 i n a a a a … A Элементы a 11 , a 22 , …, a kk (где k ≤ min{m,n}) будем называть элементами главной диагонали матрицы Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной : 4) Пусть ) ( ij a A , , , 1 ( m i ) , 1 n j nn a a a … … … … … … … 0 0 0 0 0 0 22 11 A Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 … … … … … … … Обозначают: E или E n 5) Пусть A = ( a ij ) – квадратная матрица порядка n Элементы a 1n , a 2,n-1 , a 3,n-2 , …, a n1 будем называть элементами побочной диагонали матрицы Квадратные матрицы, у которых все элементы ниже (выше) главной диагонали равны нулю, называются треугольными : — верхнетреугольная матрица, — нижнетреугольная матрица, nn n n n a a a a a a a a a a … … … … … … … … … 0 0 0 0 0 0 3 33 2 23 22 1 13 12 11 A nn n n n c c c c c c c c c c … … … … … … … … … 3 2 1 33 32 31 22 21 11 0 0 0 0 0 0 C 6) Трансвекция – треугольная матрица, отличающаяся от единичной матрицы только одним ненулевым элементом выше или ниже главной диагонали. Например: t 23 ( λ)= ( 1 0 0 0 0 0 1 λ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ) 7) Прямоугольную матрицу размера m n будем называть трапециевидной , если все ее элементы ниже главной диагонали равны нулю, т.е. если она имеет вид: mn mm n m n m n m a a a a a a a a a a a a a a … … … … … … … … … … … … … … … 0 0 0 0 0 0 3 3 33 2 2 23 22 1 1 13 12 11 A 8) Прямоугольная матрица размера m n называется лестничной , если все каждая ее строчка либо является нулевой, либо содержит в своем начале строго больше нулевых элементов, чем предыдущая. Например: t 23 ( λ)= ( 0 a 12 a 13 a 14 a 15 0 0 a 23 a 24 a 25 0 0 0 0 a 35 ) 2. Линейные операции над матрицами 1) Умножение матрицы на число; 2) Сложение матриц. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Произведением матрицы A=(a ij ) на число называется такая матрица B=(b ij ), элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы A на число , т.е. b ij = ·a ij Обозначают: ·A, A. Частный случай: (-1)·A – противоположная матрице A, Обозначение противоположной матрицы –A. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Суммой двух матриц A=(a ij ) и B=(b ij ) одинакового размера, называется такая матрица C=(c ij ), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и B, т.е. c ij = a ij + b ij Обозначают: A+B Частный случай: A+(–B) – разность матриц A и B. Обозначают: A–B Свойства линейных операции над матрицами 1) A + B = B + A (коммутативность сложения матриц); 2) (A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность сложения матриц); 3) A + O = A; 4) A + (–A) = O; 5) (A) = ( )A (квазиассоциативность относительно умножения чисел) ; 6) ( + )A = A + A (дистрибутивность умножения на матрицу относительно сложения чисел); 7) (A + B) = A + B (дистрибутивность умножения на число относительно сложения матриц); 8) 1 A = A. 3. Нелинейные операции над матрицами 1) Умножение двух матриц; 2) Транспонирование матрицы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a 1i ) и B=(b i1 ) – матрица- строка и матрица-столбец одинаковой длины n. Произведением матрицы-строки A на матрицу- столбец B называется число c, равное сумме произведений их соответствующих элементов, т.е. c a 11 · b 11 + a 12 · b 21 + a 13 · b 31 + … + a 1n · b n1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A=(a ij ) – матрица размера m n, B=(b ij ) – матрица размера n k (т.е. количество столбцов в матрице A совпадает с количеством строк матрицы B). Произведением матрицы A на матрицу B называется матрица C =(c ij ) размера m k такая, что каждый ее элемент c ij является произведением i-й строки матрицы A на j-й столбец матрицы B, т.е. c ij a i1 · b 1j + a i2 · b 2j + a i3 · b 3j + … + a in · b nj Обозначают: A ·B, AB. Свойства операции умножения матриц 1) AE = EA = A , AO = OA = O; 2) (AB)C = A(BC) (ассоциативность умножения матриц) ; 3) (A + B)C = AC + BC ; 4) C(A + B) = CA + CB . 5) AB ≠ BA – дистрибутивность умножения матриц относительно сложения матриц ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть A – матрица размера m n. Матрица размера n m, полученная из A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной к A и обозначается A Т . Операция нахождения матрицы A Т называется транспонированием матрицы A. Свойства операции транспонирования матриц 1) (A Т ) T = A ; 2) (A + B) T = A T + B T ; 3) (αA) T = αA T ; 4) (A · B) T = B T · A T Элементарными преобразованиями матрицы называются преобразования следующего вида: 1) прибавление к i-й строке (столбцу) k-й строки (столбца), умноженной на число 0; 2) перестановка i-й и k-й строки (столбца); 3) умножение строки (столбца) на число 0; Матрица B называется эквивалентной матрице A , если она может быть получена из A элементарными преобразованиями. Обозначают: A B. Лемма. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы равносильны ее умножению слева (справа) на матрицу вида: 1) прибавление к i-й строке (столбцу) k-й строки (столбца), умноженной на число 0; - умножение на трансвекцию с элементом на месте (ik) 2) перестановка i-й и k-й строки (столбца); - умножение на мономиальную матрицу с единицами на главной диагонали, за исключением i-той и k-той строк, а также единицами на местах (ik) и (ki) 3) умножение k-й строки (столбца) на число 0; - умножение на диагональную матрицу с элементом на месте (kk) и единицами на остальной диагонали. Лемма. Любую матрицу можно привести элементарными преобразованиями 1-го типа только строк (или только столбцов) к лестничному виду. Следствие. Любую матрицу можно представить в виде произведения (нескольких) трансвекций и лестничной матрицы. §2. Определители §2. Определители 1. Вспомогательные определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть n – натуральное число. Факториалом числа n (обозначают: n!) называют произведение натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е. n!= 1·2·3·…·n. Кроме того, факториал числа 0 полагают равным 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расположение n различных чисел в любом порядке называется перестановкой этих чисел. Пусть дана некоторая перестановка n различных чисел α 1 , α 2 , …, α i , …, α k , …, α n Говорят, что два числа α i и α k образуют инверсию в перестановке, если большее число стоит левее меньшего, т.е. если α i > α k Количество пар, образующих инверсию в перестановке, называется числом инверсий в перестановке . 2. Определение определителя Пусть A=(a ij ) – квадратная матрица порядка n. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем матрицы A ( определителем порядка n ) называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, удовлетворяющих следующим условиям: 1) каждое слагаемое есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; 2) слагаемое берется со знаком «плюс», если число инверсий в перестановке первых индексов сомножителей и число инверсий в перестановке вторых индексов сомножителей в сумме дают четное число. В противном случае слагаемое берется со знаком «минус». Определитель матрицы A обозначают |A| , det A или nn n n n n a a a a a a a a a … … … … … … … 2 1 2 22 21 1 12 11 Элементы, строки, столбцы матрицы называются соответственно элементами, строками, столбцами определителя матрицы. Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме шести произведений. Со знаком «плюс» берутся произведение элементов главной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком «минус» берутся произведение элементов побочной диагонали и произведения элементов, стоящих в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали. Т.е. 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a = 21 a 22 a 23 a – 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 3. Свойства определителей 1) При транспонировании матрицы ее определитель не меняется. 2) При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак. 3) Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно выносить за знак определителя. 4) Если все элементы k-й строки определителя |A| являются суммами двух элементов, то определитель равен сумме двух определителей |A 1 | и |A 2 |, у которых все строки кроме k-й совпадают со строками определителя |A|, а k-я строка в определителе |A 1 | состоит из первых слагаемых, а в определителе |A 2 | – из вторых слагаемых. 5) Определитель равен нулю если: а) он имеет строку (столбец), состоящую из нулей; б) он имеет хотя бы две одинаковые строки (столбца); в) он имеет хотя бы две пропорциональные (т.е. отличающиеся множителем) строки (столбца); г) хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов). Доказать самостоятельно Замечание. i-ю строку (i-й столбец) определителя |A| называют линейной комбинацией его строк (столбцов) i 1 ,i 2 ,…,i k с коэффициентами λ 1 ,λ 2 ,…,λ k , если каждый элемент i-й строки (столбца) является линейной комбинацией соответствующих элементов строк (столбцов) i 1 ,i 2 ,…,i k с коэффициентами λ 1 ,λ 2 ,…,λ k . Т.е. j i k j i j i ij k a a a a … 2 1 2 1 , n j , 1 ( k ji k ji ji ji a a a a … 2 1 2 1 , n j , 1 ) 6) Критерий равенства нулю определителя Определитель равен нулю хотя бы одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов). 7) Определитель не изменится, если к каждому элементу i-й строки (столбца) прибавить соответствующий элемент k-й строки (столбца), умноженный на число α 0. Доказать самостоятельно 8) Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали. 9) Если A и B – квадратные матрицы порядка n , то существует AB и BA, причем |AB|=|BA|=|A|·|B|. 4. Теорема Лапласа и ее следствие Пусть A = (a ij ) – матрица размера m×n. Выберем в A произвольно k строк: i 1 , i 2 , …, i k и k столбцов: j 1 , j 2 , …, j k Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов составим определитель M k : Определитель M k называют минором k-го порядка матрицы A Частные случаи: а) любой элемент матрицы – минор первого порядка; б) определитель квадратной матрицы порядка n – ее минор порядка n. k k k k k k j i j i j i j i j i j i j i j i j i k a a a a a a a a a M … … … … … … … 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 Пусть A = (a ij ) – квадратная матрица порядка n. Выберем в A минор M k (строки: i 1 , …, i k , столбцы: j 1 , …, j k ). Вычеркнем из матрицы A строки и столбцы, из элементов которых состоит минор M k Определитель M k* , составленный из оставшихся элементов матрицы A, называется дополнительным минором к минору M k Число называется алгебраическим дополнением минора M k Частный случай: дополнительный минор элемента a ij (его обозначают M ij ) – это определитель порядка n – 1, полученный из определителя |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Алгебраическое дополнение элемента a ij (его обозначают A ij ) – это произведение (–1) i+j · M ij * 2 1 2 1 ) 1 ( k j j j i i i k M A k k … … ТЕОРЕМА (Лапласа). Пусть в определителе порядка n выбрано k строк (столбцов) (где 1 k n–1). Тогда определитель равен сумме произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения. СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Лапласа). Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. |A|=a i1 A i1 +a i2 A i2 +…+a in A in (3) |A|=a 1j A 1j +a 2j A 2j +…+a nj A nj (4) СЛЕДСТВИЕ 2 (теоремы Лапласа). Сумма произведений элементов i-й строки (столбца) определителя на алгебраический дополнения соответствующих элементов k-й строки (столбца) этого определителя равна нулю. Т.е. a i1 A k1 +a i2 A k2 +…+a in A kn =0 (5) a 1j A 1k +a 2j A 2k +…+a nj A nk =0 (6) Обратная матрица Обратной к матрице A называется матрица, обозначаемая A -1 , такая, что A·A -1 =A -1 · A=E. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ 1) Если матрица A имеет обратную, то A и A -1 – квадратные одного порядка. 2) Если обратная матрица существует, то она единственная. 3) Если матрица A имеет обратную, то определитель матрицы A отличен от нуля. 4) (AB) -1 =B -1 A -1 Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной ТЕОРЕМА 3. Пусть A – квадратная матрица. Матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель |A| отличен от нуля. Причем обратная матрица A -1 может быть найдена по формуле: T S A A 1 1 где S – матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы A, т.е. nn n n n n A A A A A A A A A … … … … … … … 2 1 2 22 21 1 12 11 S Матрица S T называется союзной (или присоединенной, или взаимной) для матрицы A. § 3. Ранг матрицы § 3. Ранг матрицы Пусть A = (a ij ) – матрица размера m×n. Выпишем все миноры матрицы A порядка 1,2,3,…,t (где t = min{m,n}): ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минор M k матрицы A называется ее ба- зисным минором , если он отличен от нуля, а все миноры матрицы A более высокого порядка k+1, k+2,…, t равны нулю. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы A называется порядок ее базисного минора. Обозначают: r(A) или rang(A). , , , ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 M M M , , , ) 3 ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 ( 2 M M M , , , ) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( t t t M M M Методы нахождения ранга матрицы 1) Метод окаймляющих миноров. Пусть M s – минор порядка s. Окаймляющим минором для минора M s называется любой минор порядка s+1, содержащий минор M s ТЕОРЕМА 1. Если в матрице A есть минор k-го порядка отличный от нуля, а все окаймляющие его миноры равны нулю, то ранг матрицы A равен k . Найти ранг матрицы можно по следующей схеме (метод окаймляющих миноров): 1) находим в матрице минор M k порядка k, отличный от нуля (где k 1); 2) ищем его окаймляющий минор M k+1 отличный от нуля. Если такого минора не существует, то ранг матрицы равен k. Если окаймляющий минор M k+1 0, то рассматриваем окаймляющие миноры для M k+1 и т.д. ТЕОРЕМА 2. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, т. е. эквивалентные матрицы имеют равные ранги. Найти ранг матрицы можно по следующей схеме (метод элементарных преобразований): 1)с помощью элементарных преобразований строк получаем для матрицы A эквивалентную ей треугольную или (в общем случае) лестничную матрицу B; 2)число ненулевых строк в матрице B равно рангу матрицы, так именно из элементов этих строк составляется базисный минор. § 4. Системы линейных уравнений § 4. Системы линейных уравнений 1. Основные понятия Уравнение называется линейным , если оно содержит неизвестные только в первой степени и не содержит произведений неизвестных, т.е. если оно имеет вид a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n = b , где a i ,b – числа. a i называются коэффициентами уравнения , b называется свободным членом Если b = 0, то уравнение называется однородным . В противном случае уравнение называется неоднородным Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида (1) , , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ … … Обозначим через A и A* следующие матрицы: mn m m n n a a a a a a a a a … … … … … … … 2 1 2 22 21 1 12 11 A Матрицу A называют основной матрицей системы (1), матрицу A* – расширенной матрицей системы (1). Пусть X – матрица-столбец неизвестных, B – матрица-столбец свободных членов, т.е. m mn m m n n b a a a b a a a b a a a … … … … … … … … 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 * A n x x x … 2 1 X m b b b … 2 1 B Тогда систему (1) можно записать в виде матричного уравнения AX=B. Его называют матричной формой системы (1). Упорядоченный набор чисел c 1 ,c 2 ,…,c n называется решением системы (1), если он обращает в верное равенство каждое уравнение системы. Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной . Система линейных уравнений, не имеющая решений, называется несовместной Система, имеющая единственное решение, называется определенной . Система, имеющая множество решений, называется неопределенной ТЕОРЕМА 1 (Кронекера – Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы, т.е. r(A) = r(A*). ТЕОРЕМА 2 (критерий единственности решения). Система линейных уравнений (1) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы и равен числу переменных, т.е. r(A) = r(A*) = n. 2. Методы решения систем линейных уравнений Матричный метод. Нахождение решения по формуле X=A -1 · B называют матричным методом решения системы. Метод Крамера ТЕОРЕМА 4 (Крамера). Если в системе линейных уравнений число уравнений m и число неизвестных n совпадает и |A| 0, то система совместна и имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам ) 4 ( ) , 2 , 1 ( n i D D x i i … где D=|A|, а D i – определитель, получаемый из определителя D заменой его i-го столбца на столбец свободных членов. Формулы (4) называются формулами Крамера Метод Гаусса (метод исключения неизвестных) Две системы называются эквивалентными ( равносильными ) если их решения совпадают. К эквивалентной системе можно перейти с помощью элементарных преобразований системы. Смысл метода Гаусса — привести матрицу системы элементарными преобразованиями к лестничному виду Суть метод Гаусса: а)из всех уравнений системы кроме первого исключается неизвестное x 1 ; б) из всех уравнений системы кроме первого и второго исключается неизвестное x 2 ; в) из всех уравнений системы кроме первого, второго и третьего исключается неизвестное x 3 и т.д. В результате система будет приведена к одному из следующих двух видов. 1) Первый возможный вид: ) 5 ( , , , , 1 , 1 1 1 , 1 2 2 1 1 , 2 2 22 1 1 1 1 , 1 2 12 1 11 n n nn n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x … … … … … … … … … Тогда ) * ( ) ( A A r r n , где A и * A – основная и расширенная матрицы системы (5). Следовательно, система (5) (а значит и исходная система) совместна и имеет единственное решение. Находим решение: а) из последнего уравнения системы (5): nn n n x б) из предпоследнего уравнения системы (5): nn n n n n n n n n n n n n n x x , 1 1 1 , 1 , 1 1 1 , 1 1 1 1 и т.д. получим последовательно x n-2 , x n-3 , … , x 1 2) Второй возможный вид ) 6 ( , , 2 2 2 2 22 1 1 1 2 12 1 11 r n rn r rr n n r r n n r r x x x x x x x x x … … … … … … … … … … … … … … Тогда ) * ( ) ( A A r r r n где A и * A – основная и расширенная матрицы системы (6). Следовательно, система (6) (а значит и исходная система) совместна и имеет множество решений. Находим решение: а) Выберем в матрице A базисный минор. Переменные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, назовем зависимыми . Остальные переменные назовем независимыми (или свободными ). Пусть, например, x 1 ,x 2 , …, x r – зависимые, x r+1 ,x r+2 , …, x n – свободные. б) Перепишем систему (6) в следующем виде: ) 7 ( 1 1 , 2 1 1 , 2 2 2 2 22 1 1 1 , 1 1 1 2 12 1 11 n rn r r r r r rr n n r r r r n n r r r r x x x x x x x x x x x x … … … … … … … … … … … … … … … … Выразим зависимые переменные через свободные: ) 8 ( ) , , , ( ) , , , ( 2 1 2 1 1 1 n r r r r n r r x x x f x x x x f x … … … … … … … … … … … … … Система (8), в которой зависимые переменные выражены через свободные, называется общим решением системы (6) (а значит и исходной системы). Придавая свободным переменным в общем решении конкретные значения, мы можем записать бесконечно много решений системы. §5. Системы линейных однородных §5. Системы линейных однородных уравнений уравнений Рассмотрим систему m линейных однородных уравнений с n неизвестными, т.е. систему вида ) 1 ( 0 , 0 , 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ … … Решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 называют нулевым ( тривиальным ). Пусть а) m = n и |A| = 0 или б) m < n . Тогда r(A) нетривиальные решения) Пусть c 1 ,c 2 , …, c n и d 1 ,d 2 , …, d n – два решения системы линейных уравнений (1), α,β– числа. Линейной комбинацией этих решений с коэффициентами α и β будем называть упорядоченную последовательность n чисел вида αc 1 + βd 1 , αc 2 + βd 2 , …, αc n + βd n ТЕОРЕМА 1. Линейная комбинация конечного числа решений системы линейных однородных уравнений тоже является решением этой системы. ТЕОРЕМА 2. Пусть r – ранг матрицы системы (1). Если система имеет нетривиальные решения, то найдутся n-r решений таких, что любое другое ее решение будет их линейной комбинацией. Решения, о которых идет речь в теореме 2, называются фундаментальной системой решений АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ФСР: 1) находим общее решение системы; 2) записываем любой отличный от нуля определитель Δ , порядка n – r; 3) записываем n – r решений системы, беря в качестве значений для свободных неизвестных элементы строк определителя Δ. Полученные таким образом n–r решений будут являться фундаментальной системой решений системы. Пусть дана некоторая система линейных неоднородных уравнений, имеющая множество решений: ) 2 ( , , 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ … … Систему линейных однородных уравнений вида ) 3 ( 0 , 0 , 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a … ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ … … называют соответствующей системе ( 2 ). ТЕОРЕМА 3. Пусть c 1 ,c 2 , …, c n – какое-нибудь решение системы ( 2 ). Любое другое решение системы ( 2 ) может быть записано как сумма решения c 1 ,c 2 , …, c n и некоторого решения системы ( 3 ). Иначе говоря, справедливо равенство: X = α 1 C 1 + α 2 C 2 + … + α n-r C n-r + C, ( 4 ) где X – матрица-столбец неизвестных, C 1 ,C 2 , …, C n-r – матрицы-столбцы, элементами кото- рых служат решения из фср системы ( 3 ), C – матрица-столбец, элементами которой является решение c 1 ,c 2 , …, c n . |