Сборник задач по высшей алгебре. М наука, 1977. 288 с. Проскуряков ив. Сборник задач по линейной алгебре. М наука, 1984. 336 с
 Скачать 0.8 Mb.
|
|
5. АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ Понятия) многочлен от x; степень многочлена 2) равенство многочленов 3) сумма и произведение многочленов 4) делимость 5) НОД многочленов 6) приводимые и неприводимые многочлены 7) взаимно простые многочлены 8) корень многочлена 9) кратный корень. Факты) теорема о делении многочлена с остатком 2) теорема о НОД в алгоритме Евклида 3) представление НОД многочленов в виде их комбинации 4) свойства делимости многочленов 5) теорема о разложении на неприводимые множители 6) теорема Безу; 7) делимость на x-c ; 8) признак кратности корня 9) теорема о существовании корня многочлена над полем комплексных чисел (без доказательства 10) разложение многочленов в произведение неприводимых множителей над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел 41 11) формулы Виета и Лагранжа. Многочлен ) (x f степени n над полем P определяется как выражение вида n n n n a x a x a x a 1 1 1 0 . Здесь 0 - коэффициенты из некоторого числового поля P, 0 0 a , n - целое неотрицательное число, x - переменная, причем, 0 x отожествляют с единицей. Число 0 также является многочленом, но степень его не определена. Над многочленами выполняют действия сложения, вычитания, умножения по правилам, известным из средней школы. Относительно этих действий множество ] [x P всех многочленов над полем P образует кольцо (ноне поле, ибо операция деления в ] [x P выполняется не всегда, даже если речь идет не о делении на 0 ). Однако, в кольце ] [x P выполнимо деление с остатком для произвольного многочлена и ненулевого многочлена g x существует единственная пара многочленов x q - частное и x r - остаток, таких, что f x g x q x r и при 0 x r степень r меньше степени Если x q x g x f , то говорят, что x f делится на x g . Процедуру деления с остатком выполняют в обычной форме. Пример 1. Разделить с остатком многочлен 1 2 3 4 x x x x f на многочлен 2 2 x x g Получим 2 2 2 x x x q , 3 3 Деление с остатком используют при решении задачи о нахождении наибольшего общего делителя многочленов x f и x g - НОД )) ( ), ( ( x g x f Точнее, применяется алгоритм последовательного деления, известный под названием алгоритм Евклида ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 1 1 1 x r x q x r x r x r q x r x g x r x q x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 Здесь ) (x r k НОД )) ( ), ( ( x g x f Пример 2. Найти наибольший общий делитель многочленов 2 5 3 2 3 ) ( , 3 6 5 3 2 ) ( 2 3 4 2 3 Чтобы избежать дробных коэффициентов (а НОД находится с точностью до постоянного ненулевого множителя, умножим ) (x f на 3: x x x x x x x x x x x x x x x x x 4 3 4 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 3 1 2 4 3 3 42 6 9 15 3 18 9 3 2 3 5 2 6 4 6 10 4 2 13 9 13 22 9 5 4 3 2 4 3 2 5 4 3 2 4 3 Умножим полученную разность на 3 и продолжим деление. При этом, конечно, частное исказится, но остаток определяется с точностью до множителя нулевой степени. 39 27 39 66 27 3 2 3 5 2 39 26 39 65 26 13 1 4 3 2 4 3 2 4 3 2 Предлагаем самим убедится, что ) (x g делится на ) (x r без остатка. Получили, что НОД 1 )) ( ), ( ( 3 x x x g x f Алгоритм Евклида позволяет решать важную для приложений задачу о нахождении для многочленов ) (x f и ) (x g таких многочленов ) (x u и ) (x v , что ) ( ) ( ) ( ) ( x v x g x u x f НОД )) ( ), ( ( x g x f (Для взаимно простых многочленов последнее соотношение принимает вид 1 ) ( ) ( ) ( ) ( x v x g x u x f и является критерием взаимной простоты ) (x f и ) (x g ). При этом из цепочки равенств, кроме последнего, полученных применением к многочленами алгоритма Евклида, следует последовательно исключить ) ( ),..., ( ), ( 2 1 x r x r x r k k , выразив ) (x r k через ) (x f и ) (x g с многочленными коэффициентами ) (x u и Понятно, что при решении этой задачи деление с остатком следует выполнять, не пренебрегая множителями нулевой степени. Пример 3. Для многочленов 1 ) ( 2 3 4 x x x x x f и 1 2 3 4 ) ( 2 найти многочлены ) (x u и ) (x v такие, что ) ( ) ( ) ( ) ( x v x g x u x f НОД )) ( ), ( ( x g x f Предлагаем самостоятельно применить к данным многочленам алгоритм Евклида и убедиться в том, что 3 2 16 5 16 1 4 1 ) ( ) ( 2 x x x x g x f , 16 16 5 64 3 2 16 Здесь 16 5 64 ) ( , 16 1 4 1 ) ( , 16 ) ( , 3 2 16 5 ) ( 1 Понятно, что ) (x r делится на число 16, поэтому НОД( ) ( )) ( ), ( 1 x r x g x f ). Итак, из соотношений 16 16 5 64 ) ( ) ( ), ( 16 1 4 нам надо исключить ) (x r . В итоге получим 16 5 16 5 16 ) ( 16 В случае необходимости, последнее равенство можно разделить на 16. Число a называется корнем многочлена ) (x f , если 0 ) ( a f . Критерием того, что a есть корень многочлена, является делимость ) (x f на ) ( a x (без остатка. 43 Этот критерий легко доказать на основании теоремы Безу: остаток отделения многочлена ) (x f на c x равен Сформулированный критерий позволяет дать определение кратного корня. Число a является корнем многочлена ) (x f кратности N k k , если ) (x f делится на k a x ) ( и ) (x f не делится на 1 ) ( k a x . Известно, что если a является корнем многочлена ) (x f кратности k , то для производной a x f ) ( является корнем кратности Деление многочлена ) (x f на бином c x удобно проводить с помощью схемы Горнера, которая основана на рекуррентных соотношениях 1 1 0 0 0 1 ,..., , , 1 ,..., 1 , n k k k b b b a b n k a cb b - коэффициенты частного, а n n a cb r 1 - остаток. Схема Горнера состоит из двух строк. Впервой располагаются коэффициенты многочлена ) (x f , а вторая заполняется последовательно коэффициентами частного ) (x q и остатком r (иногда впереди еще ставят значение c). Пример 4. Разделить по схеме Горнера многочлен 11 5 3 2 ) ( 2 3 5 x x x x x f на 2 1 x 1 0 2 3 5 11 1 2 1 1 2 7 4 31 8 111 10 463 Таким образом, 32 463 , 16 111 8 31 4 7 2 1 ) ( 2 Из сказанного выше вытекает, что число 1 2 не является корнем многочлена Более того, f ( ) 1 2 463 Схема Горнера позволяет многочлен ) (x f , записанный по убыванию степени x, разложить по степеням бинома c x , а также определить кратность корня. Пример 5. Найти корни многочлена 7 20 18 4 ) ( 2 кратности выше первой и определить эту кратность. Поскольку корни кратности больше 1 являются и корнями производной, то найдем ). 5 9 3 ( 4 ) ( 2 3 x x x x f Нетрудно заметить, что число 1 является корнем многочлена ) ( x f . Проверим является ли 1 корнем многочлена ) (x f и если да, то какой кратности. Для этого делим на 1 x многочлен ) (x f , потом частное и т.д. Итак, ) 7 ( ) 1 ( ) ( 3 x x x f , те. число 1 есть корень многочлена кратности 3. 1 4 -18 20 -7 1 1 5 -13 7 0 1 1 6 -7 0 1 1 7 0 1 1 8 ≠ 0 44 Находить рациональные корни многочлена с целочисленными коэффициентами поможет следующий факт если несократимая дробь p q является корнем такого многочлена, то p является делителем свободного члена, а q - делителем старшего коэффициента. Пример 6. Разложить многочлен 1 2 3 ) ( 2 3 5 x x x x x f по степеням двучлена Речь идет о представлении данного многочлена в виде 0 1 4 4 5 5 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( c x c x c x c x f Известно, что ), 1 ( , 5 ,..., 1 , ! ) 1 ( 0 ) ( f c i i f c i i но коэффициенты ,... , 1 0 c c удобно находить, вычисляя последовательно остатки отделения на 1 x , полученного частного на 1 x , нового частного на 1 x и т.д. Таким образом, 2 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( 7 ) 1 ( 5 ) 1 ( ) ( 2 3 4 Заметим, что ! 5 ) 1 ( 1 , ! 4 ) 1 ( 5 , ! 3 ) 1 ( 7 , ! 2 ) 1 ( 2 , ! 1 ) 1 ( 4 ), 1 ( 2 V IV f f f f f f , откуда легко найти значение ) (x f и всех его производных при В первом индивидуальном задании нужно было построить многочлен степени, не превышающей 4, по его значениям в пяти точках. Интерполяционная формула Лагранжа позволяет сразу вычислить многочлен ) (x f степени n , если известно, что i i c f ) ( при 1 ,..., 2 , 1 n i . А именно 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Пример 7. Построить многочлен ) (x f четвертой степени такой, что Согласно формуле Лагранжа, f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( 1 1 1 2 3 0 1 0 2 0 2 0 3 0 0 1 2 3 1 0 1 1 1 2 1 3 8 0 1 2 3 1 0 1 1 1 3 17 0 1 1 3 2 0 2 1 2 1 2 3 136 0 1 1 2 3 0 3 1 3 1)( ) 3 2 1 0 -3 1 -2 1 1 1 1 -2 -1 -3 -2 1 1 2 0 -1 -4 1 1 3 3 2 1 1 4 7 1 1 5 1 1 45 После упрощения будем иметь 1 4 3 ) ( 3 Если ) (x f , 0 ) ( x g - некоторые многочлены над полем P , то рациональная дробь над этим полем определяется как отношение f x g x ( ) ( ) . Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя ) (x f меньше степени знаменателя, а среди правильных дробей выделяют простейшие или элементарные. Элементарные дроби имеют вид ) ( ) ( x p x f k , где ) (x p - неприводимый над полем P многочлен (те. многочлен, который нельзя представить в виде произведения двух многочленов над полем P степени меньшей, чем степень многочлена ) (x p ), 1 k и степень меньше степени Известно, что всякая правильная рациональная дробь однозначно разлагается в сумму простейших. Пример 8. Разложить в сумму простейших над полем действительных чисел рациональную дробь 1 1 1 2 2 ( ) (Знаменатель данной дроби разложен в произведение неприводимых многочленов над полем R 1 x и 2 x . Решим задачу методом неопределенных коэффициентов, основываясь на том, что знаменателями простейших дробей могут быть многочлены ) 1 ( , ) 1 ( , 1 2 2 x x x : 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) (Здесь D C B A , , , - неизвестные коэффициенты числителей элементарных дробей. Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители обеих частей, будем иметь 2 Значение неизвестных коэффициентов можно найти из системы линейных уравнений, которую получим, дав неизвестному x четыре значения. Например, положив последовательно будем иметь 2 5 5 1 , 4 4 2 4 1 , 1 , 2 1 D C B A D C B A D B A B Откуда 2 1 , 0 , 2 1 , 2 1 A D C B , те. 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 ( ) (Контрольные вопросы 1. Существует ли многочлен третьей степени с действительными коэффициентами, все корни которого мнимые 2. Существует ли многочлен й степени с действительными коэффициентами, имеющий трехкратный корень i+2 ? 3. Существует ли многочлен й степени с действительными коэффициентами, имеющий корни i+1, i+2, i+3 ? 4. Существует ли многочлен й степени с действительными коэффициентами, |