Сборник задач по высшей алгебре. М наука, 1977. 288 с. Проскуряков ив. Сборник задач по линейной алгебре. М наука, 1984. 336 с
 Скачать 0.8 Mb.
|
|
a, b, c, d. Как изменится определитель матрицы А , если ее столбцы заменить на указанные ниже столбцы Ответ обосновать. (a) (b) (c) 1) a + b , b, c, d; a, a+2b , c ,d ; -b ,a ,c ,d ; 2) 2a +3b , c ,d ; a , a+2b , c , d ; a + b , b + d , c , d +a 3) a + b , b + c ,c + a , 2a+d , b , c , d , a ,c , -b , d ; 4) a ,2b-c , c , d ; a ,b ,2b - c a ,b ,2b - c , d ; 5) a ,2b - 3c , c , d ; a, b , 2b -3c , d ; a - b , b - d , c , d - a ; 6) a - b , b - c , c - a , d ; a , 3b + c , c , d ; a , b , 3b + c , d ; 7) a , b - 2c , c , d ; a , b , b - 2c , d ; a , -c , - d , b ; 8) a , b , 2c - 3d , d ; a , b , c , 2c -3d ; a + c , b , c + d , d +a 9) a , b + c , c + d , d + b ; a , b , c , 2c - 3d ; a , b , c , 3c - d ; 10) a , b - c , c - d , d - b ; a , b , 3c - d , d ; - b , - a , c , d ; 11) 2a + 3c , b , c , d ; a , b , 2a + 3c , d ; a - c , b , c - d , d - a ; 12) a , b - c , c - d , d -b ; a , 3b+ d , c , d ; a , b , c ; 3b + d ; 13) 2a + c , b , c ,d ; a , b 2a + c ,d ; a , b , -d , c ; 14) a , 2b + 3c , c , d ; a , b , 2b + 3c , d ; a + d , b + c , c + d ,d 15) a + b , b + c , c +d , d + a ; 3a - b , b , c ,d ; a , 3a -b , c ,d ; 22 Задача 12. Решить систему при помощи формул Крамера. 1) 2 3 3 4 1 3 3 4 4 2 3 4 4 4 0 2 2 4 5 5 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 2) 2 3 3 4 2 3 4 4 5 1 4 3 2 2 8 3 2 2 5 5 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 3) 2 2 2 3 4 4 3 2 2 3 8 5 3 4 9 3 3 2 2 1 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 4) 4 6 8 5 2 3 2 5 2 0 2 3 4 2 1 2 3 3 4 2 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 5) 4 7 7 8 1 3 6 7 7 3 3 6 6 8 2 2 4 5 5 3 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 6) 3 4 7 8 1 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 5 7 7 8 5 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 7) 3 3 2 2 0 3 2 2 3 3 2 2 3 2 5 3 2 3 3 0 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 8) 2 2 3 3 5 2 3 3 3 4 3 2 3 3 7 2 2 3 2 4 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 9) 3 3 4 4 1 6 6 3 2 0 2 2 3 3 1 6 5 3 2 2 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 10) 3 4 2 2 3 3 5 3 5 4 6 8 4 5 6 3 5 5 7 2 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 11) 2 5 4 2 1 3 3 2 2 3 2 8 9 3 4 6 6 3 4 8 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 12) 2 3 8 5 1 6 2 5 2 9 2 2 3 2 3 3 4 3 4 5 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 13) 4 3 4 3 4 3 2 3 3 2 4 3 2 3 2 3 3 3 2 4 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 14) 2 2 3 3 2 4 4 3 5 0 3 5 3 3 0 2 2 5 3 4 x y z t x y z t x y z t x y z t , , , 15) 3 4 2 3 4 6 8 7 8 6 5 7 2 3 9 3 4 3 6 Задача 13. Решить 2-3 из дополнительных задач. Дополнительные задачи и упражнения 1. Доказать, что для любого k, 0 1 2 k n n существует перестановка из n чисел, которая имеет k инверсий. 2. Как изменится определитель (nxn) - матрицы, если все её столбцы записать в обратном порядке ? 3. Доказать что кососимметрический определитель нечётного порядка равен нулю. 4. Доказать, что если (nxn) - матрица имеет больше n 2 - n нулевых элементов, то её детерминант равен нулю . 5. Как изменится детерминант (матрицы, если каждый её элемент заменить симметричным относительно второй диагонали ? 6. Все элементы главной диагонали (nxn)- матрицы равны нулю , а все остальные элементы отличны от нуля. Сколько членов, равных нулю, имеет детерминант такой матрицы ? 7. Доказать , что детерминант А квадратной матрицы го порядка с элементами 1 не превышает : а) n!; б) (n-1)(n-1)! (n 3). 8. Докажите, что разложение Лапласа по k строкам совпадает с разложением по 23 остальным n - k строкам. 9. Доказать, что произвольный детерминант равен полусумме двух детерминантов, один из которых получен изданного путем прибавления ко всем элементам какой нибудь строки числа p, а другой - путем прибавления ко всем элементам той же строки числа - p. Доказать, что если в детерминанте го порядка все миноры го порядка (k 3. АЛГЕБРА МАТРИЦ Понятия 1) произведение матриц 2) сумма матриц 3) произведение матрицы на число 4) единичная матрица 5) обратная матрица 6) элементарные матрицы. Факты) свойства операций над матрицами - коммутативность сложения - ассоциативность сложения - ассоциативность умножения - дистрибутивность умножения относительно сложения (левая и правая - дистрибутивность умножения на число относительно сложения - связь между умножением матриц и умножением их на число 2) теорема об определителе произведения матриц 3) критерий существования обратной матрицы 4) связь между элементарными преобразованиями матриц и элементарными матрицами. С матрицей ) ( ij a A - (матрица, те. матрицы, содержащие m строки столбцов, ) ( ij b B - (матрица и B A то s n p m , и n j m i b a ij ij , 1 ; , 1 , 24 Действия сложения матриц (одинаковых размеров) и умножения матриц на число обычно не вызывают затруднений. Если ) ( ), ( ij ij b B a A - ) ( n m матрицы, k - число, то Обратим внимание не только на естественность, но и на полезность таких действий. Известно, что приумножении вектора на скаляр его координаты умножаются на этот скаляра при сложении двух векторов его соответствующие координаты складываются. Взаимно однозначное соответствие, существующее между векторами и упорядоченными последовательностями их координат, позволяет сопоставить каждому вектору x матрицу-столбец его координат 3 Это соответствие не нарушается при сложении векторов и приумножении вектора на число. А вот умножение матриц, на первый взгляд, вводится не совсем естественно. Если матрица, матрица, то их произведение ) ( ij c C B A будет ) ( p m матрицей, причем n k nj in j i j i kj ik ij b a b a b a b a c 1 2 2 1 1 , Проиллюстрируем умножение матриц следующей схемой a a a a a a a a a a a a b b b b b b b b c c c c c c 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 11 12 21 22 31 32 41 42 11 12 21 22 31 Пример 1. Вычислить произведение АВ матриц A B 1 2 3 4 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 0 3 1 1 2 1 ; A B 1 2 3 4 1 2 3 2 1 2 3 2 1 4 0 3 1 1 2 1 1 1 2 2 3 0 4 1 1 2 2 1 3 3 4 2 1 3 2 4 3 1 4 1 1 1 2 2 3 0 2 1 1 2 2 1 3 3 2 2 1 3 2 4 3 1 2 1 1 21 18 3 13 Произведение же BA получить нельзя, так как число столбцов матрицы Вне равно числу строк матрицы А . Далеко идущий пример последовательного применения двух линейных преобразований координат точки ) , ( y x M на плоскости при повороте Например, 34 32 33 22 32 12 31 32 b a b a b a b a c 25 прямоугольной декартовой системы координат сначала на угол : x x y x a y a y y x x a y a cos sin cos sin , 11 12 21 22 а затем, на угол : x x y x b y b y y x x b y b cos sin cos sin 11 12 21 указывает на целесообразность данного нами определения умножения матриц. В самом деле, первому повороту системы координат соответствует матрица A a ij ( ) cos sin sin cos , второму - матрица B b ij ( ) cos sin sin Матрица C c ij ( ) , соответствующая повороту на угол , равна A B a b a b a b a b a b a b a b a b 11 11 12 21 11 12 12 21 21 11 22 21 21 12 22 Обратную матрицу можно отыскать на основании ее определения, как такую матрицу X, которая для заданной матрицы A удовлетворяет условию AX=XA=E. Для этого прийдется решить систему 2 n линейных уравнений с 2 n неизвестными, построенную на основании матричного уравнения (что, впрочем, приводит к довольно громоздким вычислениям) : a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 x x x x x x x x x n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 Следует обратить внимание на то, что необходимыми достаточным условием существования обратной матрицы для матрицы A является невырожденность, те. A должен быть отличен от 0. Существует несколько способов вычисления обратной матрицы. В учебнике доказано, что A A A 1 1 , где A - присоединенная матрица к матрице A . Если A a a a a a a a a a n n n n nn 11 12 1 21 22 2 1 2 , то 21 1 12 22 2 1 2 Здесь ij A - алгебраическое дополнение к элементу ij a матрицы A . Оно строится из определителя матрицы A вычеркиванием той строки, того столбца и берется со знаком Обратите внимание на то, что алгебраические дополнения для столбцов матрицы A становятся строками матрицы A . Пример 2. Пусть A 3 2 1 2 5 3 3 4 2 , найти Так как 0 9 A , то 1 A существует. Последовательно находим 26 A A A A A A A A A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 2 13 23 0 9 18 1 7 11 , , , , , , Следовательно, A 1 1 9 2 0 1 13 9 7 23 18 11 Проверкой убеждаемся, что Обратную матрицу можно находить, обратившись к линейным преобразованиям неизвестных. А именно, квадратная матрица го порядка ) ( ij a A определяет линейное преобразование неизвестных ,... 2 , 1 ; 2 2 1 1 n i y a y a y a x n in i i i (1) С помощью метода Гаусса выражаем n y y y ,..., , 2 1 через n x x x ,..., , 2 1 , те. находим линейное преобразование неизвестных, обратное преобразованию (1). Матрица такого преобразования и будет искомой матрицей 1 A , обратной матрице A . Пример 3. Найти матрицу 1 A , обратную матрице A 1 2 3 2 1 1 3 0 Данная матрица определяет линейное преобразование неизвестных y y y x y y y x y y x 1 2 3 1 1 2 3 2 1 3 3 2 3 2 3 2 , , Обратимся к расширенной матрице, которая получается добавлением к матрице A столбца из неизвестных 3 2 1 , , x x x : 1 2 3 2 1 1 3 0 2 1 2 Применяя метод Гаусса, последовательно имеем вычитаем из второй строки расширенной матрицы ее первую строку, умноженную на 2, и из третьей строки- первую строку, умноженную на 3. Затем вычитаем из третьей строки полученной матрицы ее вторую строку, умноженную на 2. 3 2 1 1 2 1 1 3 1 2 1 2 7 0 0 7 3 0 3 2 1 3 7 6 0 7 3 0 3 Процесс закончен и мы выражаем 3 через 3 2 1 , , x x x : Отсюда. 7 1 7 2 7 1 3 1 3 1 3 1 21 5 21 4 21 2 1 A ). 2 ( 7 1 ); ( 3 1 ); 5 4 2 ( 21 1 3 2 1 3 3 2 1 2 3 2 1 1 x x x y x x x y x x x y 27 При решении матричных уравнений вида B X A или B A X , если A невырождена следует обе части уравнений в первом случае слева, а во втором - справа умножить на 1 A . В результате, мы получим B A X 1 или Пример 4. Решить матричное уравнение 1 1 1 1 3 2 2 Уравнение имеет вид B X A . Поскольку 0 1 det A то 1 A существует и равна 1 2 2 3 1 A , получим B A X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 Пример 5. Найти все матрицы Х второго порядка, удовлетворяющие уравнению 4 10 2 5 6 4 Метод описанный выше, здесь непригоден, так как матрица A 2 3 4 вырожденная. Воспользуемся методом, который всегда приводит к решению матричных уравнений. Представим матрицу Х в виде X x y x y 1 1 2 2 . Имеем 2 3 4 6 5 2 10 4 1 1 2 2 x y x y или после перемножения получим 2 3 2 3 4 6 4 6 5 2 10 4 1 2 1 2 1 2 Откуда 2 3 5 4 6 10 1 2 1 2 x x x x и 2 3 2 4 6 4 1 2 1 2 y y y y . Обе системы совместны, причем в каждой системе второе уравнение можно отбросить и считать второе неизвестное свободным. Таким образом, получаем, что R x x x 2 2 1 , 2 3 2 5 - общее решение первой системы, R y y y 2 2 1 , 2 3 1 - общее решение второй системы. Полагая 2 , 2 2 2 y x , получаем следующий вид матрицы Х, удовлетворяющий данному уравнению X 5 2 3 1 3 2 2 , где , - произвольные числа. Контрольные вопросы. 1. Верно ли, что детерминант суммы матриц равен сумме детерминантов 2. Выполняются ли для матриц соотношения a) 2 2 2 2 ) ( B AB A B A ; б) 2 2 ) )( ( B A B A B A ; в) 1 1 1 B A AB ; где. Чему равен детерминант произведения а) a b c ( ) a b c ; б) ( ) a b c a b c ? 4. Верно ли что если A, B- вырoжденные матрицы, то AB, A+B - вырoжденные матрицы 5. На какие правила действий над матрицами следует опираться при доказательстве равенства детерминанта произведения трех матриц произведению их детерминантов 6. Известно, что AB=0. Означает ли это, что A=0 или B=0 ? 7. Известно, что AB=E. Означает ли это, что BA=E ? 8. Пусть A - невырoжденная симметрическая матрица. Будет ли симметрической матрица 1 A ? 9. Является ли симметрической матрица t A A ? Образуют ли группу все ) ( n n матрицы с действительными элементами а) относительно умножения б) относительно сложения Может ли быть группой относительно умножения некоторое множество вырожденных матриц ? Задачи и упражнения [ 4, № 220, 221, 223, 224, 410, 411]; [ 5, № 790-796, 799-802, 804, 805, 808, 809, 822-825, 827-829, 836-843, 86-870]. Индивидуальные задания Задача 14. Для каждой матрицы А, В, Сиз списка матриц нас вычислить обратную матрицу. Задача 15. Пусть х- многочлен, найденный в задаче 3. Вычислить С, где С - матрица из того же списка. Задача 16. Что произойдет со строками или столбцами (х- матрицы Х приумножении ее слева (справа) на матрицу Р, а также на матрицу Т, где Р и Т матрицы из того же списка Задача 17. На какую матрицу и с какой стороны следует умножить данную х) матрицу А, чтобы в этой матрице А 1) ай и й столбцы поменялись местами б) я строка умножилась на 2? в) кой строке прибавилась я строка 2 ) а) я и я строки поменялись местами б) й столбец умножился на -2? 29 виз го столбца вычелся й столбец 3) а) я и я строки поменялись местами б) й столбец умножился на 3? в) к 1-му столбцу прибавился ой столбец 4) ай и й столбцы поменялись местами б) я строка умножилась на -3? виз й строки вычлась я строка 5) ай и й столбцы поменялись местами б) я строка умножилась на -4? в) кой строке прибавилась я строка 6) а) я и я строки поменялись местами б) я строка умножилась на -4? в) к 1-му столбцу прибавился й столбец 7) ай и й столбцы поменялись местами б) й столбец умножился на 2? виз й строки вычлась я строка 8) а) я и я строки поменялись местами б) я строка умножилась на -2? виз го столбца вычелся й столбец 9) ай и й столбцы поменялись местами ? б) я строка умножилась на 3 ? виз го столбца вычелся й столбец 10) а) я и я строки поменялись местами б) й столбец умножился на -3? виз го столбца вычелся й столбец 11) ай и й столбцы поменялись местами б) я строка умножилась на 4? визой строки вычлась я строка 12) а) я и я строки поменялись местами б) й столбец умножился на -4? в) к 3-му столбцу прибавился й столбец 13) ай и й столбцы поменялись местами б) й столбец умножился на -2? в) к й строке прибавилась я строка 14) а) я и я строки поменялись местами б) я строка умножилась на 2? виз го столбца вычелся й столбец 15) а) я и я строки поменялись местами б) я строка умножилась на -3? в) кому столбцу прибавился й столбец Задача 18. Вычислить матрицу K=B -1 H B, где B и H - матрицы из приведенного ниже списка. Вычислить затем K 100 и, пользуясь этим результатом, вычислить Задача 19. Решить уравнения B X = H и X H = H, где B и H - матрицы из приведенного ниже списка. 30 Список матриц A B C H P T 1) 2 1 0 1 1 1 0 1 3 2 1 0 1 1 1 2 1 1 2 1 0 1 1 1 0 1 1 2 5 5 1 3 3 2 5 5 4 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2) 1 1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 2 1 0 1 1 2 2 2 2 2 1 0 1 1 2 2 1 2 2 1 0 1 1 4 1 1 0 0 0 1 0 0 4 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 3) 0 1 2 1 2 3 2 3 3 0 0 1 1 0 2 2 1 0 0 0 1 2 0 2 2 1 0 3 2 1 6 4 2 4 2 1 1 0 0 0 3 0 0 0 1 1 0 0 3 1 0 0 0 1 4) 0 0 1 0 1 2 1 2 0 0 2 1 2 1 2 1 2 0 0 2 1 2 2 2 1 2 0 4 2 4 2 1 2 4 2 4 1 0 0 0 1 0 3 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 5) 1 2 0 2 0 1 0 1 0 1 2 0 2 0 1 0 1 0 2 0 2 2 0 1 0 1 0 0 0 2 2 1 3 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 4 1 0 0 0 1 6) 2 1 1 1 1 0 1 0 2 2 0 3 1 1 0 1 0 2 2 1 1 1 1 0 1 0 0 4 2 6 2 0 3 2 1 3 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 4 0 0 0 1 7) 4 3 2 3 2 1 2 1 1 3 3 2 3 2 1 1 1 1 4 4 4 4 0 1 0 3 4 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 8) 1 1 2 1 0 1 2 1 2 3 1 2 1 0 1 2 1 2 3 3 3 1 0 3 2 1 3 3 8 1 1 2 0 2 6 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 4 0 1 0 0 0 1 9) 1 0 2 0 1 2 2 2 9 1 0 2 0 1 2 2 2 7 1 0 1 0 1 1 4 3 0 1 1 0 4 3 2 6 8 4 1 0 0 0 1 0 0 3 1 1 0 0 0 2 0 0 0 1 31 Продолжение списка матриц A B C H P T 10) 0 1 1 1 1 2 1 2 2 0 1 1 1 1 2 1 2 4 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 3 3 8 6 6 1 2 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1 11) 3 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 3 1 4 1 0 1 2 1 3 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 12) 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 3 0 1 3 1 0 3 3 3 3 4 5 3 1 2 1 3 3 2 1 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 0 0 1 13) 4 4 1 4 3 1 1 1 0 4 4 1 3 4 1 1 1 0 4 4 1 3 4 1 4 4 0 4 4 0 2 2 1 1 1 0 1 0 0 0 4 0 0 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 1 14) 3 1 1 1 0 1 1 1 2 3 1 0 1 0 1 1 1 3 3 1 0 3 0 1 3 3 3 2 9 3 1 4 1 1 3 0 1 0 0 0 1 0 2 0 1 1 0 0 0 3 0 0 0 1 15) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 2 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2 0 1 3 1 2 2 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 1 0 0 1 Задача 20. Решить 2-3 из дополнительных задач. Дополнительные задачи и упражнения 1. Вычислить , , , , 72 72 72 n n Y X C B A A= 0 1 1 0 ; B= 1 1 1 0 ; C= B A 0 0 ; X= a a a 0 ; Y= a b b a 2. Найти все матрицы X такие, что а) X 2 = 1 0 0 1 ; б) X 2 = 1 0 0 1 32 3. Пусть дана матрица A= 1 1 1 1 . а) Доказать, что множество всех (матриц X таких, что XA=0, замкнуто относительно сложения и умножения. б) Найти все матрицы X такие, что 2 2 2 в) Найти все матрицы X такие, что 2 2 ) )( ( X A X A X A 4. Доказать, что если A - вырoжденная квадратная матрица го порядка, то существует бесконечное множество таких квадратных матриц B, что AB=0. 5. Пусть A и B - квадратные матрицы го порядка. Доказать, что A=B тогда и только тогда, когда AX=BX для произвольной матрицы - столбца X из n элементов. 6. Доказать, что множество матриц вида R , cos sin sin cos , образует группу относительно умножения матриц. 7. Доказать, что произвольную невырожденную матрицу можно разложить в произведение элементарных. 8. Как изменится обратная матрица 1 A , если в матрице A : а) переставить местами i-тый и j-тый столбцы б) i-тый столбец умножить на число 0 p ; в) к тому столбцу прибавить j-тый, умноженный на p ? 9. Доказать, что если оба произведения AB и BA имеют смысли- матрица, то B - (nxm) - матрица. Пусть A= 22 21 12 11 A A A A , B= 22 21 12 11 B B B B , где А , — клетки одинакового порядка. Доказать, что AB= 22 21 21 11 C C C C , где 2 1 k kj ik ij B A C . Попробуйте обобщить этот результат. |