Сборник задач по высшей алгебре. М наука, 1977. 288 с. Проскуряков ив. Сборник задач по линейной алгебре. М наука, 1984. 336 с

• Название: Сборник задач по высшей алгебре. М наука, 1977. 288 с. Проскуряков ив. Сборник задач по линейной алгебре. М наука, 1984. 336 с
• Анкор: Metodichka_po_algebre_i_geometrii_1_semestr.pdf
• Дата: 21.06.2018
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Metodichka_po_algebre_i_geometrii_1_semestr.pdf
• Тип: Сборник задач; #20542
• страница: 1 из 6

3

4 Литература
1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М. : Наука, 1975. - 432 с.
2. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. - М. : Наука, 1984. - 416 с.
3. Кострикин АИ. Введение в алгебру. - М. : Наука, 1977. - 496 с.
4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. - М Наука,
1977. - 288 с.
5. Проскуряков ИВ. Сборник задач по линейной алгебре. - М Наука, 1984. - 336 с.
6. Сборник задач по алгебре / Под ред. АИ Кострикина - М Наука, 1987. - 352 с.
7. Сушкевич А.К. Вища алгебра. Ч. - Вид-во Харк. Унту, 1964. - 436 с.
8. Костарчук В.М., Хацет Б.З. Курс вищої алгебри. - К Вища шк, 1969. - 540 с.
1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Понятия) решение системы линейных уравнений
2) эквивалентность систем линейных уравнений
3) матрица
4) элементарные преобразования матриц и систем линейных уравнений
5) однородные и неоднородные системы линейных уравнений.
6) определители го иго порядков. Факты
1) эквивалентность систем линейных уравнений, получаемых друг из друга элементарными преобразованиями
2) метод Гаусса
3) условия существования решений условия единственности решений систем линейных уравнений
4) условия существования ненулевых решений однородной системы
5) правило Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трехлинейных уравнений стремя неизвестными. Систему линейных уpавнений удобно записывать следующим обpазом:



















;
;
2 2
1 1
2 2
2 22 1
21 1
1 2
12 1
11
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
(1) Здесь коэффициенты пи неизвестных
n
x
x
x
,...,
,
2 1
обозначены одной и той же буквой с двумя индексами. Коэффициент
ij
a
стоит в м уpавнении пи неизвестном
j
x
. Единственный индекс свободного члена
i
b совпадает с номеpом уpавнения. Упорядоченый набор чисел
n
k
k
k
,
,
,
3 1

называют решением системы (1) если каждое из уравнений (1) обращается в тождество после замены н нем

5 неизвестных
j
x
соответствующими числами
n
j
k
j
,
,
2
,
1
,


. Система, имеющая хотя бы одно решение называется совместной, не имеющая решений - несовместной. Если решений более одного, то систему называют неопределенной, если ровно одно, систему называют определенной. Метод Гаусса (или же метод последовательного исключения неизвестных) позволяет пpивести пpоизвольную систему линейных уpавнений с n неизвестными к ступенчатому виду. Преобразования, которые при этом необходимо произвести, включают в себя перестановку двух уравнений, умножение одного из уравнений на ненулевое число, прибавление к одному из уравнений другого, умноженного на число (элементарные преобразования. Пи пpактическом pешении систем удобно пользоваться табличной матичной) записью системы (1):














m
mn
m
m
n
n
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1
2 1
2 22 21 1
12 11
(2)
Cледует выписать матрицу коэффициентов при неизвестных системы, присоединить к ней столбец из свободных членов, для удобства отделенный вертикальной чертой, и все преобразования выполнять над строками этой расширенной матрицы.
Пример 1. Решить систему
2 1
4 2
2 Подвергнем преобразованиям расширенную матрицу этой системы - сначала первую строку, умноженную на 2, вычтем из второй, а к третьей строке прибавим первую. Затем, новую вторую строку, умноженную на 3, прибавим к третьей
2 1 1 4 1 0 2 2 1 1
2 7
2 1 1 0 1 2
0 3 2 1
4 8
2 1 1 0 1 2
0 0 4
1 4
4















 








 





















. Приходим к системе















,
4 4
,
4 2
,
1 обладающей единственным решением
1
;
2
;
1




x
y
z
Исходная система оказалась совместной, определенной. Пример 2. Решить систему
2 2
3 3
2 2
3 3
4 3
4 3
4 3
4 6
3 Преобразуем расширенную матрицу системы. Для этого мы вначале из второй строки вычтем первую, из третьей - удвоенную первую, а из третьей - утроенную первую. Затем полученную вторую строку прибавим к третьей и, умножив на 5, прибавим к четвертой строке. Наконец, новую третью строку, умножив на 3, вычтем из четвертой строки.

6 2 2 3 3 2 3 3 4 4 3 4 3 6 1 3 2
2 3
4 3
2 2 3 3 0 1 0 1 0 1 2
3 0
5 6 11 2
1 0
3 2 2 3 3 0 1 0 1 0 0 2
2 0 0 6
6 2
1 1
2 2 2 3 3 0 1 0 1 0 0 2
2 0 0 0 0 2
1 Мы пришли к системе, содержащей уравнение
1 0
0 0
0





t
z
y
x
, не имеющее решений. Исходная система будет, следовательно, несовместной. Пример 3. Решить систему :
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

  


 















1 2
0 4
3 2
7 Преобразуем расширенную матрицу системы
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 3 1 1 7 5 1
0 2
3 1 1 1 1 0 0 3
2 0 0 3 2 0 0 6 4 1
1 1
2 1 1 1 1 0 0 3
2 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 Последней матрице соответствует система линейных уравнений ступенчатого вида
x
y
z
t
z
t

  


 



1 3
2 1
,
Эта система совместна ипритом неопределена. Из последнего уравнения полученной системы выражаем
z
через
t
:
z
t


1 2 3
и подставляем в первое уравнение, в результате чего будем иметь
x
y
t



1 3
=1, откуда
x
y
t



2 3 3
. Получили выражения неизвестных x и
z
через так называемые свободные неизвестные
y
и t :
x
y
t
z
t





2 3
1 3
1 3
2 3
;
, где y и t - любые числа. Эти равенства называют общим решением системы. Давая свободным неизвестным произвольные значения в общем решении, мы получим все решения неопределенной системы. Например, прибудем иметь
1
;
1




z
x
, те. получим частное решение
2
;
1
;
1
;
1






t
z
y
x
или


2
;
1
;
1
;
1 К опpеделителю (детеpминанту) го поpядка пpиходим, pешая систему
a x
a x
b
a x
a x
b
11 1
12 2
1 21 1
22 2
2







,
Обозначим
 


a
a
a
a
a a
a a
11 12 21 22 11 22 21 12
- определитель данной системы. Правило Крамера в случае, если
  0
даёт единственное решение системы в виде
x
x
1 1
2 2






,
, где


1 1
12 2
22 2
11 1
22 Аналогично вводится опpеделитель го поpядка:

7
 






a
a
a
a
a
a
a
a
a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32
Пpавило Кpамеpа дает единственное pешение системы
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
a x
a x
a x
b
11 1
12 2
13 3
1 21 1
22 2
23 3
2 31 1
32 2
33 в случае, если











0 1
1 2
2 3
3
:
,
,
x
x
x
. Здесь

i
( i =1,2,3) получается из заменой i го столбца столбцом свободных членов.
Пpимеp 4. Решить систему уравнений с паpаметpом a :
ax
y
x
ay







1 Определитель данной системы линейных уравнений
a
a
1 1
=
a
a
a
2 1
1 обращается в нуль только при a=1 и при a= -1, поэтому при всех других значениях параметра a решение будет единственно и может быть получено по правилу
Крамера:

x
a
a



1 1 1
1
,

y
a
a



1 1 1 1
,
x
y
a
a
a
a







1 1
1 Если a=1, то имеем систему из двух одинаковых уравнений x + y = 1, откуда получим общее решение x = 1 - y. Если a= -1, то имеем систему
 






x
y
x
y
1 1
,
Сложив оба уравнения, получим 0=2, что говорит о несовместности системы. Таким образом, при a   1
x
y
a
a
a
a







1 1
1 1
1
(
)(
)
; при a=1 x = 1 - y, где y - любое при a= -1 система несовместна. Контрольные вопросы
1. Всегда ли система двух линейных уравнений стремя неизвестными имеет бесконечное множество решений ?
2. Всегда ли сумма двух решений системы линейных уравнений является также решением этой системы ? А полусумма ?
3. Может ли система k линейных уравнений с p неизвестными (p>k) иметь одно решение ? Тот же вопрос для p
4. Пусть имеем две системы линейных уравнений
a x
a y
a z
a x
a y
a z
a x
a y
a z
11 12 13 21 22 23 31 32 33 1
1 1














,
,
(А)
a x
a y
a z
a x
a y
a z
a x
a y
a z
11 12 13 21 22 23 31 32 32 0
0 0














,
,
(Б)
Верны ли следующие утверждения a) если система (Б) имеет бесконечное множество, то и система (А)

8 имеет бесконечное множество решений b) если система (Б) имеет единственное решение то и система (А) имеет единственное решение c) если система (Ане имеет решений, то система (Б) не имеет решений ?
5. Даны две системы линейных уравнений
a x
b y
c z
d
a x
b y
c z
d
1 1
1 1
2 2
2 2









,
(1)

(
)
(
)
(
)
,
a
a x
b
b y
c
c z
d
d
1 2
1 2
1 2
1 2







(2) где единственное уравнение системы (2) получено в результате сложения уравнений системы (1) . Эквивалентны ли системы (1) и (2)?
6. Какие из следующих высказываний верны a) если детерминант системы равен нулю, то система не имеет решений b) если квадратная система имеет бесконечно много решений , то детериминант системы равен нулю c) если детерминант неравен нулю , то система не имеет решений ? Задачи и упражнения
[4, № 400 (a,c,f,h), 443 (a,c,e), 444 (a,b,c,e), 447 (a,d,e)];
[5, № 567, 573, 575, 578-581,691-693, 699, 702, 704, 712, 713, 715, 717]. Индивидуальные задания
Задача 1. Решить системы уравнений
(a)
(b)
(c)
1
x
y
z
x
y
x
y
z
x
y
z
x
y
z

 



 


 


 









2 2
1 3
0 4
2 1
5 3
2
,
,
,
,
;
x
y
z
t
x
z
t
x
y
z
x
y
z
t

  

  



 












7 0
2 4
0 3
2 1
0 3
3 3
5 9
0
,
,
,
;
2 3
4 1
4 3
2 3
2 8
9 0
6 4
7 3
5
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t


 






 











,
,
,
;
2
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t























2 2
3 1
2 3
4 4
3 2
2 3
3 1
3 3
5 4
2
,
,
,
;
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

   













2 1
2 3
2 2
0 3
4 3
3 1
,
,
;
3 2
2 0
6 2
3 6
0 6
2 3
6 0
3 2
3 7
6 0
9 2
3 5
8 0
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

 




















 









,
,
,
,
;
3
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

 







 





2 3
2 2
3 3
2 1
5 6
9 0
,
,
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t


 








  



 







3 2
7 0
2 4
2 4
0 2
2 5
0 2
3 4
2 8
0
,
,
,
3 1
9 3
3 1
6 2
6 3
3 5
7 3
5 5
x
y
z
t
x
y
z
t
x
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

  





  


 


 









,
,
,
,

9 4
3 3
2 4
3 3
2 3
3 2
6 5
4 5
1 6
5 6
9 0
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t























,
,
,
;
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

 


 



 

 


 










2 3
3 2
8 8
4 2
6 2
2 5
6 2
5 5
,
,
,
,
;
x
y
z
x
y
z
t
x
y
z
x
z
t





 













3 2
2 5
2 2
7 1
3 8
5 8
,
,
,
;
5
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

 


 




 



 













4 2
2 2
5 3
4 2
5 5
2 1
3 9
6 2
1 2
5 3
4 9
,
,
,
,
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u


 







  






2 2
2 1
2 3
3 2
3 2
1
,
,
2 2
3 3
2 2
3 3
4 3
4 3
4 3
4 6
3 2
3
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t























,
,
,
6 2
2 2
4 6
0 6
9 6
7 2
3 2
3 2
9
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
























,
,
,
,
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t













 












2 2
4 3
0 2
2 3
5 2
0 2
3 3
6 5
0 3
4 2
0
,
,
,
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u



























2 3
4 3
2 2
3 4
3 2
1 3
4 5
2 0
3 5
9 7
6
,
,
,
,
7
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t



 



 















2 2
2 3
5 5
6 2
6 2
7 9
3 3
6 1
,
,
,
x
y
z
u
x
y
z
t
u
x
y
z
u
x
y
z
t
u










 













2 2
2 4
2 2
3 2
2 5
2 2
4 3
4 2
6 7
,
,
,
4 3
2 1
4 4
3 2
2 8
5 3
1 4
1
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
t


 






 

 







,
,
,
8
x
y
z
t
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u

  


 



 



 








2 1
3 2
3 2
5 4
3 4
3 7
2 3
2 2
,
,
,
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

  


   






  







2 2
0 2
4 1
0 2
2 2
5 0
3 6
0
,
,
,
4 2
3 6
2 3
2 2
2 3
4 3
2 3
4 6
3 3
2
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t


 



















,
,
,
9
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

















2 2
2 3
4 4
3 3
5 7
6 5
,
,
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

  


   






  







2 2
0 2
4 1
0 2
2 2
5 0
3 6
0
,
,
,
4 2
3 6
4 3
3 2
7 8
2 3
8 8
3 4
9 4
3 1
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
t


 






 
















,
,
,
10
x
y
z
t
x
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t








 
 











3 2
4 3
8 7
5 2
4 3
2 5
3 1
,
,
,
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u

 



 



  


  








2 2
1 3
2 2
5 4
3 6
2 2
,
,
,
2 3
3 1
3 3
4 2
3 2
0 5
3 6
3 3
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y























,
,
,
,
11
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u


 



 
 


 






2 3
0 3
2 5
2 2
2 3
5 1
,
,
,
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
t





 


 











3 2
4 3
2 4
3 1
3 2
4 2
4 3
3 1
,
,
,
4 3
3 2
4 3
0 8
8 3
1 8
4 3
1 4
5 6
4 7
x
y
z
t
x
y
z
x
y
z
x
y
z
t
x
y
z
t


  








 



 









,
,
,

10 12
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z
























3 0
2 2
1 2
6 3
3 5
2 1
3 2
3
,
,
,
,
3 2
4 2
3 3
4 2
3 2
3 8
5 4
5 0
2 3
2
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
y
z
t
u


 


 








 








,
,
,
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t













 








2 2
4 4
2 3
3 6
7 3
2 2
4 8
2 2
5
,
,
,
13
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
z



















2 3
3 2
3 4
4 3
3 4
2 4
4 5
4
;
;
;
2 3
2 4
3 8
6 6
7 2
5 3
7 2
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

 



 

 












,
,
,
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u
x
y
z
t
u

















 








2 4
3 2
4 4
3 3
2 3
2 2
3 2
4 3
3 3
2 2
,
,
,
14
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

 




















2 2
2 2
3 2
3 2
4 5
4 5
3 5
6 5
6 3
,
,
,
3 2
3 3
2 2
2 4
6 3
4 5
3 4
4 4
2 9
4 6
7
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

 


























,
,
,
,
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

  


 









2 2
2 4
2 7
3 6
3 4
8
,
,
15
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t

  

 


 












2 4
2 3
3 7
2 5
5 3
3 8
7
,
,
,
3 2
2 1 0 3
4 3
2 0
6 2
2 1 0 9
4 2
8 2
0 3
2 1 0
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
z
t
x
y
t



 

 



 
 






  









,
,
,
,
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
y
x
y
z

 




















2 2
3 2
3 6
2 3
2 6,
2 5
9 Задача 2. a) Составить систему трехлинейных уравнений стремя неизвестными, имеющую данное решение