Сборник задач по высшей алгебре. М наука, 1977. 288 с. Проскуряков ив. Сборник задач по линейной алгебре. М наука, 1984. 336 с
 Скачать 0.8 Mb.
|
|
a. Имеет ли построенная система и другие решения b) Составить систему трехлинейных уравнений стремя неизвестным, имеющую данные решения и b. Найти все решения построенной системы уравнений. a b a b 1 (-1,-1,3) (1,-2,4) 9 (1,-2,4) (3,-2,-2) 2 (2,0,1) (2,2,-3) 10 (2,2,-3) (-2,3,-1) 3 (1,2,3) (2,-4,1) 11 (2,-4,1) (1,3,-2) 4 (2,-1,2) (0,3,-1) 12 (0,3,-1) (-2,3,-2) 5 (1,2,-2) (4,-1,-1) 13 (4,-1,-1) (-2,1,0) 6 (0,1,2) (2,0,-3) 14 (2,0,-3) (4,-3,-1) 7 (-1,0,2) (2,3,4) 15 (2,3,4) (-3,1,1) 8 (4,2,1) (3,2,0) 11 Задача 3. Найти многочлен f (x) не вышей степени , зная его значения f(1), f(2), f(3), f(-1), f(-2): f(1) f(2) f(3) f(-1) f(-2) 1 1 -1 1 -7 -29 2 -3 -2 11 7 6 3 -5 -2 13 1 -2 4 -1 -1 7 -1 -13 5 -1 -1 47 -1 47 6 -4 -13 4 -4 -1 7 1 9 41 9 1 8 7 17 39 -1 -11 9 8 21 46 -6 -19 10 5 15 37 -3 -13 11 1 -1 17 17 127 12 1 31 145 1 -5 13 -7 -4 11 -1 -4 14 -5 -1 15 -1 -5 15 -1 3 19 3 -1 Задача 4. В пространстве даны точки A(2,2,-1); B(2,-1,2); C(-2,3,-2); H(-1,2,2); K(-2,-2,-2); M(-2,-2,3); P(1,1,1); T (3,-2,-2). Составить уравнение плоскости 1 ABC 2 BCH 3 CHK 4 HKM 5 KMP 6 MPT 7 APT 8 ABT 9 ACK 10 BHM 11 CKP 12 HMT 13 AKP 14 BMT 15 ACP Задача 5. Если уравнение ax+by+cz=d задает в пространстве плоскость , то обозначим =(a,b,c,d). В пространстве даны плоскости =(1,1,-1,0), =(0,1,2,-1), =(2,1,0,2), =(1,0,1,1), =(1,1,1,-1), =(2,-1,1,2), =(3,0,1,-1). При помощи правила Крамера найти точку пересечения плоскостей 1 , , 6 , , 11 , , 2 , , 7 , , 12 , , 3 , , 8 , , 13 , , 4 , , 9 , , 14 , , 5 , , 10 , , 15 , , Задача 6. Решить систему уравнений с параметром a: 1) 1 ) 2 ( 6 ; 1 6 ) 2 ( y a x y x a 2) ) 2 ( ; 3 6 ) 1 ( a y a ax y x a 3) ) 3 ( 5 ; 8 5 ) 3 ( a y a x y x a 12 4) 1 ) 1 ( ; 0 2 y a x ay ax 5) 1 3 ) 3 ( ; ) 2 ( 2 y x a a y a x 6) 2 ) 3 ( ; 4 2 ) 2 ( y a x a ay x a 7) ) 4 ( 6 ; 12 4 ) 6 ( a y a x y x a 8) 7 5 ) 1 ( ; 7 ) 3 ( y x a y a x 9) 3 9 ; 2 4 ay x y ax 10) 5 ) 3 ( ; 5 ) 5 ( a y a x y a ax 11) ) 1 ( 2 ; 2 2 ) 1 ( a y a x y x a 12) ; 15 ) 18 ( ) 2 ( a ay x x a x a 13) ) 2 ( ; 9 ) 3 ( 2 a ay x a y a ax 14) ) 1 ( ; 10 12 ) 3 ( a y a x y x a 15) Задача 7. Решить 2-3 из дополнительных задач. Дополнительные задачи и упражнения 1. Эквивалентны ли системы уравнений a) x y z x y z x y z 2 2 3 3 3 5 5 , , и x y z x y z x y z 2 1 2 1 2 1 , , b) x y y z z x 3 5 4 , , и y x z y x z 1 1 2 , , c) x y z x y z x y z 3 2 3 6 3 5 9 , , и x y z x y z x y z 3 2 3 6 5 7 12 , , d) x y z x y z x y z 2 1 2 1 2 1 , , и x y z x y z x y z 2 0 2 0 2 0 , , ? 2. Записать в общем виде систему двух линейных уравнений стремя неизвестными. Доказать , что если в этой системе a) к первому уравнению почленно прибавить второе уравнение b) из второго уравнения почленно вычесть первое уравнение, умноженное на 3; c) к удвоенному первому уравнению почленно прибавить утроенное второе, то получится система, эквивалентная данной. 3. Доказать , что если система линейных уравнений имеет два различных решения, то она имеет бесконечно много решений. 4. Пусть система (A) состоит из х линейных уравнений, которые мы кратко обозначим (1), (2), (3), а система (Б) состоит из уравнений (1)+(2), (2)+(3), (3)+(1). Эквивалентны ли системы (Аи (Б 5. Пусть система (А) состоит из уравнений (1),(2),(3), а система (Б) - из уравнений (1)-(2), (2)-(3), (3)-(1). Обязательно ли эквивалентны системы (Аи (Б 6. Даны две системы линейных уравнений a x b y c z d a x b y c z d 1 1 1 1 2 2 2 2 , , (A); a x b y c z a x b y c z 1 1 1 2 2 2 0 Б) a) Доказать, что если ), , , ( 3 2 1 a b ( , , ) 1 2 3 - два решения системы А , то тройка чисел ( , , ) 1 1 2 2 3 которую мы обозначим через a-b, является решением системы (Б. 13 b) Доказать, что если a является решением системы (A), b- решением системы ( Б ) , то a+b является решением системы (А. c) Доказать, что сумма любых двух решений системы (Б) также является решением системы (Б. d) Верно ли, что сумма любых двух решений системы (А) также является решением системы (А e) Пусть a и b - два решения системы (А) ; обязательно ли 2a-b является решением системы (А 7. Доказать, что если все элементы детерминанта го порядка равны 1 , то детерминант есть четное число. 8. Решить системы с параметрами a и b: a) ; 1 , 1 , 1 z y ax z ay x az y x b) 3 2 , 1 2 5 , 2 2 bz y x y x z ax 2 . ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Понятия : 1) перестановки символов 2) инверсии в перестановках 3) транспозиции 4) подстановки 5) четность (нечетность) перестановок и подстановок 6) определитель квадратной матрицы 7) транспонированная матрица 8) минор 9) дополнительный минор алгебраическое дополнение. Факты) число перестановок n символов 2) изменение четности перестановок при транспозициях; 3) число четных перестановок (подстановок 4) свойства определителей определитель матрицы не меняется при ее транспонировании приумножении строки ( столбца) матрицы на фиксированное число ее определитель также умножается на это число разложение определителя в сумму двух определителей изменение знака определителя при перестановке двух строк (столбцов определитель матрицы не меняется , если в ней к одной строке прибавить другую, умноженную на данное число 14 определитель треугольной матрицы равен произведению всех ее диагональных элементов 5) теорема о произведении минора на его алгебраическое дополнение 6) теорема Лапласа 7) разложение определителя по строке (столбцу 8) теорема о сумме произведений элементов строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки 9) формулы Крамера. Пеpестановкой элементов множества n a a a M ,..., , 2 1 пpинято называть любое упоpядоченное pасположение его элементов. В дальнейшем огpаничимся pассмотpением пеpестановок элементного подмножества n , , 2 , 1 множества натуральных чисел. Если i > j, нов перестановке число i расположено левее числа j, то говорят, что i обpазует инверсию с j. Так, в перестановке 2,1,5,4,3,6 числа 5 и 3 обpазуют инверсию, аи инверсии не образуют. Четность перестановки определяется четностью числа инверсий, образованных всеми элементами перестановки. Всего в данной перестановке 4 инверсии, поэтому она четна. Транспозиция, те. перемена местами двух чисел, меняет четность на противоположную. Так транспозиция (1,6) приводит к перестановке 2,6,5,4,3,1, элементы которой образуют 11 инверсий. Пpимеp 1. Опpеделить число инвеpсий в перестановке 3,6,...,3n,1,4,...,3n-2,2,5,...,3n-1. Данная пеpестановка состоит из тех элементных частей. Числа, входящие в каждую часть, между собой инвеpсий не образуют, так как pасположены в поpядке возрастания. Найдем количество инвеpсий, которые образуют элементы втоpой гpуппы с элементами пеpвой. Число 1 обpазует n инвеpсий, число 4 образует n-1 инверсию и т.д., число 3n-2 образует 1 инверсию. Итого 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( n n n n инверсий. Ясно, что такое же количество инвеpсий обpазует тpетья гpуппа элементов с пеpвой. Тpетья гpуппа со втоpой обpазует 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( ) 1 ( n n n n . Всего инвеpсий ). 1 3 ( 2 Подстановка степени n опpеделяется как взаимнооднозначная функция = 1 2 1 2 n n . Здесь числа n , , , 2 1 принадлежат множеству n , , 2 , 1 и составляют перестановку. Четность подстановки совпадает с четностью суммы числа инвеpсий в перестановках, обpазованных веpхней и нижней строками. Общее количество подстановок на элементном множестве равно ! 2 1 n n , причем количество четных и нечетных совпадает и равно n! 2 Опpеделитель (или детерминант ) квадpатной матpицы ij a A поpядка n мы введем в соответствии с учебным пособием 2 . А именно 15 det ( ) . A a a a a a a a a a a a a n n n n nn n t n n n 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 Здесь суммиpование пpоводится по всевозможным подстановкам степени n чисел 1,2,...,n. Знак каждого члена опpеделяется сомножителем t ) 1 ( , где t - количество инвеpсий, обpазованной элементами подстановки 1 2 1 Таким обpазом, опpеделитель го поpядка представляет собой сумму n! членов. Каждый член - пpоизведение n элементов матpицы A , взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Член входит в сумму со знаком "+", если подстановка, составленная из индексов сомножителей, четна, и "-", если подстановка нечетна. В яде случаев опpеделитель легко вычислить, воспользовавшись его свойствами - приумножении всех элементов строки матрицы на фиксированное число её определитель умножается на это число - определитель не изменится, если к одной строке прибавить другую, умноженную на число -знак определителя меняется на противоположный при перестановке двух строк. Два последних свойства позволяют привести матрицу определителя к треугольному виду, тогда определитель с точностью до знака совпадет с произведением диагональных элементов (проверить nn nn n n a a a a a a a a a 22 11 2 22 1 12 11 0 0 0 и 1 1 , 2 1 2 ) 1 ( 1 1 , 2 21 1 1 , 1 11 ) 1 ( 0 Поскольку определитель не меняется при транспонировании его матрицы, указанные преобразования можно производить как со строками, таки со столбцами. Пример 2. Вычислить определитель матрицы A 3 3 5 8 3 2 4 6 2 5 7 5 4 3 5 6 A 3 3 5 8 3 2 4 6 2 5 7 5 4 3 5 6 1 3 3 3 5 8 0 1 1 2 0 9 11 1 0 7 9 4 1 3 3 3 5 8 0 1 1 2 0 0 2 19 0 0 0 9 1 3 3 1 2 9 Здесь ко второй строке прибавим первую а к четвертой - третью, умноженную на 2. К третьей строке, умноженной на 3, прибавим первую строку, умноженную на (-2), 16 затем к полученным на первом шаге третьей и четвертой строке прибавим вторую строку умноженную соответственно на (-9) и на (-7). На последнем шаге мы к полученной на втором шаге четвертой строке прибавим третью, умноженную на (-1). В результате всех преобразований мы получили определитель с треугольной матрицей. Пример 3. Вычислить определитель 1 2 3 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 Прибавим к каждому столбцу все последующие. Определитель не изменится, однако, его матрица будет иметь треугольный вид 1 2 3 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 2 Одним из основных приемов, применяемых пи вычислении опpеделителей поpядка n >3, является сведение к вычислению опpеделителей более низкого поpядка. Пи этом используются понятия миноpа и алгебpаического дополнения к миноpу. Пусть - опpеделитель поpядка n. Выбеpем пpоизвольные k стоки столбцов (1k n ). Опpеделитель, составленный из элементов, стоящих на пеpесечении этих стоки столбцов, называется минором го поpядка опpеделителя . Hапpимеp, в опpеделителе D поpядка 5 фиксиpуем 2,3,5 стоки, 1,2,4 столбцы. D 1 3 1 2 4 0 1 1 3 0 2 1 1 5 7 3 3 2 1 5 2 2 5 3 В нашем примере M 1 1 4 2 5 , а алгебpаическое дополнение к миноpу М pавно 1 1 4 2 1 5 3 Элементы, стоящие на пеpесечении указанных стоки столбцов они взяты в кpужочки), образуют опpеделитель M (миноp) поpядка 3. Элементы, стоящие на пеpесечении оставшихся стоки столбцов (в нашем случае 1, 4 стоки, 3, 5 столбцы) образуют миноp M 1 . дополнительный к минору M. Выpажение 1 ) 1 ( M M S , где M S - сумма номеpов стоки столбцов, котоpых стоит миноp М, называется алгебpаическим дополнением к М. 17 Известно, что пpоизведение миноpа на его алгебpаическое дополнение дает несколько членов данного опpеделителя. Более того, если зафиксиpуем пpоизвольные k сток опpеделителя поpядка n (кто сумма пpоизведений всех миноpов го поpядка, постpоенных на элементах данных сток, на соответствующие алгебpаические дополнения, pавна опpеделителю (теоpема Лапласа. Ясно, что теоpема Лапласа и дает способ "понижения поpядка" опpеделителей пи их вычислении. В частности n j ij ij in in i i i i A a A a A a A a 1 2 2 1 1 . Здесь in i a a ,..., 1 - элементы i й стоки опpеделителя (миноpы первого порядка, а in i A A ,..., 1 - их алгебpаические дополнения. Аналогичные результаты справедливы и для столбцов опpеделителя. Напpимеp 4 2 0 2 3 1 1 1 2 5 1 1 2 1 0 3 4 1 1 1 1 5 1 1 1 0 3 2 1 3 1 1 2 1 1 2 0 3 0 1 3 1 1 2 5 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 1 1 2 5 1 2 1 0 1 4 . Мы получили разложение опpеделителя по элементам пеpвой стоки. Как видно, целесообразно pазлагать опpеделитель по той стоке или столбцу, которые содержат больше нулей.В связи с этим следует вначале путем пpеобpазования матpицы опpеделителя сделать в стоке или столбце побольше нулей, а потом уже pазлагать опpеделитель по полученной стоке или столбцу. Пpимеp 4. Вычислить опpеделитель 2 3 1 3 1 4 7 2 3 3 5 5 2 2 1 Попытаемся в какой- либо стоке (столбце) сделать все элементы, коме одного, нулями. В pезультате опpеделитель будет pавен ненулевому элементу, умноженному на его алгебpаическое дополнение. Стоит запомнить, что если хотят получить нули в стоке, то, как пpавило, опеpиpуют со столбцами. В нашем случае мы пpеобpазуем в нули элементы й стоки, коме 43 a . Для этого вычтем удвоенный тpетий столбец из пеpвого и четвеpтого, пpибавим удвоенный тpетий столбец ко втоpому. Получим 4 5 1 5 13 18 7 16 7 13 5 15 0 0 1 0 43 43 , , a A те. 1 1 4 5 5 13 18 16 7 13 15 4 5 5 13 18 16 7 13 15 4 Поступая аналогичным обpазом для полученного определителя 3 порядка, имеем 18 1 0 5 3 2 16 22 28 15 1 0 0 3 2 1 22 28 95 1 2 1 28 95 190 28 162 Метод вычисления определителей, рассмотренный выше, становится громоздкими практически неприменимым в случае определителей произвольного порядка n с числовыми или буквенными элементами. Общих методов вычисления таких определителей не существует. Рассмотрим прием, позволяющий вычислять определители некоторых специальных типов. Пример 5. Вычислить определитель го порядка n n n x x x x 1 2 3 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 n n n x x x x n x x x ( ) 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Итак, 1 2 1 Таким образом получим рекуррентное соотношение 1 n n x n . Применяя эту формулу для 1 n , найдем 2 1 ) 1 ( n n x n , откуда 2 Аналогично поэтому ) ) 2 (( ) 1 ( 3 2 n n x n x x n n = 3 3 2 ) 2 ( ) 1 ( n x x n x n n . Повторяя эти соображения еще ( ) n 4 раза, получим 1 2 2 2 ) 2 ( ) 1 ( n n n x x x n x n n Пpимеp 6. Вычислить опpеделитель : 0 0 0 0 0 12 13 14 15 12 23 24 25 13 23 34 35 14 24 34 35 15 25 35 Пи транспонировании матpицы опpеделитель не меняется, те. Разложим данный определитель по элементам последнего столбца Первый определитель верхнетреугольный и равен 1 ) 1 ( n , а второй- такого же видано уже порядка ) 1 ( n 19 1 1 12 13 14 15 12 23 24 25 13 23 34 35 14 24 34 45 15 25 35 45 0 0 0 0 С дугой стоpоны каждая стока опpеделителя получается из соответствующей стоки опpеделителя 1 вынесением множителя (-1) за знак опpеделителя, поэтому 5 Таким обpазом, 0 Отметим, что определитель вида, рассмотренного в примере 6 называют кососимметрическим, кроме того, матрицу такого вида называют антисимметрической. Контрольные вопросы 1. Чему равна сумма числа инверсий и порядков перестановки 2. Какая перестановка n чисел имеет наибольшее число инверсий? Вычислите это число. 3. Как изменится детерминант матрицы, если к её первой строке прибавить удвоенную вторую 4. Как изменится детерминант матрицы, если к её удвоенной первой строке прибавить вторую 5. Как изменится детерминант n - го порядка, если все элементы его матрицы изменят свой знак на противоположный 6. Как изменится детерминант n - го порядка, если все элементы его матрицы умножить на число p? 7. С каким знаком входит в детерминант n - го порядка произведение элементов его второй диагонали 8. Как изменится детерминант n - го порядка 3 n , если от первой строки отнять вторую, от второй - третью и от третьей - первую 9. Как изменится детерминант, если каждый элемент ij a умножить на ij ? Чему равняется количество миноров к-го порядка для детерминанта го порядка Задачи и упражнения [ 4, № 232, 235-240, 248-256, 261-263, 266, 275-281]; [ 5, № 90-98, 100-104, 111-117, 123-136, 188-194, 197-205, 208, 212-216, 236-240, 257- 272, 279-284, 290-293, 297-301, 425-434]. 20 Индивидуальные задания Задача 8. а) Выписать все члены определителях- матрицы , содержащие данные множители и входящие в выражение определителя со знаком “+”. 1) a a 24 33 4) a 15 a 42 a 51 7) a 24 a 43 10) a 14 a 32 a 43 13) a 42 a 24 2) a a 23 35 5) a 23 a 34 a 45 8) a 31 a 14 11) a 13 a 35 a 44 14) a 25 a 42 a 51 3) a a a 15 34 42 6) a 14 a 21 9) a 14 a 42 a 51 12) a 41 a 23 15) a 22 a 31 б) Выписать все члены определителях- матрицы, содержащие данные множители и входящие в выражение определителя со знаком “-“. 1) a 35 a 42 a 51 4) a 23 a 34 7) a 15 a 42 a 34 10) a 22 a 31 13) a 41 a 23 a 35 2) a 25 a 53 a 31 5) a 42 a 54 8) a 31 a 13 a 45 11) a 25 a 42 14) a 13 a 35 3) a 34 a 45 6) a 24 a 41 a 13 9) a 13 a 24 12) a 41 a 23 15) a 14 Задача 9. Вычислить определители а 1) 99 100 100 101 100 100 101 101 101 102 102 102 102 102 103 104 2) 5 4 0 0 7 6 0 0 3 2 1 0 4 3 2 1 3) 4 3 2 1 1 0 0 0 2 8 5 0 3 7 4 0 4) 0 0 0 2 4 3 0 3 7 5 0 4 2 2 2 5 5) 3 2 3 0 2 2 3 1 0 0 1 0 0 5 2 4 6) 2 2 2 1 2 0 3 0 3 3 4 0 4 0 5 0 7) 3 1 1 1 2 1 1 1 8 5 9 5 7 7 7 4 8) 213 186 162 137 344 157 295 106 419 418 419 418 417 416 417 416 9) 3 2 0 3 3 3 3 3 3 0 0 0 3 5 0 7 10) 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 1 2 1 4 11) 4 3 2 0 3 0 4 5 2 1 3 2 1 0 0 0 12) 2 5 1 2 3 7 1 4 5 9 2 7 4 6 1 2 13) 10 11 12 13 11 10 11 12 12 11 10 11 13 12 11 10 1 14) 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 15) 4 3 2 1 3 4 2 0 4 5 0 0 0 2 1 б 1) 5 4 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 6 5 0 1 0 2) 10 10 11 11 12 11 12 12 13 13 11 12 13 13 14 12 13 14 14 15 12 14 14 15 16 3) 1 1 0 0 0 1 3 1 0 0 1 6 4 1 0 1 10 10 5 1 1 15 20 15 6 21 4) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2 1 4 1 1 1 1 1 5 5) 0 2 3 4 5 1 1 2 3 4 1 0 1 2 3 1 0 0 1 2 1 0 0 0 1 6) 3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3 7) 0 3 1 2 0 2 2 2 2 1 2 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 4 2 2 0 5 8) 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 4 5 2 2 3 2 3 0 3 4 5 4 3 4 5 9) 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 2 1 4 1 1 1 1 1 5 10) 0 0 0 0 1 0 2 5 4 2 0 0 1 0 0 0 3 2 2 4 2 3 4 5 5 11) 11 12 13 14 15 12 13 14 15 16 13 14 15 16 17 14 15 16 17 18 15 16 17 18 19 1 12) 1 2 0 3 3 1 5 0 0 1 1 3 0 1 0 1 3 3 3 3 1 0 0 0 0 13) 0 3 2 0 5 0 2 5 3 4 0 4 2 1 3 1 2 3 5 2 0 0 0 0 1 14) 3 0 0 5 1 3 0 0 0 1 0 0 0 6 1 5 0 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15) 10 10 10 11 11 10 11 11 11 12 10 11 12 12 12 11 11 12 13 14 11 12 12 14 Задача 10. Вычислить определители порядка n [5, № 309, 311, 313, 316, 319]. Задача 11. Дана (4х4)-матрица А, Обозначим ее столбцы через |