Сборник задач по высшей алгебре. М наука, 1977. 288 с. Проскуряков ив. Сборник задач по линейной алгебре. М наука, 1984. 336 с

• Название: Сборник задач по высшей алгебре. М наука, 1977. 288 с. Проскуряков ив. Сборник задач по линейной алгебре. М наука, 1984. 336 с
• Анкор: Metodichka_po_algebre_i_geometrii_1_semestr.pdf
• Дата: 21.06.2018
• Размер: 0.8 Mb.
• Имя файла: Metodichka_po_algebre_i_geometrii_1_semestr.pdf
• Тип: Сборник задач; #20542
• страница: 6 из 6

i, 2-i, 3+i?
5. Может ли многочлен x
3
+px+q с нечетными целыми коэффициентами p и q иметь целый корень
6. Известно, что число c является кратным корнем многочлена
)
(x
f
и кратным корнем многочлена. Какую кратность имеет корень c для многочлена
f x g x
( ) ( )
? Ответ обосновать.
7. Известно, что число c является кратным корнем многочлена
f x
( )
и кратным корнем многочлена
g x
( )
. Какую кратность имеет корень c для многочлена
f x
g x
( )
( )

? Ответ обосновать.
8. Составить многочлен наименьшей степени с целыми коэффициентами, имеющий корень i-3.
9. Существует ли многочлен третьей степени с рациональными коэффициентами, имеющий только один иррациональный корень Многочлены p(x) и p’(x) взаимно просты. Следует ли из этого, что многочлен) не имеет кратных корней Многочлен p(x) не имеет кратных корней. Следует ли из этого, что многочлены) и p’(x) взаимно просты Обязательно ли, кратный корень многочлена p’(x) является также кратным корнем многочлена p(x)? Пусть число c является корнем четного многочлена p(x). Будет ли корнем число -с для многочлена p(x)? А для нечетного многочлена Существует ли над полеем R неприводимый многочлен третьей степени Задачи и упражнения
[4, № 546, 549-552, 554-557, 577-580, 585, 587, 589, 590, 592, 593, 624-626, 650];
[6, № 7.1.1-7.1.4, 7.2.1-7.2.4, 7.2.8, 7.2.10, 7.2.11, 7.6.1, 7.6.2, 7.6.4, 7.7.2]. Индивидуальные задания Задача 27. Даны многочлены ,
)
(x
h
. Вычислить наибольший общий делитель a) многочленов и
)
(x
g
; b) многочленов
)
(x
f
и
)
(x
h
; c) многочленов
)
(x
g
и
)
(x
h
f x
( )
g x
( )
h x
( )
1.
x
x
2 4
4


x
x
x
3 2
6 12 8



x
x
x
4 3
4 16 16



2.
x
x
2 2
1


x
x
3 8
3


x
x
x
4 2
6 8
3



3.
x
x
2 2
3


2 9
27 3
x
x


x
x
4 3
4 27


4.
x
x
2 3
4


x
x
x
3 2
3 3
1



x
x
x
x
5 3
2 10 20 15 4




5.
3 4
3 2
x
x


2 3
1 3
2
x
x


3 5
5 3
5 4
x
x
x



6.
3 3
2 2
x
x


2 3
4 3
2
x
x


3 15 20 16 5
4 3
x
x
x



7.
3 2
1 2
x
x


x
x
3 3
2


1 4
3 3
4

 x
x
8.
3 4
4 2
x
x


x
3 8

3 8
16 4
3
x
x



47 9.
x
2 1

4 3
2 1
3 2
x
x
x



4 5
1 5
4
x
x


10.
9 4
2
x 
x
x
x
3 2
3 3
1



3 10 10 5
2 5
4 3
x
x
x
x




11.
3 8
3 2
x
x


x
x
3 3
2


3 8
6 1
4 3
2
x
x
x



12.
x
x
2 4
12


x
x
3 2
4


x
x
4 32 48


13.
x
2 4

x
x
x
3 2
4 12 12



x
x
5 2
20 48


14.
x
x
2 3
6


2 3
1 3
2
x
x


x
x
x
5 2
10 15 6



15.
3 2
2
x
x
 
x
x
x
3 2
6 12 8



3 16 24 16 4
3 Задача 28. Для многочленов
)
(x
f
и
)
(x
g
из задачи 27 найти такие многочлены
)
(x
u
и
)
(x
v
, что Задача 29. Многочлен
)
(x
h
из задачи 27 разложить а) по степеням двучлена x-2; б) по степеням двучлена x+1.
Задача 30. Найти кратные корни многочлена
)
(x
h
из задачи 23 и определить их кратность.
Задача 31. Разложить в сумму простейших дробей над полем действительных чисел
(a)
(b)
1.
x
x
x


9 9
3
x
x
x
x
2 4
2 4
3 4



2.
x
x
x



2 2
3 2
x
x
x
3 4
2 1


3.
x
x
2 3
2 8


2 1
4 3
x
x
x


4.
1 3
2
x
x

x
x
x
3 4
2 1


5.
1 2
3 2
x
x
x


x
x
3 4
1

6.
x
x
x
2 3
2 2


x
x
3 4
4

7.
x
x
x
2 3
1 7
6



1 4
x
x

8.
x
x
x



1 2
4 3
x
x
x
2 4
2 1
4


9.
x
x
x


2 2
3
x
x
x
2 4
2 2
1


10.
1 4
4 3
2
x
x
x


x
x
x
x
2 4
2 3
2



11.
x
x
x



3 7
6 3
x
x
x


1 4
12.
x
x
x
x



1 2
3 2
1 1
4
x 

48 13.
x
x
x
x



1 3
2 3
2
x
x
x
x
2 4
3 2
2



14.
x
x
x
2 3
1


1 3
2 4
2
x
x
x


15.
x
x
3 1

2 2
4 4
4 3
2
x
x
x
x



Задача 32. Решить 3-4 из дополнительных задач.
Дополнительные задачи и упражнения
1. Известно, что x
( )
при делении надает остаток 1, а при делении надает остаток Какой остаток дает
f x
( )
при делении на (x+1)(x+2)?
2. Некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и надает соответственно остатки 2x и x+2. Какой остаток получится при делении этого многочлена на (x-1)(x-2)(x-3)?
3. Может ли некоторый многочлен при делении на (x-1)(x-2) и надавать соответственно остатки 2x и 4x?
4. Известно, что
f x
( )
и
g x
( )
при делении надают один и тот же остаток
x+1. Какой остаток при делении надает многочлен
f x g x
( ) ( )
?
5. Разложить на множители многочлен x
3
-3x+A зная, что у него есть кратный корень
6. Разложить на множители многочлен x
3
-7x
2
+14x+A зная, что его корни образуют геометрическую прогрессию.
7. Решить уравнение x
3
-6x
2
+Ax-6=0, если один из корней равен 3.
8. При каких значениях A многочлен 3x
4
+4x
3
-6x
2
-12x+A имеет кратные корни
9. При каких значениях A один из корней многочлена
(
)
(
)
A
A
x
A
x
2 2
5 3
3 вдвое больше другого При каких целых значениях p многочлен x
3
+px+2 имеет хотя бы один целочисленный корень Дан многочлен
)
(x
f
с действительными коэффициентами и известно, что
i
i
f



1
)
1
(
. Доказать, что Дан многочлен с действительными коэффициентами и известно, что
i
i
f

)
(
. Доказать, что
i
i
f
1 Доказать, что в выражении
)
1
)(
1
(
100 2
100
x
x
x
x
x







не встречается x в нечетных степенях. Найти сумму коэффициентов при всех степенях
x в
744 2
743 2
)
2 3
1
(
)
2 3
1
(
x
x
x
x




после раскрытия скобок и приведения подобных членов. При каких значениях A многочлены x
2
+ Ax +1 и x
2
+ x +A имеют общий корень Для каждого изданных многочленов найти границы действительных корней и

49 вычислить корни с точночтью до 0,001: а)
3 4
1 4
3
x
x

 ; б)
3 8
2 4
3
x
x

 ; в)
x
x
3 г)
x
x
3 2
2

 ; да. КОЛЬЦО МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Понятия) многочлен от нескольких переменных
2) равенство многочленов
3) степень многочлена
4) сумма и произведение многочленов
5) симметрические многочлены
6) элементарные симметрические многочлены
7) лексикографическое расположение членов многочлена
8) результант двух многочленов
9) дискриминант многочлена. Факты
1) основная теорема о симметрических многочленах
2) связь между дискриминантом и наличием кратных корней
3) вязь между результантом и наличием общих корней двух многочленов. Контрольные вопросы
1. Образуют ли все симметрические многочлены от n переменных относительно обычных действий кольцо ? поле ?
2. Верно ли, что произвольный многочлен можно преобразовать в симметрический, прибавив к нему несколько членов ?
3. Верно ли, что значения произвольного многочлена от основных симметрических многочленов является симметрическим многочленом
4. Пусть
2 1
,x
x
- корни квадратного уравнения с целыми коэффициентами. Верно ли, что
n
n
x
x
2 1

является целым числом для произвольных натуральных n ?
5. Какой из членов выше, а какой ниже ( в смысле лексикографического порядка a)
3 2
3 1
x
x
x
или
2 3
5 2
1
x
x
x
; b)
4 4
3 2
5 1
x
x
x
x
или
2 4
4 3
2 5
1
x
x
x
x
?
6. Являются ли симметрическими многочлены a)
1 3
2 3
2 3
2 2
3 1
3 2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f




; b)
1 3
4 2
3 2
3 2
1
)
,
,
(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f



? Задачи и упражнения
1. Выразить данные симметрические многочлены через элементарные симметрические многочлены : а)
;
2 2
2 1
2 3
2 2
2 3
2 2
4 3
4 2
4 б)






;
2 3
2 2
3 1
2 2
1
x
x
x
x
x
x



в)




3 2
4 1
4 2
3 1
4 3
2 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




50 2. Моногенный многочлен


n
k
n
k
k
k
k
x
Ax
S
n


,
2 1
1 1
состоит из всех членов, которые получаются из члена
n
k
n
k
x
Ax ...
1 1
путем различных перестановок переменных. а) Доказать, что любой симметрический многочлен является суммой моногеных. б) Выразить через элементарные симметрические многочлены такие многочлены относительно n неизвестных
  

2 2
2 1
3 в) Вычислить значение


3 2
3 1
x
x
S
от корней уравнения
0 2
2 2
2 2
3 4





x
x
x
x
3. Моногенный многочлен
 
k
k
x
S
S
1

относительно n переменных
n
x
x называется степенной суммой. а) Доказать, что при
;
n
k 
 
0 1
2 2
1 1












n
n
k
k
k
k
k
S
S
S
S
причем
n
S 
0
( вторая формула Ньютона для степенных сумм ). б) Доказать, что при
 
0 1
;
1 1









k
k
k
k
k
S
S
n
k
( первая формула Ньютона для степенных сумм ) . в) Найти степенные суммы


n
k
S
k

от корней уравнения
;
0
!
1
!
2
!
1 г) Для каких уравнений n - ой степени все степенные суммы от корней этих уравнений
1 1
,...,

n
S
S
равняются нулю ?
4. Вычислить площадь треугольника, если известно, что длины его сторон являются корнями уравнения
0
,
0 2
3





a
d
cx
bx
ax
5. Вычислить результант многочленов
1
,
6 3
)
;
2 2
,
2 3
)
2 3
3 2
2









x
x
x
x
x
b
x
x
x
x
a
6. С помощью результанта найти значение параметра p , с которым многочлены
1 3

 px
x
и
1 2

 px
x
имеют общий корень.
7. Найти дискриминант многочлена
)
;
6 4
2
)
4 2
3
q
px
x
b
x
x
x
a





8. Исключить x из системы уравнений











1 3
2
,
2 3
2 2
2 2
y
xy
x
y
xy
x
9. С помощью результанта решить системы уравнений

















;
0 1
8 4
2
;
0 1
4 2
13 10 2
)
2 2
2 2
y
x
y
xy
x
y
x
y
xy
x
a















0 6
8 3
;
0 4
4 3
6 4
)
2 3
2 2
2 3
y
xy
y
x
y
y
xy
x
x
x
b
10. Число, которое является корнем многочлена с рациональными (или же с целыми) коэффициентами, называется алгебраическим. Доказать, что все алгебраические числа образуют поле относительно обычных действий.
[4, № 693-697; 699-702; 708; 723-726; 731-733];
[6, № 7.3.6; 7.3.8; 7.3.14; 7.4.1-7.4.4].