ТРЗ диф исчисление. ТРЗ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.. Сборник задач по высшей математике РостовнаДону 2002 г. Составитель Л. В. Сахарова удк 517 с 221

• Название: Сборник задач по высшей математике РостовнаДону 2002 г. Составитель Л. В. Сахарова удк 517 с 221
• Анкор: ТРЗ диф исчисление
• Дата: 03.05.2023
• Размер: 1.3 Mb.
• Имя файла: ТРЗ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной..doc
• Тип: Сборник задач; #1106434
• страница: 2 из 3

§3. Непрерывность функции
Исследовать на непрерывность функции. Сделать чертёж:

3.1.  3.2. 

3.3.  3.4. 

3.5.  3.6. 

3.7.  3.8. 

3.9.  3.10. 

3.11.  3.12. 

3.13.  . 3.14. 

3.15.  . 3.16. 

3.17.  3.18. 

3.19.  3.20. 

В задачах 3.21–3.23 найти, при каком значении параметра "а" заданная функция непрерывна при любом значении х.

3.21.  3.22. 

3.23. 

3.24. При каких значениях параметров "а" и "b" функция f(x) будет непрерывна при любом х, если

1) 

2) 
§4. Производная и дифференциал функции
Продифференцировать заданные функции:

4.1.  . 4.2.  . 4.3.  .

4.4.  . 4.5.  . 4.6.  .

4.7.  . 4.8.  . 4.9.  .

4.10.  . 4.11.  . 4.12.  .

4.13.  . 4.14.  . 4.15.  .

4.16.  . 4.17.  . 4.18.  .

4.19.  . 4.20.  . 4.21.  .

4.22.  . 4.23.  . 4.24.  .

4.25.  . 4.26.  . 4.27.  .

4.28.  . 4.29.  . 4.30.  .

4.31.  . 4.32.  . 4.33.  .

4.34.  . 4.35.  . 4.36.  .

4.37.  . 4.38.  . 4.39.  .

4.40.  . 4.41.  . 4.42.  .

4.43.  . 4.44.  . 4.45.  .

4.46.  . 4.47.  . 4.48.  .

4.49.  . 4.50.  . 4.51.  .

4.52.  . 4.53.  . 4.54.  .

4.55.  . 4.56.  . 4.57.  .

4.58.  . 4.59.  . 4.60.  .

4.61.  . 4.62.  .

4.63.  . 4.64.  .

4.65.  . 4.66.  .

4.67.  . 4.68.  .

4.69.  . 4.70.  .

4.71.  . 4.72.  .

4.73.  .

В задачах 4.74–4.87 найти производную по х функции у, заданной неявно.

4.74.  . 4.75.  .

4.76.  . 4.77.  .

4.78.  . 4.79.  .

4.80.  . 4.81.  .

4.82.  . 4.83.  .

4.84.  . 4.85.  .

4.86.  . 4.87.  .

В задачах 4.88–4.102 найти производные в случае параметрического задания функции.

4.88.  ; . 4.89.  ; .

4.90.  ; . 4.91.  ; .

4.92.  ; . 4.93.  ; .

4.94.  ; . 4.95.  ; .

4.96.  ; . 4.97.  ; .

4.98.  ; . 4.99.  ; .

4.100.  ; .4.101.  ; .

4.102.  ; .

В задачах 4.103–4.110 написать уравнения касательной и нормали к графику функции y = f(x) в заданной точке.

4.103.  ; . 4.104.  ; .

4.105.  ; . 4.106.  ; .

4.107.  ; ; . 4.108.  ; ; .

4.109.  ; ; .

4.110.  ; ; .

4.111. Составить уравнения касательных к линии в точках её пересечения с осью Ох.

4.112. Составить уравнение касательной к линии , перпендикулярной к прямой .

4.113. Составить уравнение нормали к линии , параллельной прямой .

4.114. Хорда параболы соединяет точки с абсциссами х₁ = 1, х₂ = 3. Составить уравнение касательной к параболе, параллельной хорде.

4.115. Составить уравнение нормали к параболе , перпендикулярной к прямой соединяющей начало координат с вершиной параболы.

4.116. Составить уравнения нормалей к параболе в точках её пересечения с прямой .

4.117. Составить уравнение касательной к линии , в точке .

4.118. Составить уравнение касательной к линии ; в точке (1; 1).

4.119. Определить углы, под которыми пересекаются кривые и .

4.120. Доказать, что гиперболы и пересекаются под прямым углом.

4.121. Расстояние S, пройденное телом в течение t секунд после начала движения, определяется по формуле . Найти скорость и ускорение тела при t = 10.

2.122. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется формулой . Какое ускорение будет иметь тело через 4 секунды после начала движения?

4.123. Тело массой 6 г движется прямолинейно по закону . (S выражено в сантиметрах, t – в секундах). Требуется вычислить кинетическую энергию тела через 1 с после начала движения.

4.124. Найти дифференциал функции:

1)  ; 2)  ;

3)  ; 4)  ;

5)  ; 6)  ;

7)  ; 8)  .

4.125. Вычислить приближённо

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ;

5)  .

Повторное дифференцирование

4.126. Для заданных функций найти производные второго порядка:

1)  ; 2)  ;

3)  ; 4)  ;

5)  ; 6)  .

4.127.  ; .

4.128.  ; .

4.129.  ; .

4.130.  ; .

4.131.  ; .

4.132.  ; .

4.133.  ; .

4.134.  ; .

4.135. Для заданных функций найти производные n-го порядка:

1)  ; 2)  ; 3)  ;

4)  ; 5)  ; 6)  .

Функции, заданные в неявном виде

4.136.  ; .

4.137.  ; .

4.138.  ; .

4.139.  ; .

4.140.  ; .

В задачах 4.141–4.151 для функций, заданных параметрически, найти :

4.141.  ; . 4.142.  ; .

4.143.  ; . 4.144.  ; .

4.145.  ; . 4.146.  ; .

4.147.  ; . 4.148.  ; .

4.149.  ; . 4.150.  ; .

4.151.  ; . 4.152.  ; .

4.153.  ; . Найти .

4.154.  ; . Найти .

4.155. Для заданных функций найти дифференциалы 2-го порядка:

1)  ; 2)  ; 3)  ;

4)  ; 5)  ; 6)  .

В задачах 4.156–4.170 найти наибольшее и наименьшее значения заданных функций в указанных промежутках.

4.156.  ; [–2; 2]. 4.157.  ; [0; 4].

4.158.  ; [0; 4]. 4.159.  ; [0; 1].

4.160.  ; ;. 4.161.  ; .

4.162.  ; [-1; 4]. 4.163.  ; [–1; 3].

4.164.  ; . 4.165.  ; .

4.166.  ; [–2; 2]. 4.167.  ; [–2; 1].

4.168.  ; [0; 1]. 4.169.  ; [0; 1].

4.170.  ; .

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций

4.171. Число 8 разбить на два таких слагаемых, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

4.172. Число 36 разложить на два таких множителя, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

4.173. Из углов квадратного листа картона размером 1818 см², нужно вырезать одинаковые квадраты так, чтобы согнув лист, получить коробку наибольшей вместимости. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата?

4.174. Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей.

4.175. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим.

4.176. Найти высоту цилиндра наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

4.177. Найти высоту конуса наибольшего объёма, который можно вписать в шар радиуса R.

4.178. Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиуса R.

4.179. Бревно длиной в 20 м имеет форму усечённого конуса, диаметры оснований которого равны соответственно 2 и 1 м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна и объём которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

4.180. Катер стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с катера нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к катеру точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на вёслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

4.181. Картина в 1,4 м высотой повешена на стену так, что её нижний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен стать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятным для осмотра картины (т.е. чтобы угол зрения был наибольшим)?

4.182. На странице книги печатный текст должен занимать S квадратных сантиметров. Верхние и нижние поля должны быть по а см, правое и левое по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то какими должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

В задачах 4.183–4.232 вычислить пределы, пользуясь правилом Лопиталя.

4.183.  . 4.184.  .

4.185.  . 4.186.  .

4.187.  . 4.188.  .

4.189.  . 4.190.  .

4.191.  . 4.192.  .

4.193.  . 4.194.  .

4.195.  . 4.196.  .

4.197.  . 4.198.  .

4.199.  . 4.200.  .

4.201.  . 4.202.  .

4.203.  . 4.204.  .

4.205.  . 4.206.  .

4.207.  . 4.208.  .

4.209.  . 4.210.  .

4.211.  . 4.212.  .

4.213.  . 4.214.  .

4.215.  . 4.216.  .

4.217.  . 4.218.  .

4.219.  . 4.220.  .

4.221.  . 4.222.  .

4.223.  . 4.224.  .

4.225.  . 4.226.  .

4.227.  . 4.228.  .

4.229.  . 4.230.  .

4.231.  . 4.232.  .