Реферат.Высшая математика.К.А.. Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически

• Название: Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически
• Дата: 30.04.2023
• Размер: 177.16 Kb.
• Имя файла: Реферат.Высшая математика.К.А..docx
• Тип: Реферат; #1098858
• страница: 1 из 9

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский университет Государственной противопожарной службы Министерства РФ по делам гражданской обороны, чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий

имени Героя Российской Федерации генерала армии Е.Н. Зиничева»

Кафедра высшей математики системного моделирования сложных процессов


Реферат
Высшая математика
Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически


Выполнил обучающийся
Группа

Проверил преподаватель


Санкт-Петербург

2022

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1.1. Определение производной функции

1.2. Односторонние производные функции

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

2.1. Определение дифференциала функции

2.2. Дифференциал независимой переменной

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

3.1. Геометрический смысл производной

3.2. Геометрический смысл дифференциала

3.3. Приближенное вычисление малых приращений функции

4. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

4.1. Свойства производных (правила дифференцирования)

4.2. Производная обратной функции

4.3. Производные элементарных функций

5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ, ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НЕЯВНО И ПАРАМЕТРИЧЕСКИ

5.1. Производная сложной функции

5.2. Производная неявной функции

5.3. Логарифмическая производная

5.4. Производная функции, заданной параметрически

6. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ

ПОРЯДКОВ

6.1. Производные высших порядков

6.2. Дифференциалы высших порядков

7. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ

7.1. Теорема Ролля

7.2. Теорема Лагранжа

7.3. Теорема Коши

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

1. 
   Определение производной функции.
   
2. 
   Односторонние производные.
   

1. Определение производной функции

Рассмотрим следующую задачу, которая позволит лучше понять смысл производной.

Материальная точка совершает прямолинейное неравномерное движение.

Пусть

s₀ ^{– путь, пройденный за время}

t₀ ^, s^{– путь, пройденный за время} t^.

Отрезок пути

s s s₀

точка пройдет за промежуток времени

t t t₀^.

^{Средняя скорость на интервале времени от} t₀

s, равна:

^до t^{, или на участке пути}

v  ^s.

ср _t

Средняя скорость зависит от

t. При уменьшении t

соответствующий

промежуток пути s

^{времени} t₀ ^:

уменьшается. Мгновенная скорость движения в момент

v lim

s_.

t0 _t

Перейдем к определению понятия производной.

Рассмотрим функцию

fx<sup>, определенную на интервале a,b,

xa,b</sup> –

фиксированная точка. Число x

таково, что точка

^{x x a, b}.

Отношение

y(x,x)

x

зависит от xи

x.

Определение

Производной функции

приращений
fx
^вточкеx^{называется предел отношения}

lim

y_
lim

fxxfx _,

x0 _x

при условии, что он существует.
Обозначение

x0 _x

Примеры

1. 
   ^{y sin x}.
   

2cos^ x ^xsin ^x

sinxxsinx

⁰

 ₂  ₂

y^x 

lim _

 _{ } 

lim ^{ }



 cos x.

x0 _x

⁰

x0 _x

2. 
   yx  log _ax^,
   

0  a 1.

y log

x x  log
x log

^1  ^{x ,}

a





log

a

_{1 } x<sub>

a</sub> _x

1

_a 

y^x 

lim

 ^x _ ^0 _

lim

log

^1  ^xx 

x0 _x

_0_

x0 ^a _x^




1

 ^x ^x


a _





 lim

log

^_{1 } ^x^x

 ¹ log e^.

x0

_ _x _{ x a}

 

Частный случай при

a e:

2. Односторонние производные функции

Одностороннимипроизводныминазываются односторонние пределы:

^{y (x)  lim y}– левая производная в точке x,

^ x0 _x

^{y (x)  lim y}– правая производная в точке x.

^ x0 _x

Для существования производной функции

y f(x)

^{в точке} x

необходимо и достаточно существование и равенство односторонних ^{производных функции в точке} x^.

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

1. 
   Определение дифференциала функции.
   
2. 
   Дифференциал независимой переменной.
   

1. Определение дифференциала функции

Пусть

y fx ^{дифференцируема на a,b.}

xa,b
 lim

y _

^fx 

y _

f^x  ,

x0 _x

 – бесконечно малая при Тогда

x

x 0 .

(*)

Введем обозначение
dy

f^x x^.

В общем случае

f^x  0 

lim

dy_

^fx 

x0 _x

  x ox

– бесконечно малая более высокого порядка малости

чем
x , т. к. Итак,
lim

x0

xx_{ 0 .}

x

Определение

Величина ^{в точке} x^.

dy

f^x x

называется дифференциаломфункции

y fx

Из равенства (*) следует, что ^dy– главнаялинейнаячастьприращения

функции.

Главная, т. к. остаток малости.

x

• 
  бесконечно малая более высокого порядка
  

Линейная, т. к. ^dyпропорционален xв первой степени.
Теорема

Необходимым и достаточным условием существования дифференциала является существование производной функции.

2. Дифференциал независимой переменной

Рассмотрим
Вывод

y x^,

y^_x 1^,

y x

 ^{dy x}

(см. (*)).

dx x

приращению.

 ^{дифференциал независимой переменной равен ее}

С учетом полученного:

dy y^_x x y^_x dx^.

– формула для вычисления первого дифференциала.

Вывод

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Отсюда





– производная есть отношение дифференциалов.

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

И ДИФФЕРЕНЦИАЛА

1. 
   Геометрический смысл производной.
   
2. 
   Геометрический смысл дифференциала.
   
3. 
   Приближенное вычисление малых приращений функции.
   

1. Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции

y fx^.

fx₀  x_P
y


fx₀  _M
x₀ x₀  x

x

Точки графика секущей MP.

Определение

Px₀  x, fx₀  x^,

Mx₀, fx₀ 

принадлежат

Касательнойк графику

y fx

в точке

x₀ ^{называется предельное}

положение секущей при

Теорема

x 0

( P M).

Еслифункция

y fx ^{имеет в точке}

x₀ ^{производную}

f^x₀ ^,

то график функции в точке

f^x₀ ^.

Доказательство

x₀ ^{имеет касательную с угловым коэффициентом}

Угловой коэффициент секущей равен

tg   ^y.

x

Если
x 0 , то

tg   lim

y_

f^x.

x0 _x ⁰

Таким образом:

1. 
   существует предельное положение секущей;
   

2. 
   ^kкасат^
   

f^x₀ ^.

Уравнение касательной к графику функции в точке

Mx₀ , fx₀ 

Определение

Нормальюк графику функции
fx ^{в точке}
x₀ ^{называется прямая, проходящая}

через точку

Mx₀ , fx₀  ^{перпендикулярно касательной в этой точке.}

Угловой коэффициент нормали связан с угловым коэффициентом касательной:

k_н 

1 _.

f^x₀ 

Уравнение нормали к графику функции в точке

Mx₀, fx₀ ^:

Пример

Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

y ln x

в точке

x 1.

Решение

y1  0 ^.

y^  ¹ ,

x

y^1  1^.


y x 1
– уравнение касательной.

– уравнение нормали.

2. Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график функции

M^x x, y y^.

y fx^{. Точки графика –}

Mx, y^,

x
MT– касательная к графику в точке M.

В треугольнике

MNT:

MN x,

NT x tg   x y^_x^{. Таким образом}

Вывод

Дифференциал функции
y fx
в точке x есть приращение ординаты

касательной к графику этой функции, когда xполучает приращение x.

Приращение функции

NM^  y NT^.

Для вогнутой кривой (выпуклой вниз)

^{y dy}.

Для выпуклой кривой (выпуклой вверх)

^{y dy}.

Для линейной функции

^{y ax b}:

^{y dy}.

Пример

Рассмотрим функцию
y  x² .

y x x²  x² .

y 2x x x² .

^{dy 2x x}.

^y– площадь окрашенной части квадрата, ^dy– та же площадь за

вычетом x² .

Если

x 20,

^{x 0,1},
y 2  20  0,1  0,1²  4,01.

^{dy 2  20  0,1  4,00} .

Итак, ^y

и ^dyотличаются на величину

^{  0,01}, что существенно

меньше x.

3. Приближенное вычисление малых приращений функции

Если x

• 
  мало, то
  

fx  dfx^.

Геометрический смысл приближенного равенства: данная функция на

участке xзаменяется своей касательной, то есть, линейной функцией.
Примеры

1. 
   Вычислить приближенно ³ 1,1 .
   

Решение

y ,

x 1,

^{x 0,1}.

yx x ^{– ?}

yx x  yx  y^xx