Реферат.Высшая математика.К.А.. Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически

• Название: Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически
• Дата: 30.04.2023
• Размер: 177.16 Kb.
• Имя файла: Реферат.Высшая математика.К.А..docx
• Тип: Реферат; #1098858
• страница: 8 из 9

Производные гиперболических функций

 
_ex_{ e} x

sh x ,

2

ch x

_ex_{ e} x

 ,

2

th x 

_ex_{ e} x

_ex_{ e} x
, cth

x 

_ex_{ e} x

_ex_{ e} x^.

( x 0 ).

Пример

y sh³5x cos^{2 x}.

2

y^  3sh ² 5x ch5x 5  cos^{2 x} sh³5x 2 cos ^x ^ sin

x_{ } 1 _

2

 sh ² 5x cos ^x15ch 5x cos ^x sin

 


2

2

2
 

^x sh 5x^ .

 


2

2

2
 

4. Производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим функцию, заданную параметрическим способом

_x xt ,



^ y yt.

В этом случае связь аргумента x со значением функции y

осуществляется через параметр t. Как вычислить
Теорема

y^_x^?

Если

1)
^xt,
yt
дифференцируемы ( ^{xt},
y^t^{) на интервале ,, и}
xt

строго монотонна на ^{,};

2) ^{xt  0}

то

^{t,},

Доказательство

Рассмотрим систему равенств

y yt^{, t tx,} где t– промежуточный аргумент,

y– сложная функция аргумента x.

По теореме о производной сложной функции производной обратной функции
y^_x
 y_t^  t^_x^{. По теореме о}

t
t^  ¹ .

Таким образом,

^x x^

y^  ^yt , что и требовалось доказать.

t
^x x^

Пример

^_x t² ,


3


^_ y t ,
^{t ,0}.

y^_x^{– ?}

Решениеx_t^  2t ^, y_t^  3t² ,

y^  ³ t.

x ₂

5. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

1. 
   Производные высших порядков.
   
2. 
   Дифференциалы высших порядков.
   

1. Производные высших порядков

Определение

f^ x   f^x^

• 
  втораяпроизводная– первая производная от производной
  

первого порядка;

f^nx  f^n1x^

• 
  производная n-гопорядка– первая производная от
  

производной ^{n 1}-го порядка.
Примеры

1. 
   ^{y sin x}.
   

y^  cos x ^, y^  sin x ^, y^  cos x^.

2. 
   y xⁿ.
   

y^  n x^n1 ,

y^  nn1x^n2 ,

…

y^k  nn1...n k1x^nk


( k n).

3. 
   y e^x.
   

y^n  e^x.

Вторая производная от неявной функции

^{Пусть неявная функция} y^{аргумента} x^{задается равенством}
Fx, y  0^.

Правило

Для отыскания высшей производной от yпо x , нужно соответствующее число раз дифференцировать заданное равенство, помня, что yи все ее производные являются функциями независимой переменной x.

Пример

y²  x²  1.

y^{ – ?}

2y y^  2x 0 

y^   ^x,

y

2y

^²
 2y y^
 2  0 
y^  

1  y^² y

_{ } x²  y²


.
_y3

Вторая производная функции, заданной параметрически

Рассмотрим функцию y, заданную параметрическим способом

_x xt ,



^ y yt.

Выше была получена формула для первой производной этой функции

y^<sub>x

</sub>y^t_.

x^t

Новая задача – вычисление второй производной

y^_x^_x^{– ?}

y^t^

y^  x^  y^  x^ 1

y^  x^  y^  x^

y^_x^_x

^{ y}_x^'x _{  } t^{ t}_x^{ t}

t t t _ t



2 _

t t t


.
3

_ xt_

x_t^  ^x_t

x_t^ 

Пример

^{x  at sin t},
y a1 cost^,
   t .

y^_x^{– ?}

y^_x^_x^{– ?}



y^_x
a sin ta1  cost ^,

t


 _{ }

^ctg_{ 2 }

xx

a1  cos t
y^  ^ _

^{ }_{ .}

2. Дифференциалы высших порядков

Дифференциал независимой переменной, как было показано выше, равен

ее приращению

dx x, которое независитотx!

Дифференциал функции

dy

f^xdx

• 
  при фиксированном dx– зависит
  

от аргумента x , то есть является функцией. Поэтому можно поставить вопрос о дифференциале этой функции или дифференциале дифференциала.

Дифференциал дифференциала функции – второй дифференциал функции или дифференциал второго порядка.

Определения и обозначения

d² fx  ddfx – дифференциал второго порядка;

d³ fx  dd² fx – дифференциал третьего порядка;

…

dⁿfx  dd^n1 fx – дифференциал n-го порядка.

Формула для вычисления второго дифференциала

fx

ddfx d f^xdx dx- константа выносится за d dx df^x 

 dxf^xdx

f^ xdx² 

f^ xdx^{2 *}.

Здесь x– независимая переменная.

Замечание

Форма второго дифференциала не инвариантна.

Аналогично


d³ fx  f^xdx³.

Пусть

fx  x^{, тогда}

f^x  0

^ d²x 0 ^.

f^x 0 ^

d³x 0 ^{и так далее.}

Вывод

Дифференциалы высших порядков от независимой переменной равны нулю.

5. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

   1. 
      Теорема Ролля.
      
   2. 
      Теорема Лагранжа.
      
   3. 
      Теорема Коши.
      

Если

1. Теорема Ролля

ТеоремаРолля(онулепроизводной)

1. 
   fx ^{– непрерывна на a,b;}
   

²⁾ f^x <sup>на a,b;

3)</sup> fa fb^,


то ^{a,b}:

^* Подчеркнем, что

dx²  dx² .

Доказательство

Так как

fx ^{непрерывна на a,b, она достигает на a,b наибольшего}

M^{и наименьшего} m^{значений. Возможны два случая.}

1. 
   M m.
   

Тогда

fx M m^

f x ^– const^.

f^x 0 ^.

2. 
   M m.
   

Тогда хотя бы одно из этих значений достигается внутри ^a,b, то есть

в точке Пусть

^{a,b},так как

f   M^{, где}

fa fb<sup>.

  a, b</sup>. Так как  – внутренняя точка,

^то f^^.

Докажем, что

f^  0^.

f ^ 
lim

x0

fxf_.

x

f

f  x

x.
lim

x00
fxf _

x

^fп^рав
  0 , (*)

lim

x00

fxf _

x

^fл^ев

  0. (**)

Но из существования

f^

следует, что

f ^ 

f_п^_рав 

f_л^_ев^^ 

f^  0

с учетом (*) и (**), что и требовалось доказать. Аналогично

выполняется доказательство для

f m^{. Теорема доказана.}

Геометрическая интерпретация

Если функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке ^{a, b}, то в некоторой точке отрезка ее касательная параллельна оси OX.

Теорема Ролля позволяет узнать об обращении производной в нуль без ее вычисления.

Пример

fx  xx1x 2x 3^.

Доказать, что все корни уравнения

^{ 3,0}.

Доказательство

f ^x  0

принадлежат интервалу

f0 

f1 

f 2 

f 3  0 ^.

Для каждого из отрезков ^{ 3,2}, ^{ 2,1}, ^{ 1,0}

выполняются

условия теоремы Ролля, следовательно, есть три точки, по одной на каждом из соответствующих интервалов, в которых производная обращается в нуль.

Замечание

Все условия теоремы Ролля необходимы для справедливости ее утверждения.

1. 
   Непрерывностьна ^a,b.
   

2. 
   Дифференцируемостьна ^{a, b}.
   

3. Равенство

fa 

fb^.

Если

2. Теорема Лагранжа

ТеоремаЛагранжа

1. 
   fx ^{– непрерывна на a,b;}
   

²⁾ f^x ^{– на a,b,}

то


 ca,b^:

Доказательство
Введем обозначение

fbfa _{ Q.}

b a

Рассмотрим вспомогательную функцию

Fx

fx

fa Qx a^.

Функция

1)

2)

3)

^Fx удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

^Fx непрерывна на ^{a, b};

^{Fx} на ^{a, b};

^{Fa  Fb  0} .

Следовательно,

c:

^{ca,b},

^{Fc  0} .

Далее

F^x

f^x Q^,

F^c  f^c Q 0^,

f^c  Q^,

fbfa _

b a
f^c, что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

CB_fbfa

• 
  угловой коэффициент секущей AB.
  

x c.

AC

f^c

b a

• 
  угловой коэффициент касательной к кривой
  

y fx
в точке

На дуге ABнайдется, по крайней мере, одна точка M , в которой касательная параллельна хорде AB теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Доказанная формула называется формулой Лагранжа или формулой конечныхприращений.

Так как

a c b, то

c a b a.

^{c a b a}, где

0    1 <sup>

c a b a</sup>.

– другая редакция формулы Лагранжа.
Замечание3

^Точек c^{может быть несколько.}





ac₁ c₂ c₃ b
Замечание4

Если

fa fb^{, то}

f^c  0 ^{– утверждение теоремы Ролля.}

Замечание5

Теорему Лагранжа можно использовать для приближенных вычислений.

fb fa 

f^a b ab a^,

0    1.

Положим

  ¹ , тогда

2

fb 

fa 

f^{ ab}b a.

_{ 2} _

Погрешность тем меньше, чем ближе bк a.

Пример

b 1,1,

a 1,0 ,

^arctg1,1 – ?