Реферат.Высшая математика.К.А.. Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически

• Название: Реферат Высшая математика Нахождение производных функций одной переменной, заданных параметрически
• Дата: 30.04.2023
• Размер: 177.16 Kb.
• Имя файла: Реферат.Высшая математика.К.А..docx
• Тип: Реферат; #1098858
• страница: 3 из 9

Свойства дифференциалов

Свойства дифференциалов аналогичны свойствам производных (предполагаем, что все рассматриваемые функции дифференцируемы).

1.

y c^,

y^  0^,

2.

y u v,

y^  u^  v^,

3.

y₁  u c^,

y₂  u^,

4.

y cu,

y^  cu^,

– константу можно выносить за знак дифференциала. 5.

Если

6.

2. d u   v  	vdu udv
   	v2

   
   
   
   Производная обратной функции

Теорема
, ^{vx  0} .

1. 
   fx ^{строго монотонна и непрерывна в окрестности точки}
   

²⁾ f^x₀   0^,

то

x₀ ^;

1) ^{f1y} в окрестности точки 2)

y₀ 

fx₀ ^;

Доказательство

Из условия 1 следует существование непрерывной обратной функции

x f^1y

в окрестности точки

y₀ 

fx₀ 

(см. «Элементарные

функции» в «Математический анализ. Введение»).

Приращению аргумента ^y

соответствует приращение функции

x.

Рассмотрим их отношение
x_

y
¹ . (*)

y


x

Из строгой монотонности функции

fx

следует, что условие

y 0

влечет за собой x 0 .

Устремим ^y

к нулю. Из непрерывности функции

^{x f1y} следует,

что x 0 .

Но при
x 0 ,

y_

x

f^x₀

, следовательно,

x_

y

1


f^x₀ 
(см. (*)).

То есть

^{f1 y} y y

 ^{1 , что и требовалось доказать.}

0
Применение

0 f^x

1. 
   ^{y ax} x log y^.
   

a

^a^x ¹  ¹ ^y  a^xln a.

log _a

y<sup>

1</sup> log e _y a

log _ae

e^x^  e^x.

2. 
   ^{y arcsin x} ^{x sin y.}
   

arcsin x^ 

1

sin y^

_ 1 _ 1 cos y

 ¹ .

3.
4. arctg x^ 

1

tg y^

 cos² y

1


1 tg ² y
 ¹ .

1 x²

5.